数列基础知识点和方法归纳

1、1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），推论公式：k：.-【I I、I _ 、- I, I等差中项：成等差数列，鬲二阳| 2 % * 2恥 二窃-土如+ i（n M 2）等差数列前项和：性质：是等差数列（1） 若，则（下标和定理）注意：要求等式左右两边项数相等（2）数列a2n 1 , a2n , a2n i仍为等差数列，仍为等差数列，公差为 nd ；（3）若三个成等差数列，可设为；（4）若是等差数列，且前项和分别为，贝（5） 为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值当，由可得达到最小值时的值

2、.（6）项数为偶数2n的等差数列有S2n n（ai a2n） n（a2 a?n 1）n（an a. J（an,an 1 为中间两项）S偶S奇nd ，anan 1（7）项数为奇数2n 1的等差数列有S2n 1 （2n 1）an（an为中间项）2. 等比数列的定义与性质an - lan + 1&1 * 2）定义：（为常数，），推论公式.弘二叔%儿m 3 N 且n m）|等比中项：成等比数列，或.等比数列中奇数项同号，偶数项同号等比数列前n项和公式：naT（t二 1）1 - q _1 - q 于 性质：是等比数列（1）若，则（下标和定理）注意：要求等式左右两边项数相等。（2）仍为等比数列，公比为qn

3、。（3）是正项等比数列，则.、亠注意:由求时应注意什么？时，；时，3. 求数列通项公式的常用方法（1）定义法求通项公式（已知数列为等差数列或等比数列）（2）已知与n的关系或sn与an的关系时求anS(n 1)Sn Sn i(n 2)例：？数列的前项和求数列的通项公式；解：当时，当时数列的通项公式为.练习：设数列的前项和为，且求数列的通项公式。(3)求差(商)法例：数列，求解：时，二时，一得：，.，练习：在数列|也.冲，卜.八，r；匸“；,求数列汽/的通项公式(4)累乘法an 1形如汨二f5)的递推式f(n)，则並 f(1),更 f(2)丄 L ,苑f(n)aia2an两边分别相乘得,ainai

4、f(k)k 1例：数列中，求练习：已知匚3 s :，:卩冷A 求数列的通项公式。(5)累加法形如-圳. 卩心的递推式由，求，用迭加法时，两边相加得例：已知数列满足- I-1,(2) 求数列的通项公式练习：已知数列中，()求数列的通项公式；(6) 构造法形如(为常数，)的递推式。可转化为等比数列，设令，是首项为为公比的等比数列例：已知数列满足，求数列的通项公式；解1),而，故数列是首项为公比宠的等比数列,，因此.练习1：己知数列牯J中引二打圖十二瓯4 3，求数列an的通项公式练习2：已知数列心满足am 2an 3 5n,印6，求数列an的通项公式(7) 倒数法例：，求由已知得：，为等差数列，公差

5、为，二， 二练习：已知数列的首项，卜二=1。: = V匚严沪七族它仁a(n 1)总结：公式法、利用 n 5 Sni(n 2)、累加法、累乘法构造等差或等比ani panan ipanf(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法4. 求数列前n项和的常用方法（1）定义法：如果已知数列为等差或者等比数列，这用对应的公式求和等差数列前项和：na）（ =Sn -且I（ L - q”）却-寺等比数列前n项和公式：-工1）常见公式：h二昇一止二抽】十1）1 + 3 + 5 + ? + （% - 1）=卅1?十乎卜屮+号+朋二牯a + 1+ 1,卩+严+計+ ?十1?二扣（门+ i）p（2）错位相减法给弘二创+

6、业+閃-*如两边同乘以一个适当的数或者式，然后把所得的等式与原等式相减，对应项互相抵消，最后得出前n项的和.一般适用于为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和, 可由，求，其中为的公比例：一x 1时，时，练习：已知数列是等差数列，是等比数列，且,（1）求数列和的通项公式（2）数列满足，求数列的前项和.（2）裂项法把数列的通项公式拆成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和常见形式：若是公差为的等差数列，则如：是公差为的等差数列，求解：由练习：已知数列的前n项和，?求数列的通项公式；？求数列的前n项和。(3) 倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加相加练习已知，则原式(3) 分组求和法有一类数列，既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆分开，可分为几个等差或等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可。一