河北师大近世代数课件 第2讲--3-7节代数运算与三种运算律-一一映射 (3)

1、 第10节 等价关系与集合分类 第第4讲讲 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1, 2, 3, 4,Z , 34, 24 , 14,4 32 10 ZqqnZnAZqqnZnA ZqqnZnAZqqnZnA 例例1 1 设整数集设整数集 ) 3 , 2 , 1 , 0( iA i Z 可知，可知，是整数集是整数集的一些子集的一些子集，并具有，并具有 以下特征：以下特征： ) 3 , 2 , 1 , 0( iAi jiAA ji 3 0 3210 i i AAAAAZ （1） （2） （3） 这三条性质说明，整数集恰好被分成一些（四个） 两两不相交的非空子集的并，这里的每个子集恰好 由

2、除以4余数相同的整数组成。 Zm一般的，任取一个正整数一般的，任取一个正整数，都能将，都能将 成成m个两两不相交的非空子集的并，个两两不相交的非空子集的并，使得每个使得每个 子集恰好是由除以子集恰好是由除以余数相同余数相同的整数组成的。的整数组成的。m 则被则被分解成偶数子集和分解成偶数子集和特别地，取特别地，取2,m Z 奇数子集的并。奇数子集的并。 分解分解 02 12 22 ()( )()0 ()( )()1 ()( )()2 ijij ijij ijij AaMRa AaMRa AaMRa 秩 秩 秩 2( ) (); ,1,2 ijij MRaaR i j设设 R 是是 矩阵组成的集

3、合，令矩阵组成的集合，令 )( 2 RM 易知，易知， 的这三个子集满足以下特征：的这三个子集满足以下特征： ) 2 , 1 , 0( iA i jiAA ji 2 0 2102 )( i i AAAARM （1） （2） （3） 上一切二阶上一切二阶 说明：说明：二阶矩阵集恰好被分成三个两两不相交的非空子集二阶矩阵集恰好被分成三个两两不相交的非空子集 并，而每个子集恰好是由秩相同的二阶方阵组成的。并，而每个子集恰好是由秩相同的二阶方阵组成的。 , i AA iI i AiI ， , ij AAi jIij 对且 Ii i AA A A 设设为任一个集合，而为任一个集合，而是是的一些的一些 I

4、其中其中 是指标集，如果是指标集，如果 （2 2） （3 3） A 则称则称是是的一个分类的一个分类, ,而而中每个元素中每个元素 i AA都叫做都叫做 在在 下的一个类下的一个类. . 的一些子集组成的集合，的一些子集组成的集合， （1 1） Z 10123 ,A A A A 例例1 1中，中，的分类的分类 使在同一类里的整数除以使在同一类里的整数除以4 4之后余数都相同，而之后余数都相同，而 分在不同类里的整数除以分在不同类里的整数除以4 4后，得到的余后，得到的余 数也必然不同数也必然不同. . 之下，同一类的二阶方阵秩数都相同，而分在不之下，同一类的二阶方阵秩数都相同，而分在不 同类里

5、的二阶方阵，其秩数不然不同同类里的二阶方阵，其秩数不然不同. . )( 2 RM 2012 ,AAA 在分类在分类例例2中，中， 注意注意：可以看出，对每一个确定的分类来说，：可以看出，对每一个确定的分类来说， 凡是分在同一类里的元素都具有某种共同的性质，凡是分在同一类里的元素都具有某种共同的性质， 而分在不同类的元素所具有的这种性质也必不同。而分在不同类的元素所具有的这种性质也必不同。 “同类元素都具有某种关系，不同类的元素 一定没有这种关系”这种看法所指的“某种关系”完 全由具体的集合、具体的分类所内定的，决不会 千篇一律地都是“差被4整除”这种关系，比如例2. 但不管上述谈到的“某种关系

6、”具体怎样，一般 来说，集合的任何一个分类都是利用元素间的 “某种关系”而得到的. 这就是下面要讨论的问题: 定义定义 设设 A为集合， 为集合，D 对，错对，错 ，那么，那么 Aba,由上述定义知，由上述定义知，中任一对元中任一对元，都可以，都可以 判定是否符合这个关系判定是否符合这个关系. . AR DAA 到到的每个映射的每个映射就叫做就叫做 的一个的一个 关系（也称为二元关系）关系（也称为二元关系）. 若若对),( :baRa b ，就称，就称与与 符合关系符合关系 错),( :baR若若ab，就称，就称与与不符合关系，记为不符合关系，记为 .aRb aRb，记为，记为； 在在 Z 中

7、，定义中，定义 1 :( , ), ( , ), Ra bab a bab 对 若 错 若 2 : (,), (,), Ra ba b a ba b 对 若 错 若 3 : ( , ),( , )1) ( , ),( ,b)1) Ra baba b a baba 对 若 与 不互素 即 错 若 与 互素 即 “大于大于”关系关系 “整除整除”关系关系 “不互素不互素”关系关系 4 :( , ), ( , ),4 Ra bab a bab 对 若4| 错 若 :( , ), ( , ), Ra bab a bab 对 若秩秩 错 若秩秩 )( 2 RM在在中，定义中，定义 R （实际上，（实际上

8、，就是例就是例2中的中的“秩相等秩相等”的关系）的关系） 设设M是整数集，规定是整数集，规定0 a aR b b 不是整数集的关系不是整数集的关系.R A 上述的例子分析可知：不是用上述的例子分析可知：不是用 一个二元关系都能给一个二元关系都能给确定一个分类；确定一个分类； 是需要具有特殊性质才行是需要具有特殊性质才行. 的任何的任何 A 也就是说，能够给集合也就是说，能够给集合确定分类的二元关系确定分类的二元关系 为此，我们必须研究下列特殊的二元关系为此，我们必须研究下列特殊的二元关系: , .aA aa ,Acba 如果具有以下三种性质：如果具有以下三种性质： 2.2.对称律（对称性）：对

9、称律（对称性）： 3.3.推移律（传递性）：推移律（传递性）： 时，习惯称时，习惯称 A 设是集合设是集合上的二元关系，上的二元关系， 1 1. .反射律（反身性）：反射律（反身性）： ,Aba当当时必有时必有ab .ba 当当 时必有时必有 ab 且且 bc .ac 那么关系叫做那么关系叫做 ab a 与与 b 等价等价. A上的上的等价关系等价关系.并且当并且当 定理1：集合A的每个分类都决定了A的一个等价关系. abab 与与 IiAA i A 证明：设证明：设是是的一个分类，用的一个分类，用 规定规定上一个二元关系：上一个二元关系： 显然是显然是的一个关系，须证是等价关系的一个关系，须

10、证是等价关系. . A A , ii aAiIaAaaAaa 有有使使故故 与与 同同在在中中 1.1.反身性：反身性： ,Aba 则 与 在 中 i baAba 2.2.对称性：对称性：若若 ,则存在某个使同属于 ii abAa bA 我们可以我们可以 在同一类里在同一类里 ,Acba ,与 同在 中 与 同在 ij abAbcA , .与 同在 iji AAacAac 3.传递性：传递性： 若若 ,且，故存在使ab bci jI ij bAA ，由分类的特性知，由分类的特性知 综上，证得是等价关系综上，证得是等价关系. 集合A的任一个等价关系都可确定A的一个分类. , Aa axA xa

11、a ： aaaa 证明：证明：令令，如此确定的这些子集具有：，如此确定的这些子集具有： (1)(1) ba ,xabxa xb ,ab （2 2）当当a与与b不等价时：不等价时： ，由的对称性和传递性知，由的对称性和传递性知 ，推出矛盾，所以，推出矛盾，所以 . . a b 若若 a A Aa ， Aa aaaAa AAaa是 （3 3） 的一个分类的一个分类. . a bab baba 注意：（注意：（1 1） （2 2）若）若 / A A A设设是是上等价关系确定的分类，上等价关系确定的分类， ，并称，并称 为为 的关于等价关系的商集的关于等价关系的商集. . 习惯上记习惯上记/ A A

12、/ AaaA a a 因为因为 ，那么每个，那么每个 一个代表一个代表,而每类的一个代表组成的集合叫做而每类的一个代表组成的集合叫做 叫做这个等价类的叫做这个等价类的叫做叫做A的一个等价类，而的一个等价类，而 A的一个全体代表团的一个全体代表团. 等价类与其代表元素的选取无关等价类与其代表元素的选取无关 ( )ab n Zn0Z :,(,)Ra bZ aRbn ababnq qZ aRb an称 与b模 同余. 任取任取，可以在，可以在中确定一种等价关系中确定一种等价关系 R n则称则称为模为模的同余关系，并将的同余关系，并将 记为记为 由同余关系确定的分类中的类为模由同余关系确定的分类中的类

13、为模n的剩余类的剩余类. R Z n Z 而由同余关系引导出来的商集而由同余关系引导出来的商集习惯上记为习惯上记为 . Z 0, 2 ,0, ,2 , 1, 21,1,1,1,21, 1,1, 1,1,21,31 0,1,1 , n n n nnnn nnnn Z nn n nnn 可以知道，中共有 元： （要求熟练掌握）（要求熟练掌握） 例例6 设 试确定集合 上的全部等价关系. , ,Sa b c S 解解由定理知，只要求出的 全部分类,也 S 即求出的 所有可能的子集划分即可 S (1) 如果 分划为一个子集, 则有 ;S 1 S (2) 如果 分划为两个子集, 则有3种分法S 23 4 , ,; ab cba c ca b (3) 如果 分划为三个子集, 则有 S 5 ,abc 因此, 上共有五个不同的等价关系, 它们是 S 1 , , , , , , , , a