考研试题线性代数部分

1、考研试题(线性代数)部分汇编05年一、选择题(11)设1, 2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是1, 2，贝U 1,A( 12)线性无关的充分必要条件是()。(A) 1 0(B) 2 0(C 1 0(D) 2 0(12 )设 A为n (n 2)阶可逆矩阵，交换A的第一行与第二行得到矩阵B, A* ,B*分别是矩阵A, B的伴随矩阵，则()。、 * * * *(A)交换A的第一列与第二列得 B( B)交换A的第一行与第二行得 B(C)交换A的第一列与第二列得 B( D)交换A的第一行与第二行得B二、填空题($)设 1，2，3 是三维列向量，记矩阵 A ( 1, 2, 3), B (

2、 123, 1 2 2 4 3, 1 3 2 9 3),如果A 1，则B 。三、解答题(20)已知二次型(1 a)x12 (1 a)X22 2x32 2(1 a)x1x 2 的秩为 2.求a的值；求正交变换 XQY，把二次型f(N,X2,X3)化成标准形；求方程f (X1, X2, X3)0 的解.9123246 ( k为常数)，且AB 0 ,36k(A)若aa2,L , a,线性相关，则Aa1, Aa2,L , Aa,线性相关.(B)若a1, a2, L , a,线性相关，则Aa1, Aa2,L , Aa,线性无关.(C)若印，a2,L ,a,线性无关，则Aa1, Aa2,L , Aa,线性

3、相关.(D)若a1, a2,L , a,线性无关，则Aa1, Aa2,L , Aa,线性无关.(2 1)已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c) , a,b,c不全为零，矩阵B求线性方程组AX 0的通解.06年一、选择题(11 )设a1, a2,L , a,均为n维列向量，A是m n矩阵，下列选项正确的是(12)设A为3阶矩阵，将 A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的一1倍加到第2列得C ,1 1 0记P 010 ，贝V0 0 1(A)C P1AP(B)C PAP 1(C)CPTAP(D)C PAPT 【】二、填空题(4)点(2,1, 0)到平面3x 4y 5z 0的距离z =.(数一)(

4、4)已知a1,a2为2维列向量，矩阵A(2a,a2,a1a2),B(a“，a?)。若行列式|A| 6 ,（数四）则 | B| =（5）设矩阵A，E为2阶单位矩阵，矩阵 B满足BAB 2E，贝U B =三、解答题20已知非齐次线性方程组X14x1ax1X2 X3 X413x2 5x3 x43x3 bx41有3个线性无关的解X2I证明方程组系数矩阵 A的秩r An求a,b的值及方程组的通解.（数一）20.设 4维向量组 a1(1 a,1,1,1)T,a2(2,2 a,2,2)T , a3 (3,3,3 a, 3)T , a (4, 4,4,4 a)T ,问a为何值时a1, a2, a3, a4线性

5、相关?a2a3 a4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余量用该极大线性无关组线性表出。（数四）21设3阶实对称矩阵 A的各行元素之和均为3,向量11,2, 1 T , 20, 1,1 T是线性方程组 AX=0的两个解，（I ）求A的特征值与特征向量（n ）求正交矩阵Q和对角矩阵人，使得 QTAQ .07年（D）即不合同，也不相似一、选择题(7)设向量组1,2 ,3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）(A)1 2 , 23 ,31 .(B)12 ,23 ,31 .(C)1 2 2, 223,32 1 .(D)122,223 ,321 .2111 00(8)设矩阵A121 ,B 010

6、.则A与().1120 00（C）不合同，但相似（A）合同，且相似（B）合同，但不相似、填空题(15 )设矩阵00 3 ，贝V A的秩为1三、解答题X1X2X3X12x2ax3X14卷2 a x(21) (11分)设线性方程组0 与方程为02x2 X3 a 1有公共解，求a的值及所有公共解.(22) (11分)设3阶对称矩阵 A的特征值11, 22, 32 ,(1, 1,1)T是A的属于特征值1的一个特征向量，记 B A 4A3 E，其中E为3阶单位矩阵. 验证i是矩阵B的特征向量，并求 B的全部特征值和特征向量.求矩阵B.08年一、选择题(5)(A)(C)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵

7、，若E A不可逆，E A不可逆.(B)E A可逆，E A可逆.(D)A30,则( E A不可逆, E A可逆，)。E A可逆.A不可逆.(6)设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程则A的正特征值个数为(A)(B)1.(6)2 ，则在实数域上与1(A)(B)二、填空题(1 1)设A为2阶矩阵,.(数一)(x,y,z)A y(图形为单叶双曲面)(C)2.A合同的矩阵为(C)2 11 22为线性无关的二维列向量,(1 2)设3阶矩阵A的特征值互不相同，若行列式A(13 )设3阶矩阵 A的特征值1,2,则4A 1(D)(D)三、解答题(2 0)(11分)A证 r(A) 2;1在正交变换下的标准方程的图

8、形如图,3.则 r(A)T ,是三维列向量,(数一)2(数四)122 12，贝y A的非零特征值.(数四)(数三)T是的转置，T是的转置. 若，线性相关，则r(A)2.(数一)2a12 a2aO(21） （11分）设矩阵A,5现矩阵A满足方程AX B，其中X （X1,X2丄,Xn）T ,O2a12 a羽nnB(1,o,l,o)t.求证:A(n1)an;a为何值时，方程组有唯一解，求X1 ；a为何值时，方程组有无穷多解,求通解.（数一）（数四的2 0题）（2 1） （11分设A为3阶矩阵，1, 2为A的分别属于一1,1的特征向量，向量3满足A 323（数四的2 1题） 证明1，2，3线性无关；（

9、2）令P （ 1，2，3），求P 1AP 09年数学一、 选择题3 1 1（5）设1, 2, 3是三维向量空间 R的一组基，则由基 1,2,3到基2312, 23 , 31的过渡矩阵为（）。101120(A)220(B)023(C)033103111111244222111111(D)-246444111111246666A = 2, B = 3,则分块矩阵（6 ）设A, B均为2阶矩阵,A , B分别为A, B的伴随矩阵，若的伴随矩阵为（/ 、 O3B/ 、 O2B(A)*(B)*2AO3AO、填空题/ 、O3A/ 、 O2A(C)*(D)*2BO3BO（13）若3维向量满足T = 2,其中

10、T为的转置，则矩阵丁的非零特征值为对中的任意向量2,3,证明12,3线性无关。三、解答题1-1-11(20)( 11 分)设 A = -111 ,=-10-4-22求满足A 2= 1, A2 3= 1的所有向量2,(21)( 11 分)设二次型 f (x1,x2, x3) ax： ax； (a 1)x； 2x-|X2 2x2x3(I)求二次型f的矩阵的所有特征值；(n)若二次型f的规范形为y yl,求a的值.数学二、选择题(7)设A, B均为2阶矩阵，A , B*分别为A, B的伴随矩阵，若 A = 2, B = 3,则分块矩阵/ 、 O3B/ 、 O2B(A)*(B)*2AO3AOAO的伴随

11、矩阵为()/ 、O3A/ 、 O2A(C)*(D)*2BO3BO(8)设A, P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP100010，若 P ( 1, 2, 3),0021-1-1-1(22)( 11 分)设 A = -111 ,=10-4-2-2对中的任意向量求满足A 2= 1, A2 3= 1的所有向量2,(23)2,3,证明1,2,3线性无关。(11 分)设二次型 f(X1,X2, X3)2ax12 2ax2 (a 1)x3 2xrX22x2X3Q ( 12 ,2 ,! 3),则 qtAQ为()210110200100(A) 110(B)120(C)010(D)02000200200

12、2002二、填空题(14)若3维向量满足T=2,其中T为的转置，则矩阵T的非零特征值为解答题(I)求二次型f的矩阵的所有特征值；(n)若二次型f的规范形为y y2,求a的值.数学三一、选择题(5)设A, B均为2阶矩阵，O aO的伴随矩阵为(B OA*,B*分别为A, B的伴随矩阵，若 A = 2,B = 3,则分块矩阵)/ 、 O3B/ 、 O2B(a )*(B)*2AO3AO/ 、 O3A/ 、 O2A(C)*(D)*2BO3BO(6)设A P均为3阶矩阵，卩丫为P的转置矩阵，且PtAP100010，若 P ( 1, 2, 3),002Q ( 12, 2, 3),则 QTAQ 为()21011020 0100(a ) 110(B) 120(C)01 0(D)02000200200 2002二、填空题30 0(13)设(1,1,1)T,(1,0,1k)T,若矩阵T相似于00 0则k=0 0