133函数的最大（小）值与导数(1)

1、 133. .函函数数的的最最大大 小小 值值与与导导数数( (1 1) ) 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的 局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质 也也 就是说，如果就是说，如果x0是函数是函数y=f(x)的极大（小）值点的极大（小）值点, 那那 么在点么在点x0附近找不到比附近找不到比y=f(x0)更大（小）的值更大（小）的值 但但 是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更 关心函数在某个区间上关心函数在某个区间上,哪个值最大哪个值最大,哪个值最小哪个

2、值最小. 如如 果果x0是函数的最大（小）值，那么是函数的最大（小）值，那么f(x0)不小（大）不小（大） 于函数于函数y=f(x)在相应区间上的所有函数值在相应区间上的所有函数值 a 1 x 2 x 3 xo 4 x 5 x 6 x b x y yfx ? , xfyb, a ,133.1 大值、极小值吗大值、极小值吗 你能找出它的极你能找出它的极图象图象 的的上函数上函数 观察区间观察区间如图如图 .xf ,xf ,xf , xfyxf ,xf ,xf , 642 53 1 是极大值的极小值 是函数 我们发现观察图象 .xf,af b, axfy,133.1 3 最小值是上最大值是 在区间

3、函数可以看出从图 ? b, axfy 大值、最小值吗大值、最小值吗 上的最上的最在区间在区间你能找出函数你能找出函数探究探究 a 1 x 2 x 3 xo 4 x 5 x 6 x b x y yfx a 1 x 2 x 3 x o 4 x 5 x b x y xfy 143.1图图 xfy a b x y o 153.1图图 ? ,? b, a,xfy b, a,153.1143.1 么么 什什最大值和最小值分别是最大值和最小值分别是如果有如果有小值吗小值吗 上有最大值、最上有最大值、最它们在它们在的图象的图象 上的函数上的函数观察观察中中、在图在图 a 1 x 2 x 3 x o 4 x 5

4、 x b x y xfy 143.1图图 xfy a b x y o 153.1图图 , , . a byfx 一一般般地地 如如果果在在区区间间上上函函数数 的的图图象象是是一一条条连连 续续不不断断的的曲曲线线 那那么么它它必必有有 最最大大值值和和最最小小值值 a 1 x 2 x 3 x o 4 x 5 x b x y xfy 143.1图图 xfy a b x y o 153.1图图 1.3141.315, , , . yfx 结结合合图图、图图以以及及函函数数极极值值 中中的的例例子子 不不难难看看出出 只只要要把把函函数数的的 所所有有极极值值 连连同同端端点点的的函函数数值值进进

5、行行比比较较 就就可可 以以求求出出函函数数的的最最大大值值与与最最小小值值 说说 明：明： 1.在闭区间在闭区间a,b上连续的函数必有最大值和最小值上连续的函数必有最大值和最小值. 这里有两层意思：这里有两层意思： （1）给定函数的区间必须是闭区间，）给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间在开区间 上虽然连续但不能保证有最大值或最小值；上虽然连续但不能保证有最大值或最小值； （2）在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上）在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上 有间断点也不能保证有间断点也不能保证f(x)有最大值和最小值有最大值和最小值. );1( 0 ),10( )( x xx x

6、f （1） ).1 , 0(, 1 )( x x xg （2） 3. 如果函数如果函数 f(x)在在a , b上连续，在上连续，在(a , b)内可导，那内可导，那 么如何求么如何求 f(x)在在a ,b内的最大值与最小值呢？内的最大值与最小值呢？ 求函数求函数f(x)在（在（a , b）内的极值；）内的极值； 求求f(x)在在a , b上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤: 求函数求函数f(x)在区间端点在区间端点f(a), f(b)的值；的值； 将函数将函数f(x)在各极值与在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值个是最

7、大值，最小的一个是最小值 2.极值与最值极值与最值. 注意区分函数的极值和函数的最值的联系与区别注意区分函数的极值和函数的最值的联系与区别.函函 数的极值是函数的局部性质，函数的最值是函数在数的极值是函数的局部性质，函数的最值是函数在 指定区间上的整体性质指定区间上的整体性质. 解：解：)2)(2(4 2 xxxy 当当x变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表：y y , 0 （2，3）2（0，2） y x y 03 3 4 2x 令令 ，解得，解得0 y 3 1 1440,3. 3 fxxx 例例 求求函函数数在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值 41 由表可知，函数在由表

8、可知，函数在0 , 3上的最大值是上的最大值是 4，最小值是，最小值是 3 4 ox y 2 3 3 1 44 3 fxxx 163.1图图 0,3 (1.316). fx 上上述述结结论论可可从从函函数数在在上上的的 图图象象 图图得得到到直直观观验验证证 解：解：xxy44 3 ,0 y 令令则有则有 044 3 xx 解得解得. 1,0,1 x 当当 x 变化时，变化时，y, y 的变化情况如下表：的变化情况如下表： 1345413 +0 0+0 2(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2 y x y 由表可知，函数在由表可知，函数在-2 , 2上的最大值是上的最大值是

9、13，最小值是，最小值是4 练习练习1 求函数求函数 在在 -2 , 2上的最大值与最小值上的最大值与最小值 52 24 xxy 4 (1)(1)x xx 求函数求函数f(x)在（在（a , b）内的极值；）内的极值； 求函数求函数y=f(x)在在a , b上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤: 求函数求函数f(x)在区间端点在区间端点f(a), f(b)的值；的值； 将函数将函数f(x)在各极值与在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值个是最大值，最小的一个是最小值 例例2.设设f(x)=ax3 + bx + c (a0)

10、为奇函数为奇函数,其图象在其图象在 (1, f(1) 处切线与直线处切线与直线 x - 6y - 7= 0垂直垂直,导函数导函数 f (x) 最小值为最小值为-12 （）求）求 a，b，c 的值；的值； （）求函数）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数的单调递增区间，并求函数f(x)在在-1 , 3 上的最大值和最小值上的最大值和最小值 解：解：（） f(x)为奇函数，为奇函数，)()(xfxf 即即cbxaxcbxax 33 .0 c )( xf又又bax 2 3.12 b 直线直线 x- 6y -7= 0 的斜率为的斜率为 , 6 1 ,63)1( baf.2 a .0,12,2 cba

11、 的最小值为的最小值为-12 （）xxxf122)( 3 126)( 2 xxf)2)(2(6 xx x )(xf )( xf 列表如下：列表如下：0)( xf 令令得，得，.2,2 21 xx )2,( 2 )2,2( 2 ),2( 00 极大值极大值 极小值极小值 函数的单调增区间是函数的单调增区间是 , )2,( . ),2( )1(f,10 )2(f,28 ,18)3( f ,18 函数函数 f(x) 在在-1 , 3上的最大值是上的最大值是 最小值是最小值是 )3(f .28)2( f ,28 ,28 例例3.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半圆柱形金属饮料罐的容积一定时，

12、它的高与底面半 径应怎样选取（如图），才能使所用材料最省？径应怎样选取（如图），才能使所用材料最省？ 令令 得得 解：解： 设圆柱的高为设圆柱的高为h,底半径为底半径为R， 则表面积：则表面积： 2 22RRhS 由由 , 2h RV 得得, 2 R V h 则则 2 2 22)(R R V RRS , 04 2 )( 2 R R V RS ,2 2 2 R R V 得：得： . 2 3 V R 由由 ,2Rh 因为因为 S(R) 只有一个极值，只有一个极值， 所以它就是最小值所以它就是最小值. 答：答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省当罐的高与底直径相等时，所用材料最省. ,2 3 RV ,2 23 hRRV 1.新课程标准中对有关函数最大值与最小值的实新课程标准中对有关函数最大值与最小值的实 际问题的要求是只涉及际问题的要求是只涉及单峰函数，单峰函数，即在某开区间即在某开区间 只有一个极值点只有一个极值点.一般地，如果目标函数在开区间一般地，如果目标函数在开区间 的定义域内有最大（小）值，且在该区间内只有的定义域内有最大（小）值，且在该区间内只有 唯一极值点，那么这个极值点就是函数值的最大唯一极值点，那么这个