14角平分线的性质与判定

1、1.4角平分线的性角平分线的性 质与判定质与判定 A D B C E A D C B 杨杨 平平 A O B C 活活 动动1 （对折）（对折） 1、如图，是一个角平分仪，、如图，是一个角平分仪， 其中其中AB=AD,BC=DC。 将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD 沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一画一 条射线条射线AE,AE就是角平分线，就是角平分线， 你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗? 活活 动动2 A D B C E 如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ p2、证明：

2、 在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共边）（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等） AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义） A DB C E 根据角平分仪的制作原理怎样作根据角平分仪的制作原理怎样作 一个角的平分线？（不用角平分仪或一个角的平分线？（不用角平分仪或 量角器）量角器） O A B C E 活活 动动3 N O M C E N M 分别以，为 圆心大于 的长为 半径作弧两弧在AOB的 内部交于 2 1 作法： 以为圆心，适当 长为半径作弧，交

3、于 ，交于 作射线OC 则射线即为所求 (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 活活 动动4 (2)(2)猜想猜想: :角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的 两边的距离相等两边的距离相等. . 题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等 证明：证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分线的

4、定义）（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO= 90（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已证）（已证） 1= 2 （已证）（已证） OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） P P A A OO B B C C E E DD 12 已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC 上，上，PDOAPDOA于点于点DD，PEOBPEOB于点于点E E 求证求证: PD=PE: PD=PE 活活 动动4 (3)验

5、证猜想验证猜想 (4)得到角得到角 平分线的平分线的 性质：性质： 活活 动动4 利 用 此 性 质利 用 此 性 质 怎样书写推理过怎样书写推理过 程程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知） PD=PE（全等三（全等三 角形的对应边相等）角形的对应边相等） P P A A OO B B C C E E DD 12 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。 AD C B BD CD （ ） 如图，如图， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分

6、线上的点到这在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。 A D C B BD CD （ ） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ， （ ） DBDC 在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。 A D C B 不必再证全等不必再证全等 ， O A B E D 思考：思考： 如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意上任意 一点一点,问问PE=PD?为为 什么什么? C P PD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离平分线

7、上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等所以不一定相等 思考：思考： 要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处 米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） 公路 铁路 如 图 ： 在 如 图 ： 在 A B C 中 ，中 ， C=90 AD是是BAC的平分的平分 线，线，DEAB于于E，F在在AC上，上， BD=DF； 求证：求证：CF=EB A CD E B F 分析分析:要证要证CF=EB,首先我们想到的是要证它首先我们想到的是要证它 们所在的两个三角形全等们所在的

8、两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等),还需还需 要我们找什么条件要我们找什么条件 DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) 再用再用HL证明证明. 试试自己写试试自己写 证明。你一证明。你一 定行！定行！ 做一做做一做 驶向胜利 的彼岸 w已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线, ,且且 BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F. w求证求证:EB=FC. :EB=FC. 老师期望老师期望: : 做完题目

9、后做完题目后, ,一定要一定要“悟悟”到点东到点东 西西, ,纳入到自己的认知结构中去纳入到自己的认知结构中去. . B A E D C F D E F A BC P M N 变式：变式：如图，如图，的的的外角的平的外角的平 分线与分线与的外角的平分线相交于的外角的平分线相交于 点求证：点到三边，点求证：点到三边， 所在直线的距离相等所在直线的距离相等 F F G H 一、过程小结：一、过程小结： 情境情境观察观察作图作图应用应用探究探究再应用再应用 二、知识小结：二、知识小结： 本节课学习了那些知识？有哪些运用？你本节课学习了那些知识？有哪些运用？你 学了吗？做了吗？用了吗？学了吗？做了吗？

10、用了吗？ w 定理定理 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个 角的两边距离相等角的两边距离相等. . w OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC 上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB, 垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知) ) PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到这 个角的两边距离相等个角的两边距离相等).). w 用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. . 小结 拓展 O C B 1 A 2 P D E 已知：已知：PD OA ，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E， PD=PE. 求证：求证： 点点P在在

11、AOB的平分线上。的平分线上。 角平分线的判定定理角平分线的判定定理 A O B P D E C 用符号语言表示为：用符号语言表示为： PD=PE PD OA ，PE OB 1= 2 . 角的平分线是到角的两边距离相角的平分线是到角的两边距离相 等的所有点的集合等的所有点的集合. 练一练练一练 填空：填空： (1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) (1). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ (_ _) A C D E B 1 2 1= 2 DC=DE 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 在角平分线上的点到角的两边

12、的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.已知：如图，已知：如图，C= C=90 AC=AC 求证求证（1） ABC= ABC ； （2）BC=BC .（要求不用三角形全等的判定）（要求不用三角形全等的判定） B C A C 例例1 1 已知：在等腰已知：在等腰RtRtABCABC中，中，AC AC BCBC C C9090，ADAD平分平分 BACBAC，DEABDEAB于点于点E E。 求证：求证：BDBDDE DE ACAC 变式变式 已知已知AB 15cm, 求求DBE的周长的周长 E DCB A 利用结论，解决问题 练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 想一想 在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的? 2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处 分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。 A A A A A A A D NE B F M C A 1.角平分线的性