积分第一中值定理及其推广证明

1、2.1积分第一中值定理证明 积分第一中值定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，g(x)在(a,b)上不变号，并且g(x)在闭区间a,b上是可积的，则在a,b上至少存在一点，使得bba f (x)g(x)dx 二 f( ) a g(x)dx, (a _- b)成立。证明如下：由于g(x)在闭区间a,b上不变号，我们不妨假设g(x)_0，并且记f(x)在闭区 间a,b上的最大值和最小值为M和m，即m岂f (x)岂M，我们将不等式两边同 乘以g(x)可以推出，此时对于任意的a,b都会有mg(x)乞 f (x)g(x)辽 Mg(x)成立。对上式在闭区间a,b上进行积分，可以得到bbbm g(x)

2、dx 乞 f(x)g(x)dxMg(x)dx。a a- a此时在m, M之间必存在数值 丄，使得m _ _ M，即有bbf (x)g(x)dx g(x)dxaa成立。由于f(x)在区间a,b上是连续的，则在a,b上必定存在一点，使f() = J 成立。此时即可得到b . ba f (x)g(x)dx = f ( ) g(x)dx，命题得证。2.2积分第一中值定理的推广定理：(推广的第一积分中值定理)若函数 f(x)是闭区间a,b上为可积函数，g(x)在a,b上可积且不变号，那么在开区间(a,b)上至少存在一点，使得bb1 f(x)g(x)dx = f (-) J g(x)dx, (a,b)aa

3、成立。推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。证法1:由于函数f(x)在闭区间a,b上是可积的，g(x)在a,b上可积且不xx变号，令 F(x)二 f(t)g(t)dt，G(x)二 g(t)dt，很显然 F(x),G(x)在a,b上连续。a abb并且 F(a)=O,F(b)二 f(t)g(t)dt，G(a) =O,G(b)二 g(t)dt，F ( f( )g()，a aG( )=g()由柯西中值定理即可得到F(b)-F(a) _F ()G(b) -G(a) G ( )J (a，b)，化简，即ba f(t)g(t)dtf( )g()bag(t)dt根据上式我们很容易得出bba f

4、(t)g(t)d f ( ) ag(t)dt, (a,b)，命题得证。证法2:由于函数g(x)在a, b上可积且不变号，我们不妨假设g(x)_O。而函数f (x)在 闭区间a b 上 可积，我们令m = inf (x) |x a, bf ，M二supf (x)|x a,b?。假设F(x)是f (x)在闭区间a,b上的一个原函数，即F(x)=f(x),a,b。我们就可以得到下面等式bbbm g(x)dx 乞 f(x)g(x)dx 空Mg(x)dx (2.2.1 )aaab此时由于g(x) _0，则会有g(x)dx_O，由于存在两种可能性，那么下面我们La就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论

5、：(1).如果 g(x)dx =0，由等式(2.2.1 )可得出f(x)g(x)dx = 0，那么对LaLa于一 (a,b)都有b. bf(x)g(x)dx = 0 = f( ) g(x)dxaa恒成立。(2).如果 g(x)dx . 0，将(2.2.1 )除以 g(x)dx 可得 a aba f (x)g(x)dxbL g(x)dx(2.2.2 )我们记ba f(x)g(x)dxJ -a g(x)dx(2.2.3 )此时我们又分两种情形继续进行讨论:(I)如果(2.2.2 )式中的等号不成立，即有bf f(x)g(x)dxm ：a g(x)dxa:M成立,则此时一定就存在m ：M，可以使得m

6、 ： f(x) 一 f (x2) _ M ,我们不妨假设x ：x2，这其中x!,x2 a, b。因为F (x)=f(x) , x a,b，则会有F (xj = f(xjf(X2)= F(X2)。此时至少存在一点：(xnX2)，使得F(J = f)m二，即有bbJ f (x)g(x)dx= f() J g(x)dx,aa(XX2)a,b成立，从而结论成立。(n)如果(2.2.2 )式中仅有一个等号成立时，我们不妨假设丄-M，因b_为.g(x)dx 0，此时一定存在区间印如 (a,b)(其中a ： b )，使得-x a1,b1， a恒有g(x) 0成立，我们可以将(2.2.3 )式进行简化bba

7、g(x)dx = ：a f(x)g(x)dx，因为M，则有bM - f(x)g(x)dx =0 (2.2.4 )a而且我们已知M - f (x)g(x) _0，贝U严b0 M - f (x)g(x)dxM - f (x)dx = 0。y1a于是M - f (x)g(x)dx = 0 (2.2.5 ) y1在式子(2.2.5 )下必定存在a,b (a,b)，使得f)=二M 。如果不存在一个.-ai,bi(a,b)，使得f)M ,则在闭区间xi,yj上必定有M f(x) .0及g(x) 0成立，从而使得M 一 f (x)g(x) .0。如果aM -f(x)g(x)dx=0，由达布定理在印心上有M - f (x)g(x)LJ 0