高考数学大一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算教师用书文

1、5.1 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求两个向

2、量差的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当a0时，a0；当0时，a0(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab3.向量共线定理对于两个向量a(a0)，b，如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.【知识拓展】1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则().3.(，为实数)，若点A，B，C共线，则1.【思

3、考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.()(3)若ab，bc，则ac.()(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立.()1.给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等.则所有正确命题的序号是_.答案解析根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错

4、误.2.(教材改编)D是ABC的边AB上的中点，则向量_.答案解析如图，.3.(教材改编)若2(ya)(cb3y)b0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y_.答案abc解析由2(ya)(cb3y)b0，得2yacbyb0，即yacb0，所以yabc.4.(教材改编)已知实数m，n和向量a，b，给出下列命题：m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana(a0)，则mn.其中正确的命题是_.答案解析若m0，则mamb0，但a与b不一定相等，故不正确.5.(2016江苏徐州四校联考)在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.答案解析由2，得()，结合，知.题型一平面

5、向量的概念例1给出下列四个命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_.答案解析不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.正确.，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，.正确.ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确.当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而

6、是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是.思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线.设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是_.答案3解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，

7、则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.题型二平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算例2(1)在ABC中，c，b，若点D满足2，则_.(2)(2015课标全国改编)设D为ABC所在平面内一点，3，则_.答案(1)bc(2)解析(1)2，22()，32A，bc.(2)3，3()，即43，.命题点2根据向量线性运算求参数例3(1)(2017江苏昆山中学月考)如图所示，在ABC中，D为BC边上的一点，且BD2DC，若mn(m，nR)，则mn_.(2)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)

8、，若x(1x)，则x的取值范围是_.答案(1)2(2)解析(1)直接利用向量共线定理，得3，则33()33，则m，n，那么mn2.(2)设y，yy()y(1y).3，点O 在线段CD上(与点C，D不重合)，y，x(1x)，xy，x.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分

9、别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中，则的值为_.答案解析，2.由向量加法的平行四边形法则可知，()2，由E，F，K三点共线，可得.题型三共线定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线.(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线.(1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5，共线.又它们有公共点B，A，B，D三点共线.(2)解假设kab与akb共线，则存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k1.思维升华(1)证明三点

10、共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线.设两个向量a与b不共线.(1)试证：起点相同的三个向量a，b,3a2b的终点在同一条直线上(ab)；(2)求实数k，使得kab与2akb共线.(1)证明设a，b，3a2b.因为(3a2b)a2(ab)，ba，所以2，故，共线.又，有公共起点A，所以A，B，C在同一条直线上.(2)解因为kab与2akb共线，所以设kab(2akb)，R，即kab2akb，又a与b

11、不共线，所以所以k.4.容易忽视的零向量典例下列叙述错误的是_.若ab，bc，则ac.若非零向量a与b方向相同或相反，则ab与a，b之一的方向相同.|a|b|ab|a与b方向相同.向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.0.若ab，则ab.错解展示解析中两个向量的和仍是一个向量，0.答案现场纠错解析对于，当b0时，a不一定与c平行.对于，当ab0时，其方向任意，它与a，b的方向都 不相同.对于，当a，b之一为零向量时结论不成立.对于，当a0且b0时，有无数个值；当a0但b0或a0但b0时，不存在.对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以0.对于，当0时，不管a与b的大小与方向

12、如何，都有ab，此时不一定有ab.故均错.答案纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.1.(2016徐州模拟)已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是_.ab0aba与b共线反向存在正实数，使ab答案解析因为a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则a与b共线同向，故D正确.2.(教材改编)对于非零向量a，b，“ab”是“ab0成立”的_条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要不充分解析由ab0，可得ab，即得ab，但ab，不一定有ab，所以“ab”是“ab0成立”的必要不充分条件.3.已知向量a，b，c中任意两个都不

13、共线，但ab与c共线，且bc与a共线，则向量abc_.答案0解析依题意，设abmc，bcna，则有(ab)(bc)mcna，即acmcna.又a与c不共线，于是有m1，n1，abc，abc0.4.(教材改编)已知D，E，F分别是ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确的命题是_.(填序号)答案解析ab，ab，()ab，所以0.5.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_.答案2解析O为BC的中点，()(mn)，M，O，N三点共线，1，mn2.6.设P为锐角ABC的外心(三

14、角形外接圆的圆心)，k()(kR)，若cosBAC，则k_.答案解析取BC的中点D，连结PD，AD，则PDBC，2，k()(kR)，2k，A，P，D三点共线，ABAC，cosBACcosDPC，APAD，2k，解得k.7.(2016江苏无锡一中质检)在ABC中，D在线段BC上，2.若mn，则_.答案解析因为，2，所以mn，所以m，n，所以.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，则xy_.答案解析如图，取单位向量i，j，则：ai2j，b2ij，c3i4j.cxaybx(i2j)y(2ij)(x2y)i(2xy)j，xy.9.设a，b

15、不共线，2apb，ab，a2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是_.答案1解析ab，a2b，2ab.又A，B，D三点共线，共线.设，2apb(2ab)，a，b不共线，22，p，1，p1.10.已知ABC和点M满足0.若存在实数m，使得m成立，则m_.答案3解析0，M为ABC的重心.如图所示，连结AM并延长交BC于点D，则D为BC的中点. .又()，()，即3，m3.11.如图，经过OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，则的值为_.答案3解析设a，b，由题意知()(ab)，nbma，ab，由P，G，Q三点共线得，存在实数，使得，即nbmaab，从而消去得3.12.在ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.解()ab.()()ab.13.设a，b是不共线的两个非零向量.(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若ab