第一型曲线积分.doc

1、第二十章曲线积分1 第一型曲线积分教学目的 ：掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式教学重点：第一型曲线积分的计算 .教学难点：第一型曲线积分的计算公式.教学过程一、引言金属曲线的质量问题设有一根有限的金属曲线C , 其线密度是不均匀的 , 在 C 上的点 (x,y)处的密度为 p (x , y ) , 试问该曲线的质量是多少 ?用微分分析来处理之 , 若 p 均匀 , 则好处理 : m=p(C).a) 分割 : 设曲线 C端点为 A,B, 从 A 到 B 依次插入 A1 , A2 , An 1 , 这样曲线 C就 分 成 了 一 些 小 弧 段 . 把 Ai 1 Ai （ A 0A, An

2、B ）的弧长记为Si , i 1,2,n , 在每一小弧段数 Ai 1 Ai上都任取一点 p ( i , i ) . 显然 ,当 Si 很小时 ,Ai 1 Ai 的质量 mi 近似等于 p( i , i )Si . 从而整个金属曲线 C的质量 m:mmb) 作和 :m=m ip( i,i)Sii1i1c)取极限 : 令 s=max Si , 则nm=limp( i , i )Sii1上式右端还是分割 , 作和 , 取极限 , 这意外着我们已经达到一种类型的积分 , 这种积分就是第一类曲线积分 .抽去上述问题的实际背景, 并把它推广到 中就有下面的定义 :二、第一型曲线积分的概念与性质（一）、第

3、一类曲线积分的定义定义设 L 为平面上可求长度的曲线段，f x, y 为定义在 L 上的函数对曲1线 L 作分割 T ，它把 L 分成 n 个可求长度的小曲线段 Li （ i1,2, , n ）， Li 的弧长 记 为Tmaxsi， 在 Li 上 任 取 一 点i , isi ， 分 割 T 的 细 度 为1 i n（ i 1,2,n ）若有极限nlimf i , isiT0i 1= J ，且 J 的值与分割 T 与点 i ,i的取法无关， 则称此极限为 fx, y 在 L 上的第一型曲线积分，记作fx, y dsL（二）、第一型曲线积分的性质f ix, y ds, n ）都存在， ci （

4、i,n ），为常数，则（1）若 L（ i1,2,1,2,nnci fix, y ds= icif ix, y dsL i11L.（2）若曲线段 L 由曲线 L1 ,L 2 Ln ，首尾相接而成， L if x, y ds都存在，则nf x, y dsf x, y dsfx, y dsL也存在，且 L= i 1L i.fx, y dsg x, y dsx, yg x, y ，则（）若L， L都存在，且在 L 上 f3fx, y dsg x, y dsLL.fx, y dsfx, y dsf x, y dsf x, y ds（4）若 L存在，则 L也存在，且 LL.f x, y ds（5）若 L存

5、在， L 的弧长为 s ，则存在常数 c ，使得f x, y dsL=c s ，inff x, ycmax f x, y.这里 LL三、第一类曲线积分的计算2xt ,定理 20.1 设有光滑曲线 L ： ytx, y 为定义在上的连续t ,， f函数，则f x, y ds f t , t2 t2 t dtL=.(3)证明由弧长公式知道， L 上由 tt i 1 到 tti 的弧长 ,t i2 t2t dtsit i 1，由2t2t的连续性与积分中值定理，有si22t iti 1tiiii，nn22fi , isifi ,ti= i 1ii所以i1，这里 t i1i ,iti设n2222f,i

6、t iiiiii1，nn22fi ,sif,ti则有iiii，(4)i 1= i1+令 tmaxt1 ,tn1，则当 T0 时，必有 t 0现在证明lim0t 0.因为复合函数 ft ,t关于 t 连续，所以在闭区间, 上有界，即存在常数M ，使对一切 t,都有ft ,tM，2222iiii，再由2 t2 t在,上连续，所以它在,上一致连续，即对任给的22220，必存在0 ，使当 t时有iiii，MntiM ba从而lim0.i1,所以 t 03再由定积分定义nf22itift , t2t2t dti ,ii 1=，因此当在 (4)式两边取极限后，即所要证的式 .当曲线 L 由方程 yx ,

7、xa, b 表示，且 yx 在 a,b 上有连续导函数b2时， (3) 式成为f x,xt1x dxa.注：1.小参数值作下限，大参数值作上限1. 上述公式可能为在替换xx(t). y y(t ).zz(t)下积分 f xy z ds 的变形( , ).c2.注意:ds222x (t )y (t)z (t )dt3. 利用弧长公式 : 把第一类曲线积分化为定积分计算 .4. 特别地 , 如果曲线 C 为一光滑的平面曲线 , 解为 y= (x) (a x b), 那么有2f (x, y)dsf x,( x) 1 ( x)dx .c若曲线 C 方程为 x( y), y c, d ,d2则f xyf

8、yyy dy .) 1( , (),( )cc5. 这个积分的特性在于曲线 C 的方向无关 , 又称为关于弧长的积分 .x a c o ts,例 1设L是半圆ya s i nt,0 t试计算第一型曲线积分x2y 2dsL.x 2y 2dsa2a 2 cos2 tsin2 t dt a3解L= 0.设 L 是 y 24x 从 O0,0 到 A 1,2yds例 2的一段，试计算第一型曲线积分 L.42223y2 2y224ydsy 1dy12 2 10解L= 04343.空间曲线 L 上的第一型曲线积分 :设空间曲线L : x(t ) , y(t) , z(t) , t , .函数 (t ) ,(t ) ,(t ) 连续可导 ,则对 L 上的连续函数 f ( x, y, z) ,有f (x, y, z) dsf(t ) ,(t) ,(t)2 (t )2 (t )2 (t)dt .L例 3计算积