最小二乘法线性与非线性拟合

1、最小二乘法线性与非线性拟合最小二乘法实现数据拟合最小二乘法原理函数插值是差值函数p(x)与被插函数f(x)在节点处函数值相同，即p( )=f()(i=0,1,2,3,，而曲线拟合函数不要求严格地通过所有数据点()，也就是说拟合函数在处的偏差=不都严格地等于零。但是，为了使近似曲线能尽量反应所给数据点的变化趋势，要求|按某种度量标准最小。即为最小。这种要求误差平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。(一) 线性最小二乘拟合根据线性最小二乘拟合理论，我们得知关于系数矩阵A的解法为A = RY。例题假设测出了一组，由下面的表格给出，且已知函数原型为y(x)=c1+c2*eA(-3*x)+c3*co

2、s(-2*x)*exp(-4*x)+c4*xA24冋0.210.40.70.90.920.9911.21.4| 1.48 |5” ”.882.25761.96831.92582.08622.1092.1979 H2.54092.9627卜155 |卜.2052试用已知数据求出待定系数的值。在Matlab中输入以下程序x=0,0.2,0.4,0.7,0.9,0.92,0.99,1.2,1.4,1.48,1.5;y=2.88;2.2576;1.9683;1.9258;2.0862;2.109;2.1979;2.5409;2.9627;3.155;3.2052;A= on es(size(x) ex

3、p(-3*x),cos(-2*x).*exp(-4*x) x.A2;运行结果为ans =1.22002.3397 -0.67970.8700下面画出由拟合得到的曲线及已知的数据散点图x1=0:0.01:1.5;A1=ones(size(x1) exp(-3*x1),cos(-2*x1).*exp(-4*x1) x1.A2; y1=A1*c;plot(x1,y1,x,y,o)事实上，上面给出的数据就是由已知曲线y(x)= 0.8700-0.6797*eA(-3*x)+ 2.3397*cos(-2*x)*exp(-4*x)+ 1.2200*乂人2产生的，由上图可见拟合效果较好。多项式最小二乘拟合在

4、Matlab的线性最小二乘拟合中，用得较多的是多项式拟合，其命令是A=polyfit(x,y,m)其中 表示函数中的自变量矩阵，表示因变量矩阵，是输出的系数矩阵，即多项式的系数。多项式在自变量x处的函数值y可用以下命令计算：y=polyval(A,x)例题 对下面一组数据作二次多项式拟合，即要求出二次多项式中的，使最小。100.10.20.30.40.50.60.7 |冋|冋口11在Matlab中输入以0-0.4471.9783.285.167.087.347.669.56I98 1回冋下命令x=0:.1:1;y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.

5、56 9.48 9.30 11.2;a=polyfit(x,y,2)运行结果为a =-9.8108 20.1293 -0.0317f=vpa(poly2sym(a),5)%vpa(polyval2sym()，n)只适用于关于多项式函数的拟合。因为此函数对于自变量统 规定为“x；将由polyfit ()所得出的系数按自变量幕次升降放在相应的位置。运行结果为-9.8108*xA2+20.129*x-.31671e-1下面画出由拟合得到的曲线及已知的数据散点图y1=polyval(a,x);plot(x,y,o,x,y1)(二) 非线性最小二乘拟合(1) lsqcurvefit()lsqcurvef

6、it()是非线性最小二乘拟合函数，其本质上是求解最优化问题。其使用格式为x=lsqcurvefit(fu n, xO,xdata,ydata)其中，fun是要拟合的非线性函数，x0是初始参数，xdata，ydata是拟合点的数据，该函数 最终返回系数矩阵。例题假设已知并已知该函数满足原型为，其中 为待定系数。在Matlab中输入以下命令x=0:.1:10;y=0.12*exp(-0.213*x)+0.54*exp(-0.17*x).*si n(1.23*x);f=in li ne(a(1)*exp(-a (2)*x)+a(3)*exp(-a (4) *x).*si n(a (5)*x),a,x

7、);%建立函数原型，则可以根据他来进行下面的求取系数的计算a,res=lsqcurvefit(f,1,1,1,1,1,x,y);a,res运行结果为ans =0.11970.21250.5404| 0.1702 res =7.1637e-007所求得的系数与原式中的系数相近。如果向进一步提高精度，则需修改最优化的选项，函数的调用格式也将随之改变。 在Matlab中输入以下命令ff=optimset;ff.TolFu n=1e-20;ff.TolX=1e-15;% 修改精度，即是修改其限制条件 a,res=lsqcurvefit(f,1,1,1,1,1,x,y,ff);% 两个空矩阵表示系数向量

8、的上下限 a,res运行结果为ans = 0.1200 0.2130 0.54000.1700 2300res = 9.5035e-021下面绘图x1=0:0.01:10;plot(x1,y1,x,y,o)(2) lsqnonlin()Isqnonlin()函数是另一种求最小二乘拟合的函数，其本质上是求解最优化问题最优化解。它的应用格式为x=ls qnon li n(fun, x0)其中，fun的定义与lsqnonlin()函数中fun的定义有差别，x0仍为初始参数向量，将输出的系数结果放在变量中。说明lsqnonlin()函数的使用方法。首先编写目标函数(curve_fu n.m)funct

9、ion y=curve fun(p)%非线性最小二乘拟合函数x=0.02 0.02 0.06 0.06 0.11 0.11 0.22 0.22 0.56 0.56 1.10 1.10;y=76 47 97 107 123 139 159 152 191 201 207 200;y=p(1)*x./(p (2)+x)-y;再用lsqnonlin ()函数求解，输入p,res no rm,residual=ls qnon li n( curve fu n,200,0.1) 运行结果为p =212.68360.0641resnorm =1.1954e+003 residual =Colu mns 1

10、 through 113.56615.8111 -4.1889 11.3617 -4.63835.6847 12.6847 -0.1671 -10.1671 -6.0313Colu mn 120.9687上面的两种方法都可以作非线性最小二乘曲线拟合(3)非线性函数的线性化在进行非线性拟合时，以往由于计算机和相关软件水平有限，常常先把非线性的曲线拟合线性化，然后再进行拟合。下面比较一下先线性化再进行拟合和直接进行非线性拟合的差异。例题已知数据0.250.51A2 13468719.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01满足曲线通过数据拟合求出参数和。方法一：

11、先将非线性函数转化为线性函数编写Matlab程序如下d=300;t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;y=log(c)；a=polyfit(t,y,1)运行结果为a =| -0.23472.9943 k=-a(1)k =0.2347 v=d/exp(a(2)v =15.0219由此也可以求出相关系数。方法二：应用非线性拟合直接求解系数建立m文件：function f=curvefu n3(x,tdata)d=300f=(x(1)d)*exp(-x (2) *tdata)%x(

12、1)=v;x(2)=k运行程序tdata=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;cdata=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;xO=1O 0.5;x=lsqcurvefit(curvefu n3,x0,tdata,cdata)运行结果为x =| 14.82120.2420下面绘图f=curvefun 3(x,tdata);plot(tdata,cdata,o,tdata,f)我们发现两种求法求出的系数很接近。（三）线性拟合和非线性拟合区别与联系在许多实际问题中，变量之间内在的关系并不想前面说的那样简单。呈线性关系，但

13、有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理。对于一个实际的曲线拟合问题， 一般先根据观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，让后选用相接近的曲线拟合方程，再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。表1.1线性拟合方程变量变换变换后线性拟合方程Y=JY=aY=aY=JY=卜 1例题x=1.1052,1.2214,1.3499,1.4918,1.6478,1.8221,2.0138,2.2255,2.4596,2.7183,3.6693;y=0.6795,0.6006,0.5309,0.4693,0.4148,0.3666,0.3241,0.2864,0.2532,0.2238,0.1546;plot(x,y,x,y,*)见下图由上图可以看出是非线