数学：321《导数的计算》课件(新课标人教A版选修1-1)

1、2021-8-16 3.2.1 几种常见函数的几种常见函数的 导导 数数 3导数的计算导数的计算 2021-8-16 复习回顾复习回顾 1 2.求函数函数y=f(x)在在x=x0点处导数的步骤。点处导数的步骤。 3导函数的定义导函数的定义 4.导数的几何意义。 5导数的物理意义。 函数函数y=f(x)在在x=x0点处导数的定义。点处导数的定义。 2021-8-16 请同学们求下列函数的导数 （1）求常数函数y =f(x)=C 的导数 （2） （3） （4） （5） (6) y =8x xxfy)( x xfy 2 )( x xfy 3 )( x xxfy 2 )( y =2x y =3x2 y

2、 =1 y =1+2x x xfy 2 4)( 2021-8-16 请观察以下三个函数的导数的形式特点 说出y=f(x)=x4的导数。 由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数为 1，2x，3x2 y =4x3 并且你猜测 y = x n 导数是什么?y =nxn-1 2021-8-16 导数的运算法则 两个函数和（差）的导数等于这两个函数 导数的和（差），即 )()()()( xgxfxgxf )()()()( xgxfxgxf )()()()()()( xgxfxgxfxgxf )()( xcfxcf 2021-8-16 例题 例1求 的导函数 ，并 利用导函数 求 ， ， 。 xxxf

3、y 2 3)()( x f )( x f) 1 ( f )2( f )0( f 2021-8-16 例题 例2 求函数 在下列各点的导数； (1) (2） 小组合作小组合作：求函数 的导函数 x xfy 1 )( 1x 2x xxfy)( )( x f 2021-8-16 例题 例3一个运动物体走过的路程s（单位：m） 是时间t（单位：s）的函数 ； 求 ，并解释它的几何意义 12)( 2 t tss )5( s 2021-8-16 例题 例4求曲线 在点（1，0）处的切 线方程 x xfy x 1 )( 3 2021-8-16 1 1.( ),( )0; 2.( ),( ); 3.( )si

4、n,( )cos; 4.( )cos,( )sin; 5.( ),( )ln(0); 6.( ),( ); 1 7.( )log,( )(0,1); ln 8. nn xx xx a fxcfx fxxfxnx fxxfxx fxxfxx fxafxaa a fxefxe fxxfxaa xa 公式若则 公式若则 公式若则 公式若则 公式若则 公式若则 公式若则且 公式若 1 ( )ln,( );fxxfx x 则 基本初等函数的导数公式 2021-8-16 课堂小结 2021-8-16 平均变化率的概念：平均变化率的概念： 2121 ,xxxx xx习惯上用表示即=。 21 ()()f f

5、xf x类似地，=。 f x 函数函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率: 21 21 ()()f xf x xx 导数的定义：导数的定义： 一般地，函数一般地，函数y=f（x）在）在x=x0处的瞬时变化率是：处的瞬时变化率是： 我们称它为函数我们称它为函数y=f(x)在在x=x0处的导数（处的导数（derivative），）， 记作记作 或或 ，即，即 0000 000 00 ()()()() limlimlim. () xxx f xxf xf xxf xf xxxxx 0 ()fx 0 |x xy 00 0 0 ()() ()lim. x f xxf x fx x 2021

6、-8-16 思考：思考：P74P74 观察函数观察函数f(x)的图象，平均变化率的图象，平均变化率 表示什么？表示什么？ 21 21 ()()f xf xf xxx 2 ()f x 1 ()f x ( )yf x 21 ()()f xf x 21 xx 2 x 1 x y x 0 表示直线表示直线AB的斜率的斜率k A B 思考：思考： 21 21 21 ()() ( ) xxx f xf xf f x xxx 当越来越小，趋近于0时， 函数的平均变化率表示什么？ 表示曲线表示曲线y=f(x)过点过点A的切线的斜率的切线的斜率 2021-8-16 P Q ox y y=f(x) 割割 线线 切

7、线切线 T 请看请看 当点当点Q沿沿 着曲线逐着曲线逐 渐向点渐向点P 接近时接近时,割割 线线PQ绕绕 着点着点P逐逐 渐转动的渐转动的 情况情况. 从割线到切线，含有从割线到切线，含有 “逼近逼近”的思想！的思想！ 2021-8-16 4.求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数的基本方法是处的导数的基本方法是: );()()1( 00 xfxxfy 求求函函数数的的增增量量 ; )()( )2( 00 x xfxxf x y 求求平平均均变变化化率率 .lim)()3( 0 0 x y xf x 取取极极限限，得得导导数数 3.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的

8、导数的几何意义,就是曲线就是曲线y= f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率. 5.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤： （1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。 )( 0 x f （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 ).)()( 000 xxxfxfy 2021-8-16 处的导数在是求函数 00 )()(xxxfyxf 如果将x0改为x,则求得的是 )(xfy 被称为函数y=f(x)的导函数.)(xfy 2021-8-16

9、如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处 都有导数，此时对于每一个x(a,b)，都 对应着一个确定的导数 ，从而构成 了一个新的函数 。称这个函数 为函数y=f(x)在开区间内的导函数导函数，简 称导数导数，也可记作 ，即 )( / xf)( / xf )( / xf / y )( / xf / y x xfxxf x y xx )()( limlim 00 6 6 导数（导函数导数（导函数） 2021-8-16 求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是: (1)()( );yf xxf x 求函数的增量 (2): ()( ) ; yf xxf x xx 求函数的增量与自变量的增量的比

10、值 0 (3)( )lim. x y yfx x 求极限，得导函数 说明说明:上面的方法上面的方法 中把中把x换换x0即为求即为求 函数在点函数在点x0处的处的 导导 数数. 例1：已知函数 y = (1)求y (2)求函数 y = 在 x = 2 处的导数x x （3）求曲线在点（1，1）处的切线方程。 2021-8-16 例1：已知函数 y = (1)求y (2)求函数 y = 在 x = 2 处的导数x x =+yxxx 解：函数改变量解：函数改变量 算比值算比值 x xxx x y xxx 1 （3）求曲线在点（1，1）处的切线方程。 2021-8-16 00 11 limlim 2

11、xx y xxxxx 取极限取极限 所以所以 x y 2 1 4 2 )2(| 2 fy x 例1：已知函数 y = (1)求y (2)求函数 y = 在 x = 2 处的导数x x （3）求曲线在点（1，1）处的切线方程。 2021-8-16 请同学们求下列函数的导数: 2 2)( ), 3)( ), 1 4)( ), yf xx yf xx yf x x 1y 2 1 y x 2yx 表示表示y=x图象上每一点处的切线图象上每一点处的切线 斜率都为斜率都为1 这又说明什么这又说明什么? 1) 函数函数y=f(x)=c的导数的导数. 公式公式1: .0 ()CC 为常数 2021-8-16

12、练习1、求函数y=f(x)=c的导数。 0 )()( x cc x xfxxf x y 因 为 00limlim 00 xx x y y 所 以 2021-8-16 1 )()( x xxx x xfxxf x y 因为 11limlim 00 xx x y y所以 练习2、求函数y=f(x)=x的导数 2021-8-16 x xxx x xfxxf x y 22 )()()( 因为 xxx x y y xx 2)2(limlim 00 所以 练习3、求函数y=f(x)=x2的导数 xx x xxxxx 2 )(2 222 2021-8-16 你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。 由函数

13、y=x ，y=x2 ，y=x3的导数为 1，2x，3x2 y =3x2 你猜测 y = x n 导数是什么?y =nxn-1 2021-8-16 公式公式2: .)()( 1 Qnnxx nn 请注意公式中的条件是请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握但根据我们所掌握 的知识的知识,只能就只能就 的情况加以证明的情况加以证明.这个公式称为这个公式称为 幂函数的导数公式幂函数的导数公式.事实上事实上n可以是任意实数可以是任意实数. Qn * Nn 2021-8-16 x x xx x xfxxf x y 11 )()( 因为 22 00 1 ) 1 (limlim xxxxx y y xx 所

14、以 练习4、求函数y = f(x) =- 的导数 1 x xxxxxxx xxx 2 1 )( )( 2021-8-16 例2、y=|x|(xR)有没有导函数，试求之。 解: (1)当x0时，y=x, 则y =1 (2)当x0时，y=-x,不难求得y =-1 (3)当x=0时，y=0,求其导数如下： x x x x x y |0|0| 2021-8-16 思考思考:1:1。已知曲线已知曲线S1:y=x2与与S2:y=-(x-2)2,若直线若直线l 与与S1,S2均相切均相切,求求l的方程的方程. 2 2。 用求导的方法求和用求导的方法求和: ).1() 1(3221) 2( );1(321)() 1 ( 2 12 xnxnxS xnxxxxP n n n n 2021-8-16 小结小结 2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率 有关的较为综合性问题有关的较为综合性问题. 1.会求常用函数会求常用函数 的导数的导数.其中其中: 2 1 ,yc yx yxy x 公式公式1: .0 ()CC 为常数 公式公式2: .)()( 1 Qnnxx nn 2021-8-16 1 1.( ),( )0; 2.( ),