初等模型PPT课件

1、 第第二二章章 初等模型初等模型 2.1 公平的席位分配公平的席位分配 2.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效 2.3 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化 2.1 公平的席位分配公平的席位分配 系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0 总和总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配席的分配 比例比例 结果结果 10.815 6.615 3.570 21.000 21 问问 题题 三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40）

2、，代表），代表 会议共会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席。 现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103, 63, 34, 问问20席如何分配。席如何分配。 若增加为若增加为21席，又如何分配。席，又如何分配。 比比 例例 加加 惯惯 例例 对对 丙丙 系系 公公 平平 吗吗 系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20 系别系别 学生学生 比例比例 2

3、0席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4 总和总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配席的分配 比例比例 结果结果 10.815 11 6.615 7 3.570 3 21.000 21 “公平公平”分配方分配方 法法 衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1 B方方 p2 n2 当当p1/n1= p2/n2 时，分配公平时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的绝对不公平度的绝对不公平度 p1=150, n1

4、=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1 p2/n2=5 但后者对但后者对A的不公平的不公平 程度已大大降低程度已大大降低! ! 虽二者的绝对虽二者的绝对 不公平度相同不公平度相同 若若 p1/n1 p2/n2 ，对，对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5 公平分配方案应公平分配方案应 使使 rA , rB 尽量小尽量小 设设A, B已分别有已分别有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A, 还是还是B 不妨设分配开

5、始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对，即对A不公平不公平 ),( / / 21 22 2211 nnr np npnp A 对对A的相对不公平度的相对不公平度 将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量 类似地定义类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即即 “公平公平”分配方分配方 法法 若若 p1/n1 p2/n2 ，定义，定义 1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给则这席应给 A 2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)， 应计算应计算rB(n1+1, n2) 应计算应

6、计算rA(n1, n2+1) 若若rB(n1+1, n2) p2/n2 问：问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给则这席应给 B 当当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给该席给A rA, rB的定义的定义 )1()1( 11 2 1 22 2 2 nn p nn p 该席给该席给A 否则否则, 该席给该席给B , 2 , 1, )1( 2 i nn p Q ii i i 定义定义该席给该席给Q值较大的一方值较大的一方 推广到推广到m方方 分配席位分配席位 该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法 mi nn p Q ii i i ,2 ,

7、 1, )1( 2 计算， 三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21个席位个席位 按人数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席分配完毕席分配完毕 甲系：甲系：p1=103, n1=10 乙系：乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：丙系：p3= 34, n3= 3 用用Q值方法分配值方法分配 第第20席和第席和第21席席 第第20席席3 .96 43 34 , 5 .94 76 63 , 4 .96 1110 103 2 3 2 2 2 1 QQQ 第第21席席 32 2 1 , 4 .80 1211 103 QQQ 同上同上 Q3最大，第最大，第 21席给丙系席给丙系 甲系

8、甲系1111席，乙系席，乙系6 6席，丙系席，丙系4 4席席 Q值方法值方法 分配结果分配结果 公平吗？公平吗？ Q1最大，第最大，第20席给甲系席给甲系 进一步的讨论进一步的讨论 Q值方法比值方法比“比例加惯例比例加惯例”方法更公平吗？方法更公平吗？ 席位分配的理想化准则席位分配的理想化准则 已知已知: m方人数分别为方人数分别为 p1, p2, , pm, 记总人数为记总人数为 P= p1+p2+pm, 待分配的总席位为待分配的总席位为N。 设理想情况下设理想情况下m方分配的席位分别为方分配的席位分别为n1,n2, , nm (自然应有自然应有n1+n2+nm=N)， 记记qi=Npi /

9、P, i=1,2, , m, ni 应是应是 N和和 p1, , pm 的函数，即的函数，即ni = ni (N, p1, , pm ) 若若qi 均为整数，显然应均为整数，显然应 ni=qi qi=Npi /P不全为整数时，不全为整数时，ni 应满足的准则：应满足的准则： 记记 qi =floor(qi) 向向 qi方向取整；方向取整； qi+ =ceil(qi) 向向 qi方向取整方向取整. 1) qi ni qi+ (i=1,2, , m), 2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m) 即即ni 必取必取qi , qi+ 之一

10、之一 即当总席位增加时，即当总席位增加时， ni不应减少不应减少 “比例加惯例比例加惯例”方法满足方法满足 1），但不满足），但不满足 2） Q值方法满足值方法满足 2）, , 但不满足但不满足 1）。令人遗憾！令人遗憾！ 2d 墙墙 室室 内内 T1 室室 外外 T2 dd 墙墙 l 室室 内内 T1 室室 外外 T2 问问 题题 双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层 玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失 假假 设设 热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流 T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态 材料均匀，热传导系数为

11、常数材料均匀，热传导系数为常数 建建 模模 热传导定律热传导定律 d T kQ Q1 Q2 Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差, d材料厚度材料厚度, k热传导系数热传导系数 2.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效 dd 墙墙 l 室室 内内 T1 室室 外外 T2 Q1 Ta Tb 记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1 Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度 Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度 k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数 k2空气的热传导系数空气的热传导系数 d TT k l TT k d TT kQ bbaa2 12 1 1

12、1 d l h k k hs sd TT kQ , )2( 2 121 11 建模建模 记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q2 d TT kQ 2 21 12 2d 墙墙 室室 内内 T1 室室 外外 T2 Q2 双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比 d l h k k hs sQ Q , 2 2 2 1 2 1 21 QQ k1=4 10-3 8 10-3, k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32 对对Q1比比Q2的减少量的减少量 作最保守的估计，作最保守的估计， 取取k1/k2 =16 d l h hQ Q , 18 1 2 1 )2( 21 11 sd

13、 TT kQ 建模建模 h Q1/Q2 42 0 0.06 0.03 0.02 6 模型应用模型应用 取取 h=l/d=4, 则则 Q1/Q2=0.03 即双层玻璃窗与同样多即双层玻璃窗与同样多 材料的单层玻璃窗相比，材料的单层玻璃窗相比， 可减少可减少97%的热量损失。的热量损失。 结果分析结果分析 Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传所以如此小，是由于层间空气极低的热传 导系数导系数 k2 2, , 而这要求空气非常干燥、不流通。而这要求空气非常干燥、不流通。 房间通过天花板、墙壁房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。损失的热量更多。 d l h hQ Q , 18 1 2 1

14、双层窗的功效不会如此之大双层窗的功效不会如此之大 2.3 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化 物物 理理 量量 的的 量量 纲纲 长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l 质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m 时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t 动力学中动力学中 基本量纲基本量纲 L, M, T 速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1 导出量纲导出量纲 2 21 r mm kf 加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2 力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2 引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k 对无量纲量对无量纲量 ， =1(=L0M0T0) 2.9.1 量纲齐次原则量纲齐次原则

15、 =fl2m-2=L3M-1T-2 量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致 量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关 系系 例：单摆运动例：单摆运动 )1 ( 321 glmt 321 glmt l mg m 求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式 设物理量设物理量 t, m, l, g 之间有关系式之间有关系式 1, 2, 3 为待定系数，为待定系数， 为无量纲量为无量纲量 2/ 1 2/ 1 0 3 2 1 g l t (1)的量纲表达式的量纲表达式 g l t2 对比对比 3321 2 TLMT 12 0 0 3 32

16、 1 对对 x,y,z的两组测量值的两组测量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ) 2 1 2 1 p p p p 为什么假设这种形式为什么假设这种形式 321 glmt 设设p= f(x,y,z) ),( ),( ),( ),( 222 111 222 111 czbyaxf czbyaxf zyxf zyxf x,y,z的量纲单的量纲单 位缩小位缩小a,b,c倍倍 zyxzyxf),( p= f(x,y,z)的形式为的形式为 ),(),( 22221111 czbyaxfpczbyaxfp 000201 00

17、1010100 4 321 )( )()()( TMLTML TMLTMLTML y yyy 0002 41243 TMLTML yyyyy 201 001 010 100 TMLg TMLl TMLm TMLt 单摆运动中单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式的一般表达式0),(glmtf 02 0 0 41 2 43 yy y yy glt 12 )/(glt T T yyyy y ) 1, 1, 0, 2( ),( 4321 基本解 4321 yyyy glmt y1y4 为待定常数为待定常数, 为无量纲量为无量纲量 0)(F 设设 f(q1, q2, , qm) = 0 mjX

18、q n i a ij ij , 2 , 1, 1 ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-r F( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未定未定 Pi定理定理 (Buckingham) 是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量是基本量 纲纲, n m, q1, q2, , qm 的量纲可表为的量纲可表为 , mnij aA 量纲矩阵记作量纲矩阵记作 rA rank若 线性齐次方程组线性齐次方程组 0Ay 有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作 m j y

19、js sj q 1 为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, 且且 则则 )()()()()()( )(201002 )(100100 )(121311 fsvlg T M L A g = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2 量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力 航船阻力航船阻力 f mj Xq n i a ij ij , 2 , 1 , 1 航船速度航船速度v, 船体尺寸船体尺寸l, 浸没面积浸没面积 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。 mnij aA m=6, n=3 0)

20、,(fsvlg0),( 21 m qqqf T T T y y y ) 1, 0, 0( )0, 1, 0( )0, 0, 1( 3 2 1 flg sl vlg 131 3 2 2 2 1 2 1 1 , 1, 3, 1 , 0, 2, 0 , 0 , 2/ 1, 2/ 1 Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解 rank A = 3rank A = r Ay=0 有有m-r个基本解个基本解 ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-r m j y js sj q 1 m-r 个无量纲量个无量纲量 0),( 21 m qqqf0),(fsvlg F( 1, 2 ,

21、 3 ) = 0与与 (g,l, ,v,s,f) = 0 等价等价 flg sl vlg 131 3 2 2 2 1 2 1 1 为得到阻力为得到阻力 f 的显式表达式的显式表达式F=0),( 213 未定未定 m j y js sj q 1 F( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价 2 2121 3 ,),( l s gl v glf 量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要

22、的 基本量纲个数基本量纲个数n; 选哪些基本量纲选哪些基本量纲 有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普适性方法的普适性 函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定 不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识 2.9.2 量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例例: 航船阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟 通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型确定原型船所受阻力 gvlsf, 模型船的参数模型船的参数(均已知均已知) 2 1 1 2 11 1 1 2111 3 11 , ),( l s lg v glf 可得原可得原 型船所型船所 受阻力受阻力 已知模已知模

23、型船所型船所 受阻力受阻力 2 21 21 3 , ),( l s gl v glf 111111 ,gvlsf 原型船的参数原型船的参数 (f1未知，其他已知未知，其他已知) 注意：二者的注意：二者的 相同相同 2211 , 1 gg l l v v 1 2 1 )( 2 11 )( l l s s 3 1 3 11 l l f f 3 11 )( l l f f )( 1 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船， 量测量测 f，可算出，可算出 f1 物理模拟物理模拟 2 21 21 3 , ),( l s gl v glf 2 1 1 2 11 1 1 2111 3 11 , ),

24、( l s lg v glf 2.9.3 无量纲化无量纲化 例：火箭发射例：火箭发射 2 21 1 )(rx mm kxm vxx rx gr x )0(, 0)0( )( 2 2 ),;(gvrtxx m1 m2 x r v 0 g 星球表面竖直发射。初速星球表面竖直发射。初速v, 星球半星球半 径径r, 表面重力加速度表面重力加速度g 研究火箭高度研究火箭高度 x 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律 t=0 时时 x=0, 火箭质量火箭质量m1, 星球质量星球质量m2 牛顿第二定律，万有引力定律牛顿第二定律，万有引力定律 )0( xg x grkm 2 2 3个独立参数个独立参数 用无

25、量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数 x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2 变量变量 x,t 和独立参数和独立参数 r,v,g 的量纲的量纲 用用参数参数r,v,g的组合的组合, ,分别分别 构造与构造与x,t具有相同具有相同量纲量纲 的的xc, tc （特征尺度）（特征尺度） 无量纲变量无量纲变量tx , vrtrx cc /,如 ),;(gvrtxx 利用新变量利用新变量, tx将被简化将被简化 cc t t t x x x, 令令 xc, tc的不同构造的不同构造 vrtrx cc /,1）令 cc t t t x x x, 的不同简化结果的不同

26、简化结果),;(gvrtxx x r v t d xd r v x xv t d xd vx 2 2 22 ),;(gvrtxx );(txx 为无量纲量为无量纲量 rvttrxx/,/ vxx rx gr x )0(, 0)0( )( 2 2 1) 0(, 0) 0( , ) 1( 1 2 2 xx rg v x x gvtgvx cc /,/ 2 3）令 ),;(gvrtxx 1) 0 (, 0) 0 ( , ) 1( 1 2 2 xx rg v x x );(txx 为无量纲量为无量纲量 ),;(gvrtxx grtrx cc /, 2）令 rg v x x x x 2 2 ,)0( 0)0( )1( 1 );(txx 为无量纲量为无量纲量 )