第四章边值问题的分离变量方法..doc

1、第四章边值问题的分离变量方法本章利用分离变量方法求解波动和扩散的边值问题。掌握分离变量思想方法是本章的关键。 4.1 Fourier 级数对定义在区间 lxl 上的周期函数f ( x) ，可定义其Fourier 级数，f ( x) 1 A( A cos nxBsin nx)20n 1nlnl这里， cos nx ,sinnx , n0,1,2, 构成了一个正交系，即lllcos mx sin nx dxlx cos n x dx0 ，cosml0,m n ，lllllllsin mx sin n x dx 0,mn ， 1 lcos mx cos n x dx 1，lll lll1 lsin

2、mx sin nx dx1。l lll由此 An 1 lcos nx f ( x)dx ， Bn1 lsin nx f ( x)dx 。l lllll其复数形式：ninlnf ( x) x，而 cnixf ( x) dx 。cn e l1 e lnll关于 Fourier 级数收敛主要有如下结论。定理 （点收敛定理）1） 如果 f (x) 连续， f( x)分段连续，则f ( x)1nlxn x)；2 A0n 1( An cosBn sinl2） 如果 f (x) ， f ( x) 分段连续，则在连续点，f ( x)1 A0( An cos nxBn sin n x ) ；2n 1ll在不连续

3、点，f ( x)f ( x)1 A0( An cos nxBn sin nx ) 。22n 1ll一般 L2 a,b 中的 Fourier 理论简介： L2 收敛，正交和完备。 （是否要进一步展开？）例 对 f ( x)1x0, l 0x，求其 Fourier 变换。0, l 解 有两种选择： sin kx 或 cos kx 。但不能展开成完整的Fourier 级数，因为，在 0, l ll上， cos mx,sin nx 不是正交系。ll（1） f ( x)Bn sin n x ，则 Bn2n 1lll0sin n x f (x)dx21 ( 1)n 。ln即 14 sinx1 sin 3

4、x1sin (2 n 1)x 。l3l2n 1l（2） f ( x)An cos n x ，则 An2n 1lll0nx1n0cosf ( x) dx0n。l0即 110cosx0cos 2x0cos nx，是平凡的情形。lll关于（ 1）形式上的验证：41sin31(2 n1)sinxx2n 1sinx1l3ll4cos xcos 3xcos (2 n 1)x dxl0lll4 1sinlxx3xcoscosl 0sinlxll1 sin 2nx2 limldx2 lim1l n0sin xn2nl2 n/ l0(2 n1)cosx dxlsin xdx2 li m2n/ l sin x d

5、x2sin x dx 1x0x0xnsin2n 4.2 一维波动和扩散方程的分离变量方法考虑波动方程utt c2uxx0,0 xl ,t 0u(0, t) u(l ,t )0。u( x,0)( x), ut ( x,0)( x)该方程可以通过周期奇延拓方法求得解，但是解的形式较复杂。这里，将利用函数的无限线性组合来表示解。波动方程具有变量分离形式u(x, t ) X (x)T (t ) 的解应该是什么？把该函数代入方程得，X ( x)T (t )c2 X( x)T(t)0 ，即XT，Xc2T其中 是不依赖于 x, t 的常数。首先分别讨论0 和0 时，方程XX0X (0) X (l ) 0的解

6、。1） 若0 ，则 X ( x)c1 c2 x ，由边界条件，X0；2） 若0 ，则 X ( x)c1exc2 ex ，由边界条件，X0 ；3） 若0，则 X ( x)c1 cosxc2 sinx ，由此， c10 ， c2 sinl 0 ，为使方程有非零解，必须lk,k1 。记 kk 2 2，则l 2X k ( x)ck sink xcksinkx 。l相应的 T (t ) 为Tk (t)ak cosk cxbk sink cx 。所以利用线性叠加（同时如果求导和无限和可交换），则u( x, t)(ak cos kctbk sin kct )sinkxk1lll是方程的解。现在选取参数 ak

7、 , bk ，使解 u( x, t ) 满足初始条件：u(x,0)( x), ut ( x,0)( x) 。即( x)akkx ，(x)bkkkx 。sinc sink 1lk1lllmnl ，因此，利用正交性0sinlx sin l xdxmn 2a2 l( x)sin kxdx ， bk2l( x)sin k xdx。kl 0lkc 0l因此有限弦长固定边界的齐次方程的形式解为u( x, t)(ak coskkat )sinkxat bk sinllk1l2 l()sinkcosk2l()sinkdkk(datk a 0lsinat)sinxk 1 l 0llll解的物理意义。上述解显然可

8、以改写为u( x,t )N k cos(ktk )sinkx ，k 1l其中N k22kc， cosak， sinbk。akbk ， klkak2bk2kak2bk2可见：该波动可以视为振动uk (x, t )N k cos(ktk )sinkx ， k1之叠加。而此振动luk (x, t ) 的频率和位相与位置x 无关，振幅则依赖于位置， 特别在点 xk ,mlm , 0 mk ，k其振幅为零，这类振动称为驻波。基音（最低固有频率） ： 1c，这是叠加振动分量中的最低振动频率。该频率与振动的l初始条件无关，只与弦长和弦的材质有关。泛音：kk 1 ，其余叠加振动分量中的振动频率是最低振动频率的

9、整数倍。【 end】同样方法可考虑一维齐次扩散方程的初边值问题uta2uxx , t0,0xlu( x,0)( x),。u(0, t )0, u(l ,t )0令 u( x, t )X (x)T (t) ，则 XTa2 X T ，因此XT。Xa2T同样讨论何时，XX0， X(0)0, X (l ) 0方程有非零解。类似当0 时，方程只有零解，只有当k 22kl2时，方程有非零解X k (t)ak sink xaksin kx 。l相应， Tk (t )dk e k a2t，即u(x, t )A ek a2tsinkx 。lkkl寻找一般解ka2 tku(x,t )uk ( x,t)Ak e l

10、sinlk1k 1使其满足初始条件： u( x,0)( x) 。这时，仍得ak2 lksinx (x)dx 。l 0l，【 end】对很多齐次边界条件问题，分离变量法都能得到解的级数展开表示形式。例如，1） Dirichlet 条件： u(0, t )u(l , t)0；（ X0)()Xl 0）2） Neumann 条件： ux (0,t )ux (l , t ) 0 ；（ X 0)(X() l 0）3） Robin 条件：u0；（ ( X0)(aX,0)(0() X l()aXl l）a( x)unw ，使边界条件齐次化，即： 4.3 非齐次方程的分离变量方法对一般的非齐次波动方程uttc2

11、 uxxf (t, x),0xl , t0u(0, t )g(t), u(l ,t)h(t )，u( x,0)( x),ut (x,0)(x)利用叠加原理，可以把问题的解分解为振动的叠加。令uvw ，vttwttv(0, t )v(x,0)选择c2 (vxx wxx ) f (t, x),0 x l ,t 0 w(0, t) g (t), v(l , t ) w(l , t) h(t)w( x,0)( x), vt ( x,0)wt ( x,0)( x)w(0, t )g(t), w(l ,t )h(t ) 。这类函数很多，例如，w( x,t)a(t )xb(t ) ，其中， a(t)1h(t

12、 ) g(t ), b(t) g(t) 。这样，问题转化为齐次边l界问题uttc2uxxf (t, x),0xl , t0u(0, t )u(l ,t )0u( x,0)( x), ut ( x,0)( x)的求解。而该问题又可分解为 uvw ，（为方便起见，u 等，仍记为 u ），vttc2vxxf (t , x),0xl ,t0v(0, t)v(l , t )0v( x,0)vt ( x,0)0和 uv w ，wtt c2 wxx ,0xl ,t0w(0, t )w(l ,t )0w( x,0)( x), wt ( x,0)( x)第二个问题可用分离变量方法求解。第一个问题利用固有函数方法

13、也可用分离变量方法解。设 v( x, t)v (t )sinnx ，这nln 1时边界条件自然满足，而初始条件，使vn (0)vn(0)0 。为确定 vn (t ) ，代入方程得vn (t)sinnxvn (t)( n)2 sin nxf ( x, t)fn (t )sinnxn 1ln 1lln 1l即需vn( cn )2 vn (t )fn (t )l。vn (0)vn (0)01n利用拉普拉斯变换方法： Vn ( s)lFn (s)，所以n( ns2)2llltf n ( )sin cn (tvn (t)d 。cn0l总结一般步骤：1）处理的必须是齐次边界问题；2）对只有齐次边界的问题进

14、行变量分离后得到常微分方程的定解问题；3）由常微分方程定解问题有非零解，确定特征值和特征函数序列；4）得到不考虑初始条件的解序列；进行无限线性组合；5）确定系数，使其满足初始条件。这样就能得到形式解，但是否是经典意义解则需验证。 4.4 分离变量法的例子如何使用分离变量方法， 要通过练习才能熟练掌握。 所以，这里再给出一些具体问题的解。utc2 uxx,0xl , t0例 1 热传导方程 u( x,0)( x)u(0, t)0, ux (l , t) hu(l ,t ) 0解 此问题的边界条件是混合的（步骤一。不考虑初值条件的问题相应的常微分方程组：Dirichlet 和 Robin ）。ut

15、 c2uxx ,0 x l ,t 0 u(0, t ) 0, ux (l ,t ) hu(l ,t )u( x,t)X ( x)T (t ) 。，寻找变量分离形式的解0TXc2TX。X (0)0, X (l )hX (l )步骤二。确定特征值和特征函数序列。为使方程XXX (0)0, X (l )hX (l )有非零解，必须0（论证过程与前类似） ，则X (x) a cosxb sin x 。由 X (0) 0 即知： a 0 。再由 X (l )hX (l ) 得： b coslhb sin l 。可见 ， 要 使 方 程 有 非 零 解 ， 必 须 tan(l )1l 。 所 以 特 征

16、值 是 方 程lhltan(l )l 的解。该方程组有可列个根（由图显然，严格证明略），特征值序列为n , n0 。不能给出特征值序列的解析式，但它们满足等式：tan(n l )n l 。相应的特征函数序列 X n (x) sinn x, n 0 （不计相应的常数倍） ，同时相应的 Tn (t ) e n c2t 。因此，un ( x, t) e n c2tsinn x ， n0。步骤三。选择适当的系数，无限线性组合后，使其满足初始条件：u(x, t)anun (x,t )ane n c2t sinn x 。n 1n 1由初始条件知：( x)u(x,0)ll( x)sinn xdxansin2

17、00即得到 an 。注 这里必须证明 X n ( x)sinan sinn x 。所以，n 1n xdx anl 1cos2 n xdx anlsin 2nl an lh0224n2 2( h2n )n x, n0 是正交完备系。只证明正交性：直接计算有困难，因为n 没有显式解。但是对这类两次线性方程的解的正交性有一般的处理方法：X n ( x)n X n (x), X m ( x)m Xm ( x),所以， ( X m X nX n X m )X n X mX m X n( mn ) X n ( x) X m ( x) ，因此ll( mn ) X n (x) X m ( x) dx( X m

18、 X nX n X m ) dx0 。00即得正交性。【 end】uttc2 uxxA,0xl , t0例 2 用分离变量方法求方程u(x,0)0, ut ( x,0)0的解。u(0, t )0, u(l , t)B解 这是非齐次边界，非齐次方程的情况。步骤一。把方程的边界齐次化。u( x, t)v(x,t ) w( x) ，则vttc2 (vxx w )A,0xl ,t 0v( x,0)w(x), vt(x,0)0。v(0, t )w(0), v(l , t)Bw(l )故令c2wA0，w(0)0, w(l )B即 w(x)A2 x2Al2 x 。则2c2cvttc2vxx ,0x l , t0v( x,0)A2x2Al2x, vt ( x,0)0 。2c2cv(0, t )v(l , t)0步骤二。分离变量后，相应的方程组为TXc2TX。X (0)X (l ) 0X由方程X确定特征值和特征函数序列：X (0)X (l )0n2sin na cos cnb sin cn t 。