运筹学排队论2PPT学习教案

1、会计学1 运筹学排队论运筹学排队论2 1 引言 排队是日常生活和经济领域中常见的现象.如 顾客在邮局,银行排队办理业务,病人在医院排 队就医,工厂中等待维修的机床,港口内等候卸 货或进港的轮船,机场内等候起飞或降落的飞 机,等等.这都是有形的排队现象.打电话时占 线, 需要等待,这是无形的排队现象. 排队是怎样产生的? 首先,我们把上述现象中的人或物,看做是被服 务队象,他们希望得到某种服务,如果在某个时 第1页/共87页 刻,要求服务的对象超过了服务机构所能提 供的服务数量时就产生了排队现象. 要减少排队,可以增加服务设施,但是如果增 加的太多,服务设施又会出现空闲浪费;如果 服务设施少,顾

2、客排队太长时,就会损失顾客 也会造成很大损失.因此,决策者必须在服务 对象和服务台之间取得平衡,达到一种最优 配置.此外,在一些大型项目的设计中(港口泊 位,机场跑道,电话线路等),也要根据排队理 论作到超前设计,同时还要考虑费用的优化 问题,这就是排队论研究的内容. 第2页/共87页 排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局 的工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电 话理论,特别是电话的占线问题,就是早期排 队论的内容. 第3页/共87页 2 排队论的基本概念 一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离

3、开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统 服务台 第4页/共87页 2.C个服务台,一个公共队伍 服务台1 服务台2 服务台C 3.C个服务台,C个队伍 服务台1 服务台2 服务台C 第5页/共87页 二.排队系统的三个组成部分 1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. 顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机 构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; 顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成 批到达; 顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布. 第6页/共87页 2.排队规则:指顾客接受服务的先后次序问 题 损

4、失制:顾客到达时,服务台被占用,顾客随 即离去,不再接受服务; 等待制:服务台被占用,顾客排队等候.根据 服务台对顾客服务的先后顺序又分为 .先到先服务; .后到先服务; .随机服务; .优先权服务. 混合制:顾客起初排队,看到队伍太长又离去. 第7页/共87页 3.服务机构:又称服务台 服务台的数目:有单服务台,多服务台; 任一时刻接受服务的顾客数; 服务时间的分布:对每个顾客的服务时间是 随机变量,但是其概率分布多按负指数分布来 处理,也有的服从定长分布. 第8页/共87页 二.排队系统的描述符号及分类 n:排队系统中顾客的数目 :顾客到达的平均速率,即单位时间内到达 的顾 客数 :系统的

5、平均服务速率,即单位时间内可服务完 的顾客数 :在时刻t时系统中有n个顾客的概率 C:服务台的个数 FCFS:先到先服务的排队规则 LCFS:后到先服务的排队规则 )(tpn 第9页/共87页 PR:优先权服务的排队规则 M:到达过程为泊松过程或负指数过程 D:定长型分布 :k阶爱尔朗分布 k E a:顾客到达过程的概率分布(输入) b:服务过程的概率分布(输出) d:排队系统的最大容量 e:顾客总体的数量 f:排队规则 第10页/共87页 1953年由K.D.Kendall提出了排队模型记号 方案,由a/b/c/d组成,即 输入/输出/并联服务台数/顾客总体数量 如:M/M/1/ 表示:排队

6、系统中顾客到达是 泊松过程,服务时间服从负指数分布,单服 务台,顾客源无限. 1971年国际排队符号标准会上将上述符号扩 充到六项,即a/b/c/d/e/f. 如:M/M/1/ / /FCFS) M/M/4/N/ /FCFS) 第11页/共87页 3 顾客到达数及服务时间的理论分布 在排队服务过程中,单位时间内顾客到达数,顾 客到达时间间隔,服务时间都是随机变量,因此 必须了解它们的概率分布. 一.泊松流 . 0, 2 , 1 , 0, ! ne n nXp n 泊松分布 现将上式参数 引入时间因素 ,即将 换为 ,得到 t t 第12页/共87页 ., 2 , 1 , 0, 0, ! )(

7、)( nte n t tp t n n 表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有 )(tpn .)(,)(ttNDttNE .:数的平均值表示单位时间内到达顾参数注意 第13页/共87页 二.负指数分布 现在研究当输入过程是泊松流时,两顾客先后 到达时间间隔T的概率分布. 由 可知,当n=0时即在0,t内没有顾客到达的概率 为 则至少有一个顾客到达的概率分 布函数为 相应的概率密度为 ., 2 , 1 , 0, 0, ! )( )( nte n t tp t n n ,)( 0 t etp

8、, 0,1)( tetF t T ).0( ,)()( tetftF t TT 2 1 )(, 1 )( TDTE 第14页/共87页 三.服务时间v的概率分布 一般总是假定顾客接受服务的时间v也服从负 指数分布 2 1 )(, 1 )( ,)( vDvE etf t v 顾客数是单位时间能服务完的 . 1 )(:时间是一个顾客的平均服务注意 vE 第15页/共87页 负指数分布的一个重要特征是“无记忆性 ”，也称无后效性或马尔科夫性。这个性 质为排队轮问题的求解带来了方便。如果 输入分布或服务分布为负指数分布，则不 论实际排队过程进行了多长时间，要研究 从现在起以后的情况，只要考虑当前排队

9、所处的状况就可以了，在此以前的情况可 以不考虑，就好像过程刚开始一样。 第16页/共87页 例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求： （1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率 ； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。 第17页/共87页 解：因为顾客到达间隔时间T服从负指数分 布，所以T 的概率密度为 0 ( ) 00 t T et ft t 取时间起点为中午12:00，则相对时间为 。 0 0t 第18页/共87页 （1）下一个顾客在下午1：

10、00前到达的概率为 11 00 010.6321 tt PTe dte （2）顾客在下午1：00到2：00之间到达，则 2 1 120.2326 t PTe dt （3）顾客在下午2：00以后到达，则 2 20.1353 t P Te dt 第19页/共87页 定义: 称为服务强度(Traffic intensity). 也称为话务强度,这是因为爱尔朗在早期研究 排队论时是从研究电话理论开始的. 是刻划服务效率和服务机构利用程度的 重要标志.当 时, 越小,表示单位时间 内到达顾客的平均数比服务完的顾客平均数 小得多,顾客到达后可及时得到服务,等待时 间少,服务员空闲,服务设施利用率低;反之

11、越大,反映的事实与上述相反. 1 1 第20页/共87页 注意:同时满足下面三个条件的流为泊松流 无后效性:前面到达的顾客数并不影响后面 到达的顾客数; 平稳性:顾客到达的多少只与时间间隔有 关,而与统计时的时刻无关; 普通性:在很短的时间间隔内,到达两个或 两个以上顾客的概率极小,可以忽略不计. 第21页/共87页 4 单服务台(M/M/1)模型 (M/M/1)模型是指适合下列条件的系统: 1.输入过程:顾客源是无限的,顾客单个到达,相 互独立,到达数服从泊松分布,到达过程是平稳 的; 2.排队规则:单队,队长无限制,先到先服务; 3.服务机构:单服务台,各顾客服务时间是相互独 立的,服从相

12、同的指数分布. 第22页/共87页 一.生灭过程 在排队理论中,通常采用一种名为”生灭过程 ”的方法来描述.首先画出生灭图,它的特点是 系统的所有状态看作一系列的点,用0,1,2, 表示,并用正,反两方向的箭头线将左右状态连 接起来,如下图 012nn+1 0 p 1 p 2 p n p 1n p 第23页/共87页 “生”表示顾客的到达,”灭”表示顾客离去. 当系统运行一段时间达到平稳状态时,其状 态的概率分布为 并标在各状态上. 单位时间到达的顾客数为 (即泊松分布的 参数 ),标在指向右方的箭头线上方. 单位时间服务的顾客数为 (即负指数分布 的参数 ),标在指向左方的箭头线下方.箭 头

13、线表示状态的转移关系. ., 2 , 1 , 0,npn 下面利用生灭图来推导该排队系统的状态 概率 ( 表示系统中有n个顾客 的概率). ., 2 , 1 , 0,npn n p 第24页/共87页 先考虑n=0的状态,状态0的稳定状态概率为 而从状态0进入状态1的平均转换率为 ,因 此从状态0进入状态1的输出率为 ,同理,状 态1进入状态0的输入率为 .根据输出率等 于输入率的原则,在系统平衡条件下,对状态0 有以下的状态平衡方程 . 0 p 0 p 1 p 10 pp ., 0 0101 ppppn 所以又 第25页/共87页 .1 1 1 1 ,1, 1, 1 1 )1 ( , 1,

14、, 1 , 1 0 0210 0 2 0 00 2 00210 0 01 0 2 11221 p ppppp pp pppppppp p pppn ppppppn n n n n n n n nn 时即在 因此有由概率性质可知 对于状态 第26页/共87页 )()1 ( 101 : ),1 ( 0 0 0 ppp p pp n n n n nn n 的计算公式 我们得到系统状态概率 第27页/共87页 二.排队系统运行指标 1.在排队系统中顾客数的期望值 ,它包含排 队等候的顾客和正在接受服务的顾客两部分; 2.排队等候顾客数的期望值 ; q L L 3.顾客在排队系统中全部时间的期望值 ,它

15、 是指顾客排队等待时间与被服务时间之和的 期望值; W 4.顾客排队等待时间的期望值 . q W 第28页/共87页 三. /1/MMFCFS 1.系统状态概率 的计算( 表示系统中有n个 顾客的概率) n p n p 10 1)1 ( 1 0 0 nppp p n n n n 第29页/共87页 2. 系统运行指标的计算 ., ) 10( 1 22 )1 ()1 (2)1 ()1 (0 210 32 1322 2 21 0 0 L nn n pnpppnpL n nn n n n n 又 第30页/共87页 的计算 q L 在单服务台情形下,当系统中有顾客时排队等 待的顾客数比系统中顾客总数

16、减少1,因此 11101 1 0 1 2 11 (1), 1 ,11 (1) . 1 :. qnnnnn nnnnn n n n n qnn nn q LnpnppLnpnp p pp LnppL LL 因为 又表示有顾客的概率它等于用 减去系统中没有顾客 的概率 即 所以 注意 第31页/共87页 W的计算 顾客在系统中的时间 是一个随机变量,可以 证明,在该系统中它服从参数为 的负指数 分布,其概率密度为 S T . 1 )( 0)()( )( S t TEW tetf 第32页/共87页 的计算 q W 顾客在队列中排队等待时间的期望值,应等于 顾客在系统中全部时间的期望值,减去对顾客

17、服务时间的期望值,注意到服务时间服从参数 为 的负指数分布,因此服务时间的期望值为 1 111 . () q WW 第33页/共87页 系统内多于一个顾客的概率 .)1 ()1 (111 2 10 ppNP 系统内多于m个顾客的概率 . )1 ()1 ()1 (11 1 1 10 0 m m m m k k ppp pmNP 第34页/共87页 (6) 顾客停留时间大于t的概率是 tt eetWP )()1( 顾客在系统中平均排队时间超过t的概率是 (1)t q P Wte 第35页/共87页 (7) 服务台忙期 当 时，忙期随 值得增加而增加， 当 时，系统趋于饱和状态，服务台忙 碌的均值为

18、 在一个忙期内完成服务的平均顾客数为 01 1 ( ) 1 E B 11 (01) 1 B N 第36页/共87页 小结: 00 22 21 1,(1)(01), , 1()1 1 , () 1,. nn nn q q m pppp LL WW P NP Nm tt eetWP )()1( t g etWP )1( 第37页/共87页 利特尔(J.D.C.Little)公式 , ,/1/ , ,. e q q ee e q q L L WWMMFCFS L L WW 设 为顾客到达系统中速率的平均值 则在很宽 的条件下有在 系统中 顾客到达的速率是常数即因此 称为利特尔公式 第38页/共87页

19、 例9.2 小汽车作过境检查,到达速率为100辆/小 时,是泊松流,检查一辆车平均需15秒,为负指数 分布,试求稳态概率 及系统的各项指 标. 210 ,ppp 解: 2 01020 22 100 100/,240/,0.417 240 10.583,0.243,0.101, 100 0.714(), 240 100 100 0.298(), ()240(240 100) q ppppp L L 小时辆 小时 辆 辆 第39页/共87页 44 11 0.00714()25.7() 240 100 0.003()10.7() () 3 3(0.417)0.031. q W W P N 小时秒 小

20、时秒 顺便求系统内多于 辆车的概率是 第40页/共87页 例9.3 某电话间来打电话的人服从泊松分布, 平均每小时24人,每次通话时间为负指数分 布,平均2分钟,求设备的各项指标并求电话间 有6人(含6人)以上的概率. 解: 0 0 6 4 24/,30/, 5 1 1,3.2, 5 1 4,()10, 6 8.1 44 ,65( ) . 55 g q q pL L LW L Wpp P NP N 人 小时人 小时 电话空闲概率电话前排队长人 总队长人 每人平均停留时间小时分钟 平均每人排队时间分钟需等待的概率为 第41页/共87页 例9.4 虑一个铁路列车编组站，设待编列车 到达时间间隔服从

21、负指数分布，平均到达2 列/小时；服务台是编组站，编组时间服从 负指数分布，平均每20分钟可编一组。已 知编组站上共有2股道，当均被占用时，不 能接车，再来的列车只能在站外等候。求在 平稳状态下系统中列车的平均数；每一列车 的平均停留时间；等待编组的列车平均数。 当列车在站外停留时，每列车的损失费为a 元/小时，求每天由于列车在站外等待而造 成的损失。 第42页/共87页 解：看作一个M/M/1/ / /FCFS模型 h)1 2 2L W 2 3 2 1 3 2 1 L 1 3 2 , 3, 2 （ 留时间（由李特公式）列车在系统中的平均停 （列）系统中列车平均数为 第43页/共87页 （元）

22、。 出的平均费用为每天列车由于等待而支 则进站）时间为记列车平均延误（不能 式）待编组时间（由李特公列车在系统中的平均等 列） 平均数为系统内等待编组的列车 2a.14a296. 0224aW24E )h(296. 0 3 2 1)ppp1 (W2NWPW ,W )h( 3 2 2 1 3 4 L W ( 3 4 3 2 2LL 0 3 3 2100 0 q q q 第44页/共87页 例9.5 在某仓库卸货台装卸设备的设计方案 中,有三个方案可供选择,分别记为甲,乙,丙, 要求选取使总费用最小的方案.有关数据如 下: 方案每天固定费用 (元) 可变操作费(c元/天) 平均卸货数(袋/小 时

23、甲 60 100 1000 乙 130 150 2000 丙 250 200 6000 第45页/共87页 设货车按泊松流到达,平均每天(按10小时计算) 到达15辆,每车平均装货500袋,卸货时间服从 负指数分布,每辆车停留1小时的损失为10元, 求总费用最小的方案. 解: ./12 ,/4,/2 /500 /1000 ,/5 . 1 10 15 小时车 小时车小时车 车袋 小时袋 服务率依方案不同有小时车平均到达率 丙 乙甲 第46页/共87页 .125. 0 12 5 . 1 ,375. 0 4 5 . 1 ,75. 0 2 5 . 1 , . , .)/( : .1510 ./095.

24、 0 5 . 112 1 ,/4 . 0 5 . 14 1 ,/2 5 . 12 11 丙乙甲 丙 乙甲 的概率 可理解为设备忙度它表示服务机构利用程为服务强度 设备忙的概率天可变操作费每天的实际可变费用为 的平均损失费为每天货车在系统中停留 车小时 车小时车小时 均停留时间只计算每车在系统内平 W W WW 第47页/共87页 每个方案的费用综合如下: 方案 固定费用可变费用/天停留费用/天总费用/天 甲 601000.75 =75 21015 =300 300+75+60 =435 乙 1301500.375 56.25 0.41015 =60 246.25 丙 2502000.125 2

25、5 0.09510 15=14.25 289.25 最优决策:乙方案总费用最小. 第48页/共87页 012N-1N 0 p 1 p 2 p 1N p N p 四. 系统/1/MMNFCFS 系统特点:泊松输入过程,服务时间为负指数分 布,单服务台,系统内只允许有N个顾客,客源无 限,先到先服务. 第49页/共87页 同前面的分析一样, 系统处于平稳状态时,对 于每个状态来说,转入率应等于转出率,在状态 0处有 ., 00110 ppppp 在状态1处有 在状态N-1处有 在状态N 处有 , ,)( ,)( 0 2 0002 002 120 ppppp ppp ppp ,)( 12 NNN p

26、pp . 1NN pp 综合以上的结果可推出: ., 00 2 201 pppppp N N 第50页/共87页 0 pp N N 称为损失概率,当系统中有N个顾 客时,新到的顾客就不进入系统了. 因为所有的状态概率之和等于1,所以 . 1 1 , 1 11 1 1 1 1 , 1 1 , 1, 1 1 0 1 2 2 0 00 2 0010 N N N N N N p N p ppppppp 第51页/共87页 . 1 1 , 1 , 1 1 , 1 1 10 11 1 N ppp pp N N N N N 归纳为 . 1 1 , 1, , 1 1 , 1 1 , 1, 10 11 0 N

27、pppNn ppNn n N n n N 第52页/共87页 排队系统中各种指标的计算: . 1, 2 1, 1 ) 1( 1 2 210 1 1 00 2 0 210 0 N L N pNpp NppppnpL N N N N N n n 第53页/共87页 设 表示有效到达率,即实际进入系统的顾 客到达速率,则 e ).1 ()1 (0 0 1 0 pppp NN N n ne 由利特尔公式 (1) , (1) ,. 1 . (1) eN q eN e q q eN pLL WLLL p L L W p 这里是平均服务强度 也就是实际服务强度 第54页/共87页 补充当 时的公式1 1 1

28、 )1 ( 1 1 2 1 , 2 1 1 , ) 1(2 ) 1( , 2 1 N N L e q q e eq N N L W NL W N N N NN L N L 均数为单位时间损失顾客的平 第55页/共87页 例9.6 某汽车检测站有一条检测线，要 求做检测的车辆按泊松流到达，平均每 小时6辆，每辆车的检测时间服从负指 数分布，平均每辆10分钟，用于等待检 测的停车泊位有5个，当无停车泊位时 ，来检测的车辆自动离去。试计算试计 算： 1、某车辆一到达就可进行检测的概率 ； 2、等待检测的平均车数； 3、每辆车在检测线上等待的期望时间 ； 4、在可能到来的车辆中，有百分之几 不等待离开

29、； 第56页/共87页 5、如果车辆因停车泊位全部被占用而 离去，每辆车损失a元，求每小时因车 辆离去而造成的损失。（北方交大 2003年研究生考题，20分） 解： 01 61 16 636 , 1177 Ne N PPP NN 辆/小时， =6辆/小时， 第57页/共87页 0 6 11 1. 17 (1)6 515 2.( 2(1)2 77 1575 3. 73612 1 4. 7 6 5. 17 q q q e L P N N N L N L W P aaa N 人） 第58页/共87页 例9.7 某加油站只有一个加油管,接待等待加 油的汽车.已知站内只能停泊5辆汽车(含正在 加油的汽车

30、),后来的汽车不进站而离去.汽车 的平均到达速率为4辆/小时,是泊松流.加油 时间平均为10分钟/辆,是负指数分布.求 1.汽车一到达就能加油的概率; 2计算 和 ; 3.汽车在站内停留的全部时间的期望值 ; 4.因客满而离开加油站的损失概率. L q L W 第59页/共87页 解: ./808. 3 365. 0) 3 2 (1 4)1 ()1 ( ).(423. 1 1 ) 1( 1 .365. 0 ) 3 2 (1 3 2 1 1 1 . 3 2 6 4 ,/6 ,/10,/4, 514 5 0 5 5 1 1 6 1 0 小时辆 辆 小时辆 即辆分钟小时辆 pp N L p N e

31、N N N 第60页/共87页 55 50 3.808 1.4230.788. 6 1.423 0.37422.42. 3.808 2 ( )0.3650.0484.8%. 3 e q e LL L W pp 辆 小时分钟 加油站的损失概率为 第61页/共87页 五. 模型 /1/MMm FCFS 在这个模型中，顾客总数为 ，当顾客需 要服务时，就进入队列等待；服务完以后就 回到顾客中，如此循环往复。这是一种有限 客源服务系统。典型问题是机器维修问题。 设有 台机器在运转，单位时间内平均出 现故障的机器数即为顾客的平均到达速率 ，修理工维修一台机器的平均时间就是平均 服务时间 。 m m 第6

32、2页/共87页 不加证明，给出该模型的各种公式： 1、系统状态概率的计算 0 0 0 1 , ! ()! ! ()! m i i n n P m mi m PP mn 第63页/共87页 2、有限源系统的各项运行指标 0 00 0 (1) (1)(1)(1) 1 (1) 1 q q LmP LmPLP m W P WW 第64页/共87页 例9.8一位机修工负责3台机器的维修工作。 设每台机器在修理之后平均运行5天，平均 修理一台机器的时间为2天，修理时间服从 负指数分布。求： 1、机修工空闲的概率； 2、3台机器都出故障的概率； 3、出故障的平均台数及等待维修的平均机 器数； 4、平均停工时

33、间； 5、平均等待维修时间； 6、评价这个系统的运行情况。 第65页/共87页 解： 3 101231 0 0 33 30 0 0 11 0.2,0.5,0.4,3 52 3!3!3!3!3! 1.0.40.40.40.4 0.282 (3)!3!2!1!0! 3! 2.6 0.40.2820.108 (33)! 5 3.(1)3(1 0.282)1.205( 2 (1)1.205(1 0.282) i i q m P i PP LmP LLP 台） 0.487(台） 第66页/共87页 0 131 4.3.36( (1)0.5(1 0.282)0.2 11 5.3.361.36( 0.5 6

34、.1.36, 28.2% q q m W P WW W 天） 天） 天 表示机器平均等待维修时间过长，而维修工 却有的空闲时间。显然，这个服务系统的服务效率 不高。 第67页/共87页 5 多服务台排队模型 特点:一个公共队伍,并列多服务台(c1).有三 种模型. 1./ 2./ 3./ MMcG MMc NG MMc NN G 第68页/共87页 /MMcG 系统 设顾客到达的速率为 ,每个服务台的服务速 率均为 ,则整个服务系统的最大服务速率为 ,服务强度为 .各项指标的计 算公式如下: c , c c ,) 1 1 ()( ! 1 ! 1 1 0 0 c n c c n n cn p 一

35、、 第69页/共87页 0 0 0 2 ,0,1,1 ! ,1, ! , !(1) ,. n n n n nn c c qq c q q p nc n p p nc c c c p LLL c L L WW 第70页/共87页 例9.9 某售票处有三个窗口,顾客到达为泊 松流,平均到达率为 服务时 间服务负指数分布,平均服务率 设顾客到达后排成一列,依次向空闲窗口购 票,求各项指标. ,/9 . 0分钟人 ./4 . 0分钟人 解: 4 . 0 4 . 04 . 0 9 . 0 第71页/共87页 00123 3 2 2.25 3,2.25,0.751. 33 1 (2.25)(2.25)(2

36、.25)(2.25)1 0!1!2!3!1 0.75 0.0748, (2.25)0.75 0.07481.70,3.95, 3!(1 0.75) 1.703.95 1.89,4.39. 0.90.9 c qq q q c p LLL L WW 人人 分钟分钟 第72页/共87页 顾客到达后必须等待的概率为 .57. 0 0748. 0 ! 2 )25. 2( 0748. 0 ! 1 25. 2 0748. 01 13 2 210 pppnP 第73页/共87页 现在对(M/M/c)和c个(M/M/1)系统作一个比 较,看看哪一个系统更好一些. 0.40.40.40.40.40.4 9 . 0 3 . 03 . 03 . 0 9 . 0 第74页/共87页 仍使用上题的条件,顾客到达后排成三个队, 每个队的平均到达率为 于是形成了三个(M/M/1)系统,计算出相关 数据并与上题进行比较: 分钟人/3 . 0 3 9 . 0 321 第75页/共87页 M/M/3每个M/M/1 服务台空闲的概率