最新数学模型(第四版)课后详细答案.doc

1、精品文档数学模型作业六道题作业一1.P56.8 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生， 打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量， 请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。 假定鱼池中只有一种鲈鱼， 并且得到 8 条鱼的如下数据 （胸围指鱼身的最大周长）：身长 36.831.843.836.832.145.135.932.1/cm质量 76548211627374821389652454/g胸围 24.821.327.924.821.631.822.921.6/cm先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式： M=V。我们假定鱼池中是

2、同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。 至于鱼的体积问题， 由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。即： V=k1L3，因此，模型为：M 1Vk1l 3K1 L3模型一利用 Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K ，如下图 1 所示：1图 1从图 1 结果可以得到参数K1 =0.014591，所以模型为：M 10.014591 L 3上述模型存在缺陷， 因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。 因此，有必要改进模型。如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即： V=k2d2L，因此，模型为：精品文档精品文档M 2

3、Vk 2d 2 L K 2d 2 L模型二利用 Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K2 ，如下图 2 所示：图 2从图 2 可以得到参数 K2=0. 032248，所以模型为：M 20.032248d 2 L将实际数据与模型结果比较如表1 所示：表 1实际数76548211627374821389652454据 M模型一 M1727.165469.2141226.061727.165482.6291338.502675.108482.619模型二 M729.877465.2481099.465729.877482.9601470.719607.106483.96022.P131.

4、2一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向 7 个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书， 这两个代理点应该建在何处， 才能使所能供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模型并求解。解：将大学生数量为34、29、42、21、56、 18、71 的区分别标号为 1、2、3、4、5、6、7 区，画出如下区域区之间的相邻关系：25记r为第1i区的大学生人数，用0-14变量xij =1 表示（ i6，j）区的大学生由精品文档37精品文档一个代售点供应图书（ ij，且 i ，j相邻），否则 xij =0，建立该问题的整数

5、线性规划模型。Max（ rirj） xij相邻s.t.xi j2i.jjxi jjxij1, ixij0,1即：Max63* x12 76* x1371* x 2385* x 2563* x 3477* x 4539x * x 46 74* x 56 89* x 67 92* x 47s.t.x 12x13x 23x 24x 25x 34x 45x46x 47 x 56x 672x12x131x12x 23x24x 251x13x23x 341x 24x45x 561x 46x56x 671x ij0或 x ij1将上述建立的模型输入LINGO，如下：modle:max=63*x12+76*x

6、13+71*x23+85*x25+63*x34+77*x45+39x*x46+74*x56+89*x67+92*x47 s.t. x12+x13+x23+x24+x25+x34+x45+x46+x47+x56+x67=2;x12+x13=1;x12+x23+x24+x25=1;x13+x23+x34=1;x24+x45+x56=1; x46+x56+x67=1gin(x12); gin(x13); gin(x23); gin(x25); gin(x34); gin(x45); gin(x46);gin(x47); gin(x67); End运行，得到的输出如下：Local optirnal s

7、olution found at iteration Objective value: Vauable Value Reduced Costx12 0.000000 0000000 x13 0.000000 0000000 x23 0.000000 0000000 x240.000000 0000000 x25 1.000000 0000000 x34 0.000000 0000000 x45 0.0000000000000 x46 0.000000 0000000 x47 1.000000 0000000 x56 0.000000 0.000000x67 0.000000 0000000从上

8、述结果可以得到：最优解 x25 x 47 1 ( 其他的均为 0) ，最优值为 177 人.即：第 2、5 区的大学生由一个销售代理点供应图书，代理点在2 区或者 5 区，第 4、7 区区的大学生由另一个销售代理点供应图书，代理点在4区或者 7区。作业二精品文档精品文档3.P181.14 在鱼塘中投放 n0 尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。(1) 设尾数 n(t) 的 ( 相对 ) 减少率为常数 ; 由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比， 由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。 分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。(2) 用控制网眼的办法不捕

9、小鱼，到时刻 T 才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量 | ?/n| 表示，记作 E，即单位时间捕获量是En(t) 。问如何选择 T 和 E，使从 T 开始的捕获量最大。解：（ 1）n(t) 的鱼塘的初始鱼苗为 n 尾，且随着时间的增长，尾数将减少。设尾数0( 相对 ) 减少率为为 k1，因此由题意建立微分方程为：dnkn,( k0)dtn(0)n0求解得：n(t)n0 e kt在鱼塘里，由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，即：I(t)=S在鱼塘里，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比，即：D(t)=m所以每尾鱼重量的净增长率r(t)为：r(t)=Sm因此，建立微分

10、方程为：dm=Sm因为该微分方程涉及多个变量间的数量关系， 所以我们暂时无法求解该微分方程。但是要想解决此微分方程还需要更多的信息， 例如，每尾鱼表面积与其重量间的关系，一旦此关系确定，便可轻松解出每尾鱼的质量随时间的变化，即m(t) 。（ 2）用控制网眼的办法不捕小鱼， 假设 t=T 时开始捕捞，且单位时间的捕捞率为E，依题意建立微分方程：dnknEn,( tT )dt因此得 :精品文档精品文档n(t )n0et e (E)( tT )所以单位时间的捕捞鱼的尾数为En(t) ，因此从 T 时刻开始的总捕捞量为：ym(t) En(t)dtT问题就转化为求 E 和 的值，使得 y 最大，由于条件

11、不足导致 m(t) 求解不出，因此无法求出 y 的具体解释式。4.P213.2 雨滴的速度 v 与空气密度、粘滞系数和重力加速度 g 有关，其中粘滞系数的定义是： 运动物体在空气中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。解：雨滴速度问题中涉及的物理量：雨滴的速度v ，空气密度，粘滞系数,重力加速度 g ，长度。要寻找的关系是：v( , g)更一般的将各个物理量之间的关系写作：f (v, , g)0这里没有因变量与自变量之分，进而设：v y1 y2 y3 y4 g y5 .(1)其量纲表达式为： LM 0T 1 ,L 3MT 0 ,L

12、1MT 1 ,LM 0T 0，gLM 0T 2其中 L，M，T 是基本量纲。因此量纲表达式可以写成:L0 M0T 0(LM 0 T 1 )y1 (L 3 MT 0 ) y2 (L 1 MT 1 )y3 (LM 0T 0 )y4 (LM 0T 2 ) y5根据量纲原则可写成：精品文档精品文档y1 y2 3y3y4y50y3y40y1y42 y50量纲矩阵为：11311( L)A00110( M )10012(T )(v)( )( )( )(g)解得方程的基本解为：Y1(1,1,0,0,1)22(2)3 , 1,1,1).Y2(0,22将（ 2）代入（ 1）可得两个相互独立的无量纲量1v1/ 2

13、g 1/ 223 / 21g 1/ 2为了得到形如v( , , , g)的关系，取1( 2 )，其中是某个函数，所以（ 2）式为：v1/2 g 1/2(3/21g 1/2 )于是：v(3/21g 1/2 )(1/2 g1/2 )作业三5.P248.13一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。 爬行动物以哺乳动物为食物， 哺乳动物又依赖植物生存。 在适当假设下建立三者关系的模型，求其平衡点。解：x1 (t ) 、 x2 (t ) 、x3 (t ) 分别表示植物、 哺乳动物、食肉爬行动物在时刻t 的数量。假设不考虑植物、哺乳动物和食肉爬行动物对自身的阻滞增长作用。设 r1 为植物

14、的固有增长率，而哺乳动物的存在使植物的增长率减少，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是建立植物数量的模型：dx1 (t )x1 (r1 1 x2 )dt比例系数1 反映了哺乳动物消耗植物的能力。哺乳动物离开植物无法生存，设其死亡率为r 2 ，则哺乳动物独自存在时有：精品文档精品文档dx2 (t )dtr2 x2而植物的存在可以为哺乳动物提供食物， 但是食肉爬行动物的存在使哺乳动物数量减少，设减少的程度与食肉爬行动物数量成正比， 于是建立哺乳动物数量模型：dx2(t )( r22 x1x3 )x2dt其中比例系数 2 反映了植物对哺乳动物的供养能力， 反映了食肉爬行动物掠取哺乳动物的能力。食肉爬

15、行动物离开动物无法生存， 设其死亡率为 r3 ，则食肉爬行动物独自存在时有：dx3 (t )dtr3 x3而哺乳动物的存在可以为食肉爬行动物提供食物，于是 (4) 式右端应加上哺乳动物对食肉爬行动物的增长作用，设为 3 ，于是建立食肉爬行动物的数量模型：dx3(t )3 x2 )x3 ( r3dt比例系数3 反映了哺乳动物对食肉爬行动物的供养能力。综上所述，建立如下微分方程组模型dx1(t )1 x2 )x1 (r1dtdx2(t )2 x1x3 )x2 ( r2dtdx3(t )3 x2 )x3 ( r3dt求得微分方程组的平衡点为P1 (0,0,0), P2 ( r2, r1 ,0)21其

16、中平衡解 P (0,0,0) 对是没有意义的。16.P437.9一个服务网络由k 个工作站 v1， v2， ， vk 依次串接而成，当某种服务请求到达工作站 vi时， vi能够处理的概率为 pi，转往下一站 vi+1处理的概率为 qi （i=1,2,.,k-1,设 qk=0 ），拒绝处理的概率为 ri ，满足 pi +qi + ri =1 。试构造马氏链模型，确定到达vi 的请求平均经过多少工作站才能获得接受或拒绝处理的结果，被接受和拒绝的概率各多大。解：用随机变量 X i 表示第 i 站对请求服务的处理方式，X i 1 表示接受请求Xi 2 表示拒绝请求，i1,2,L k，用 1i表示第 i

17、 站接受请求的概率， a2 i表a示第 i 站拒绝请求的概率。qi 表示第 i 站转移至下一站的转移概率。分析可知，精品文档精品文档第 i1站处理请求的概率和第i 站处理请求的概率以及转移概率有关，由此可得a1 i1pi 1qi qi 1L q1a2 i1ri 1qi qi 1 L q1其中， a1 1p1， a2 1r1 ，由（1）可以计算出 k 个站各自接受和拒绝服务请求的概率如下表1 所示：站次概率1234ka1 ip1p2q1p3q2q1p4q3q2q 1pk qk 1qk 2 L q1a2 ir1r2 q1r3 q2 q1r4 q3 q2 q1rkqk 1qk 2 L q1由独立重复

18、事件概率和公式可得服务请求被接受处理的概率为:a Xi1p1p2 q1p3q2q1Lpk qk 1qk 2 L q1服务请求被拒绝处理的概率为a X i2p1p2q1p3q2q1Lrk qk 1 qk 2 L q1将服务请求到达工作站 vi 记做状态 i ，i1,2,Lk ，设 v0表示请求被拒绝， v00表示请求被接受，于是转移概率矩阵为:10000100p1r10q11p2r2OO0p2MMOOOMpk 1rk 10qk 11pkrkk0k00012Lk 1k转移矩阵 pi1 的状态 i 称为吸收状态，如果马氏链中至少含有一个吸收状态，并且从每一个非吸收状态出发，能以正的概率经有限次转移到达某一个吸收状态，那么这个马氏链称为吸收链。吸收链可以写成简单的标准形式，若有r 个吸收状态， kr 个非吸收状态，则转移矩阵p 可表示为I r r0pQR其中 kr 阶子方阵 Q 的特征值满足1，