电动力学第22讲42唯一性定理

1、第22讲唯一性定理第4章介质中的电动力学（2） 4.2唯一性定理在上节中我们说明静电学的基本问题是求出所有边界上满足边值关系或给 定边界条件的泊松方程的解。本节我们把这问题确切地表述出来，即需要给出哪 一些条件，静电场的解才能唯一地被确定。静电场的唯一性定理对于解决实际问题有着重要的意义。因为它首先告诉我们，哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据。其次， 对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的分析， 提出尝试解。如果 所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。 下面我们先提出并证明一般形式的唯一定理， 然后再证明有导体存在时的唯一性 定

2、理。1.静电问题的唯一性定理下面我们研究可以均匀分区的区域V，即V可以分为若干个均匀区域 Vi，每一个区域的电容率为 i。设V内有给定的电荷分布p （X）。电势在均匀区域Vi内满足泊松方程(4.2-1)在两区域Vi和Vj的分界上满足边值关系f0=4|j;|( 一 ) j)L的cn(4.2-2)泊松方程（4.2-1）式和边值关系（4.2-2）式是电势所必须满足的方程，它们 属于电场的基本规律。除此之外，要完全确定V内的电场，还必须给出 V的边界S上的一些条件。下面提出的唯一性定理具体指出所需给定的边界条件。唯一性定理： 设区域V内给定自由电荷分布，在 V的边界上S上给定（1）电势（H s（2）电

3、势的法向导数？0?n| s ,则V内的电场唯一确定。也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程（4.2-1）,在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在 V的边 界S上满足该给定的或？砂?n值。证明 设有两组不同的解和 满足唯一性条件定理的条件。(4.2-3)= - ; 贝U由 2 = - pg ， 2 = - p$，得在两均匀区界面上有2 =0（在每个均匀区Vi内）(4.2-4)在整个区域V的边界S上有；i()i = ； j*)j(4.2-5)s(4.2-6a)Is =cnS =0(4.2-6b)考虑第i个均匀区Vi的界面S上的积分由附录（1.7）式，这积分可以变换为体积分；j

4、 色dS =（:严! ）dViC )2dV ；八 2 dVViVi由（4.2-4）式，右边最后一项为零，因此丄IdS 二，V ；iC，）2dV对所有分区Vi求和得送入严#可dS= 尊（可）2dVi 1Sii (4.2-7)i图2-3设区域V内由一些导体，给定导体之外的电荷分布p给定各导体上的总电在两均匀区Vi和 V的界面上，由（4.2-5）式，和 的法向分量分 别相等，但dSi = -dSj。因此，在（4.2-7）式左边的和式中，内部分界面的积 分互相抵消，因而只剩下整个V的边界S上的积分。但在S上,由（4.2-6）式, 或者（H s，或者？W?n | s，两情形下面积分都等于零。因此由（4.

5、2-7）式有、V .0 UV= 0i i由于被积分函数 （ ） 2 0，上式成立的条件是在V内各点上都有、=0即在V内:二常量由（4.2-3）式，和 至多只能相差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影响，这就证明了唯一性定理。2.有导体存在时的唯一性定理当有导体存在时，由实践经验我们知道,为了确定电场，所需条件有两种类型：一类是给定每个导体上的电势，另一 个是给定每个导体上的总电荷 Qi。为简单起见，我们只讨论区域内含一种均 匀介质的情形。如图2-3,设在某区域V内有 一些导体，我们把除去导体内部以后的区域称 为V ，因而V 的边界包括界面S以及每个 导体的表面Si。设V 内有给定电荷分布 P

6、,S上给定 s或？/?n | s值。对上述第一 种类型的问题，每个导体上的电势亦给定，即给出了 V 所有边界上的或？/?n 值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可 知，V 内的电场唯一地被确定。对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下:荷Q i以及V的边界S上的或？/?n值，则V内的电场唯一确定。也就是说, 存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程(4.2-8)宀-/;在第i个导体上满足总电荷条件（4.2-9）(4.2-9)（n为导体面的外法线）和等势面条件外Si =i =常量，以及在V的边界S上具有给定的（H S或？0?n | S值(4.2-10)证明 设有两个解和满足上述条件，令则满足i2=

7、o,(V 体内)护s=0或兰S =0cn(4.2-11)(4.2-12)(4.2-13)对区域V 用公式dS 二肿(皿 dV( Q2dV ：L?2dV(4.2-14)上式左边的面积分包括 V的边界S以及每个导体的表面 Si上的积分。作为 V 的边界，Si的法线指向导体内部。若我们用n表示导体向外的法线分量，由（4.2-12）式，在Si上的积分为了 莎，dS = -九一dS=0gS cn由（4.2-13）式，在S上的面积分亦为零。因而（4.2-14）式左边等于零。该 式右边最后一项由（4.2-11）式得零，因此，c ： fdV 二 0由此得即和至多只能相差一个常量，因而电场唯一确定当导体外的电势

8、确定后，由边值关系8 s = b旬S因而导体上的电荷面密度亦同时确定。(4.2-15)由本定理的证明可以看出电场与电荷的相互制约关系。若空间内有一些导 体，给定各导体上的总电荷后，在空间中就激发了电场。同时导体上的电荷受到 电场作用。在静止情况，导体上的电荷分布使得导体表面为一个等势面。因此， 由导体上的总电荷和导体面为等势面的条件同时确定空间中的电场以及导体上 的电荷面密度。例 如图2-4,两同心导体球壳之间充 以两种介质，左半部电容率为 日，右半部电 容率为2。设内球壳带总电荷Q，外球壳接 地，求电场和球壳上的电荷分布。解 设两介质内的电势、电场强度和 电位移分别为帀，E i, D i和血

9、，E 2, D 2。 由于左右两半是不同介质，因此电场一般不 同于只有一种均匀介质时的球对称解。在找 尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边 值关系E2t 二巳,D2n 二 Dm,如果我们假设E仍保持球对称性，即AEi 3 r，（左半部）rAE2二飞r，（右半部）r图2-4(4.2-16)(4.2-17)(4.2-18)（A为待定常数），则在分界面两侧电场与界面相切，并有相同数值。因而边值关系（4.2-16）得到满足。而且由于 D2n = Din = 0，因而（4.2-17）式亦被满足。球对称的E再到体面上处处与球面垂直，因而保证导体球面为等势面。为了满足内导体总电荷等于 Q的条件，我们计算内

10、导体球面上的积分D dS =匸 dS；2 E 2dS = Q,(4.2-19)其中s和S2分别为左右半球面。把（4.2-18）式代入得2二（”亠：2）A = Q.解得代入（4.2-18）式得厂戸（左半部）Qr2- ( “ ；2)r3（右半部）(4.2-20)此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解虽然E仍保持球对称性，但是D和导体上的电荷面密度c不具有球对称性。设内导体球半径为a，则球面上的电荷面密度为二11ErJ二（a2,（左半部）（右半部）注意导体两半球上的面电荷密度是不同的，但E却保持球对称性。读者试解释这一点。第21讲习题解答：第 35-36 页，第 7，8，9，11，12，1

11、3 题。7 有一内外半径分别为1和2的空心介质球，介质的介电常数为使介质内均匀带静止自由点荷f求：（1）空间各点的电场(2) 极化体电荷和极化面电荷分布解：(1)在ri内取同心球面，以r (r : r1)为半径 八 D = rII；丁 = 0 二 D = = 0在口 ：: r : r2内取同心球面r ,r30fEd3”在r r2取同心球：D dW = ；E 4二 r2 二扌：( -口3)3；r333；。(r； -ri3)r/r方向：为正，均为圆心射线方向，:?f为负，均为汇聚圆心方向(2)二二儿(E；。)一亠乍一一珂二-1八ZZZ rr1或r - r2处是真空 二% =0在 口 ： r : r

12、2ciP1八oE=0P2=(0)Ex 330) (r2 -r1 )3；2r2 r13r22(1-22r224- r p1 4二 r2 tp2 . P4二 r drr143304330=0 匚二(2 -1 )(1-一)： f ；： (2 -1 )( - f 二 03呂3呂即，介质的总极化电荷为零8. 内外半径分别为ri和匕的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有稳恒均匀自由电流Jf，导体的磁导率为J，求磁感应强度和磁化电流。解：-。葺又是稳恒圭=0, 八= -0 j f口 ： r :r2dF=H ”2r =jf 冗(r2-rj)2rrr2:(B dF= %jf00B 2- r =0二(r； - ri2)

13、.乂身5r2r2 jm 八 M,1M= mF-iH=4-i H = J-i)1f0 0：r : Q)导体外和空心部分jM = 0n ( - Mi)=mm -(-1)r=ri, M1。M 2 = (丁 _1)H (r = ri) = 0r ，贝U： M2 =0, M i = (丁 T)H (r = a)I1故:2E11 ；2 - 12 ；1E21Eh ；2 - 12 ；1jsM =9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度f总是等于体自由电荷密度订的-（1-卫）倍。z证：订八肚儿Co eE） =O eE3节(:e=)11、平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为11和12,电容率为 和；2，今在两

14、板接上电动势为 E的电池，求（1）电容器两板上的自由电荷面密度f;（2）介质分界面上的自由电荷面密度f。（3）若介质是漏电的，电导率分别为 -和二2，当电流达到恒定时，上述 两问题的结果如何？解：1.在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向，则（介质界面上二f =0）IhE1+l2E2 = EDm - D2n = ；1E1 - ；2 E2 = 0又根据Dm -D2n = J，（n从介质1指向介质2） 在上极板的交界面上,D| - D?=门D2是金属板，故D 2=0即:1孕211（上极板处）两绝缘介质界面处：二f2=0在下极板的交界面上，S-D D； D1是金属板，故D=0即：匚f3 = -D

15、2二二-C fi （下极板处）li ；2I2 ；i2.若有漏电,Ei =并有稳定电流时,JiJ 2,E2 :；_ i；_ 2Ji = J 2电流稳定流动，电荷不积累12、证明IiEi 2E2 = EJi = J 2故：E=li . I2；i；2二 2E二iEH I2G又根据Din -D2n，（ n从介质1指向介质2）在上极板的交界面上，Di - D2 = ；丁 fiD2是金属板，故D2=0即：匚fi二Di二谨（上极板处）两导电介质界面处：二f2 2 12 1EIS +2i在下极板的交界面上，；f3=Di_D2Di 是金属板，故 Di=0即：二f3=-D2二- 总一（下极板处）店2心Ei 二Ii

16、6匸E2（i）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足t a n22t an1r其中和分别为两种介质的介电常数，6和匕分别力界面两侧电场线与法 线的夹角。(2)当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线曲折满足121t an2 t a n1 其中G和二2分别为两种介质的电导率。证明： ,(Di-方2)= o-Ei cos712E2 cos* = 0Et1 = Et2二 Ei sin E2 sin7二 =Ei cos 可 =sini cost v E2cosr2 cosr2s in；2 _ tg 勺2i tgs T Eit 二 E2t Ei sin 可=E2S in 匕- ； e i sin 片二上 sinr2aiCT2j I j又n G十2）f = 0 （稳恒电流J = 0）ct jeos = j2cosr2= jiSinm = Sin cos，? _ tg 得证。匚2j2 sin 1 sin 1 costtg: 2i3、用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界而上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面； 在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于 导体表面。解：导体内 = 0 E/导二E介=0绝缘介质与导体分界面导体外电场它总是垂直于导体表面导体内亍=；丁E，恒定电流时有Jl = 0补充题:1. 直接给出介