高等数学曲线积分与曲面积分习题课(非常有用)

1、up.yeah net_、主要内容#/28（-）曲线积分与曲面积分in_、主要内容#/28_、主要内容5/28O （二）各种积分之间的联系 o （三）场论初步 iia(-)曲线积分与曲面积分对坐标的 曲线积分对弧长的 曲线积分对面积的 曲面积分曲线积分对坐标的 曲面积曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分”（兀处=（$, n ）31=1 P（x, j）dx+Q（x,y）dy 二密自陀心禺 坦（$，）$_、主要内容#/28_、主要内容#/28Pdx+Qdy= (Pcosa+Qcos3)ds_、主要内容#/28_、主要内容#/28打（3冶 =/1% 屮、掘+2力三代一定 （ P）jPdx + Q

2、dy=f P（p,屮）p+0（p,屮）屮M二代一定（与方向有关）_、主要内容5728与路径无关的四个等价命题 在单连通开区域D上尸（兀）,0（兀）具有 连续的一阶偏导数，则以下四个命题成立._、主要内容5728_、主要内容5728等 价 命 题(1)(2)(3)(4)在内(Pdr +与路径无关 Pdx + Qdy = Q,闭曲线 CczD 在 内存在 U x,y)du = Pdx + Qdy nrh P Q在D内，三-=产dy dx6/28、圭辱内容曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分f（x,y,z）dsE=JJ7兀总兀）1+疋+z4xdyD巧一代，二换，三投（与侧无关）11Jj7（兀，z

3、处二Hrnjy G血乙）3SFTff R(x,y,z)dxdy= limC 坷乙)(些)与 /v /V 么ETjj Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = JJ(Pco&z+0cos/?+7?cosZSR(x,y,z)dxd)E= Jp?Lr，z(兀DXy代，二投，三定向(与侧有关)_、主要内容#/28(-)各种积分之间的联系龜齧斂務*_、主要内容11/28积分概念的联系/(M)dcr = lim/(M)Acr.,/(Af) 函数1=1定积分当T忆上区间切时，f(M)dcr = J f(x)dx二重积分当f仏上区域D时，/(兀)b/(M)Jcr =參著抵、诊丰_、主要内容#/28參著抵

4、、诊丰_、主要内容#/28參著抵、诊丰_、主要内容13/28III曲线积分 当Y f人2上平面曲线L时, /(M)Jcr = /(x,j)Js 三重积分当T仏上区域O时，/(M)tZcr =QIII曲线积分当丫 T仏上空间曲线厂时, “(M)心”( x,y,z)ds III曲面积分 当丫 心上曲面S时， f(M)dcr = f(x,y,z)dS.S计算上的联系力= (：)/(兀)心冷，(亦面元素)(X y ).,/(兀，体元素) x.y)DXjj”(3 杯QLf(x,y)ds = /x,j(x)Al + y,2dx,(ds 线元素(曲) Lf(x,y)dx = fx,y(x)dx,(dx 线元

5、素(投影)參著抵、诊丰_、主要内容15/28（兀，丿忆皿=JJ/兀忆（兀，y）Jl + z；2+益 2dxdyEDjcy(血面元素(曲)jji?(x,j,z)JxJy = Jj fx,y,z(x,y)dxdySDxvSxzfy面元素(投影)其中 Pdx + Qdy = J cos ot + 2 cosp)rf5jj Pdydz + Qdzdx + Rdxdys=Jj (Pcosa + Q cos /3 + R cos y)ds y _、主要内容17/28理论上的联系1 定积分与不定积分的联系f/(x)rfx = F(b)-F(a) (Ff(x) = f(x)Ja牛顿“莱布尼茨公式2 二重积分与

6、曲线积分的联系JJ（ - dxdy = Pdx+Qdy （沿L 的正向）D丿格林公式ODIIQIID_、主要内容1割28_、主要内容1割283 三重积分与曲面积分的联系Jjj（+ =仆 Pdydz + Qdzdx + RdxdyE高斯公式4 曲面积分与曲线积分的联系IIISQdP 8R-% + （竺-j + （翌-畑8zdz 8xdx Gydzdz=Pdx + Qdy + Rdzr斯托克斯公式_、主要内容#/28參著抵、诊丰_、主要内容23/28（三）场论初步f du 寸 du 飞 du r gradu =i dj + k dy dz梯度通量散度环流量旋度dx dy=JJ Pdydz + Qd

7、zdx + Rdxdy sy x dP dQ dR divA =+ 二 + dx dy dzr = | Pdx + Qdy + RdzrotA =（參著抵、诊丰#/28#/28#/28例 1 计算 = (x2 + 2xj)rfx + (x2 + j4)rfy,qr其中L为由点0(0,0)到点A(l,l)的曲线y =sin-x.z#/2825/28龜齧斂務*17728解由I = J(x2 + 2xy)dx +(x2 + y4)d dx dxdy亦即訐埶故原式=(*必+(l+y4呛=| ID#/28例2计算29/28I = (ex sin j - wij?)dx + (e

8、x cosy -m)dy, 其中乙为由点S,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 + y2 =ax9y 0.聖=(/ sin j-my) = ex cosy-m dy dydQ d , x、兀=(e cosy-m) = e cosy dx dx（如下图）即兰工翌dy dxl+oa oa amoa oaf TI(JAMOA J J孑-貰)dxdyD dx dy= mdxdy = 71a2,d*O-rfx + (ex -m)0= 0,Z = f -L二色肿_oyMXA(a，0)Tta2.8JAMOA JOA 820/28曲面面积的计算法S訂J Jl + Z； +z2ydxdy厶，20/28= af(

9、x,yyi + yf2dx曲顶柱体的表面积如图曲顶柱体，s = d(i+C+7F+7M D+ Lf(x,y)ds21/28Z = f(x,y)22/282 2例3求柱面0 + J3 = 1在球面兀2 +J2 +Z2 = 1内22/2822/28的侧面积.解由对称性S = 8。宀八h参数方程为;MEW詣）22/2822/2823/2823/2823/28ds = j（兀;尸 +（y；）2 力=3sintcos 加，It S = 8 p 1 - cos61 一 sin6 f 3sinf cos tdt Jo71=24A/3sin21 cos21 sin/ cos tdt=sin? t cos2 t

10、dt = 7t.23/2823/28W281ZXcos a =石,cos P =例4 计算I=f(x,y,z) + xdydz + 2f(x,y,z) + ydzdxs+ f(x,y,z) + zVxdy，其中 f(x,y,z)为连续函数, 2：为平面x-j + z = 1在第一卦限部分的上侧 解 利用两类曲面积分之间的关系 .迄的法向量为n = 1-1,1,1 1 -11cosr = V5-= |J-/(x,j,z) + xJz-2f(x,y,z) + y dzdx + -f(x,y,z) + zds別Uh切.*y =|.26/#向量点积法设：Z = /(X,J),法向量为卜Z = jj P

11、dydz + Qdzdx + Rdxdys=PQRdydz,dzdxdxdy= |j A - ndsss= PRfdxdys将E在y面投影 |7P, Q, R -/；, - f；, ldxdy.s26/4126/#例 5 计算 / = jj ydydz - xdzdx + z2dxdy,其中工为锥面z = A/x2 + j2被平面z = l,z = 2所截部分的外侧.=jj z2dxdy+ y2)dxdyxy=-J0j r2 *rdr -#/28Dxy: 1x2 + j2415 Tt.231/28例6计算曲面积分S其中Y是由曲线(1 j 3)绕丿轴旋转一周2y + l)xdydz +2(1-j

12、 )dzdx - 4yzdxdy， z = 4yx = 0所成的曲面，它的法向量与丿轴正向的夹角恒大于中.： Z 汁1绕V轴旋转面方程为(如下图)y-l = z2 + x2欲求 Z = jj (8j + l)xdydz + 2(1 一 y2 )dzdx 一 yzdxdys31?2且有njJI = KI仔+罟+讐)必如 f dx dy dz兀=+1-4j-4j )dxdydz = jjj dv=dxdzLdy=叫两Dxz6匸 (2p-p3)dp =2 兀， JJ = 2 JJ (1 32 )dzdx = -32k, 故 Z = 2兀一 (一32兀)=34 k.82/28參著抵、诊丰82/28测验

13、题參著抵、诊丰82/281、2、3、设I为兀=x0 ,0 j|,则伽的值为().、选择题:(A) 4x0,(B)6,(C) 6x0.设l为直线丿=儿上从点A(0 ,儿)到点B(3 ,儿)的 有向直线段,则对二().(A) 6;(B) 6几；(C)0.若E是上半椭圆F取顺时针方向,则y=bsmt,“兀-珂y的值为()J L(A) 0;(B)-ab;(C)Ttab.2參著抵、诊丰33/284、设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续 偏导数，则在D内与P必+ 0狞路径无关的条件 学耳,gy)wD是().ox oy(A) 充分条件;(B)必要条件;(C)充要条件.5、设Y为球面x2+y

14、2+z2=t X,为其上半球面，则 ()式正确. |J zds = 2jJ zds ;XSi(B) J| zdxdy = 2|J zdxdy ;ZSi(C) J| z 2dxdy = 2j| z 2dxdy.SS!6、若为为z = 2-(x2 +y2)在xoy面上方部分的曲面， 则口力等于().(A)”&、4 + 4旷2 皿;(B)d02l + 4r2 rdr ;Jo JoJo Jo(C)dG 2 Vl + 4r2 -rdr.Jo Jo7、若工为球面/+丁2+才=尺2的外侧则JJ x2y2zdxdy 等于().s(A) j|兀2y2yiR2 _ 兀？ _ y2dxdy ;Dxy(B) 2|J

15、x2y2R2 -x2 -y2dxdy ;(C) 0 .參著抵、诊丰05/288、 曲面积分JJ z 2dxdy在数值上等于()(A) 向量占穿过曲面丫的流量；(B) 面密度为才的曲面丫的质量；(C) 向量才斤穿过曲面为的流量9、设工是球面x2+y2+z2R2外侧,是“y面 上的圆域x2 + j2 R下述等式正确的是(). JJ x2y2zds = | x2y2R2 - x2 - y2dxdy ；SDxyy2 )dxdy = j| (x2 + y2 )dxdy ； Jf(x2 +2Dxy(C) |Jzdxdy = 2|j R2 - x2 - y2dxdy.sDxy參著抵、诊丰37/2810、若工

16、是空间区域。的外表面，下述计算中运用奥-高 公式正确的是().(A) x 2dydz + (z + 2j )dxdy另外侧+ 2)dxdydz ；Q(B) j(x3 一 yz)dydz 一 2x2ydzdx + zdxdy另外侧(3兀2 -2x2 + l)dxdydz ；(C) x2dydz + (z + 2y)dxdy刀内侧训2兀 + Y)dxdydz.Q#/2839/28二、计算下列各题:X =/cos/，1、求zds,其中为曲线v y = rsinG(0 0,沿逆时针方向三、1、计算下列各题：求H 其中是界于平面z = 0及z = H + y +Z之间的圆柱面x2 + j2 =R2；#/

17、28參著抵、诊丰41/282、3、求JI (J? - z)dydz + (z2 - x)dzdx + (x2 - y)dxdy,s其中工为锥面z = x2 + y2 (0z方)的外侧； xdydz + ydzdx + zdxdy其中工为曲面A/(X2 + J2 +Z2)3Z_(2)2心-1)2(注0)的上侧.四、五、1 =1z 5169证明:哼曽在整个y平面除去y的负半轴及 x + y原点的开区域G内是某个二元函数的全微分，并 求出一个这样的二元函数求均匀曲面z = A/a2 -x2 - y2的重心的坐标參著抵、诊丰#/28六、求向量A = xi + yj + zk通过区域Q:0兀1，0 jl,Oz 1的边界曲面流向外侧的通量七、流体在空间流动，流体的密度“处处相同（“ = 1）, 已知流速函数V = xz2i +