18.切线.安徽高考命题的风景线

1、 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 105 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 直线与二次曲线相切的基本结论有: 抛物线:直线mx+ny+t=0与抛物线y2=2px相切n2p=2mt;直线mx+ny+t=0与抛物线x2=2py相切m2p=2nt;斜率为k的抛物线y2=2px的切线方程为:y=kx+;斜率为k的抛物线x2=2py的切线方程为:y=kx-pk2;如果点p(x0,y0)在抛物线c:y2=2px上,则抛物线c在p处的切线方程为:y0y=p(x+x0);如果点p(x0,y0)在抛物线c:x2=2py上,则抛物线c在p处的切线方程为:x0x=p(y+y0); 椭圆与双曲线:直线mx+

2、ny+t=0与二次曲线=1相切m2a2n2b2=t2;斜率为k的椭圆=1的切线方程为:y=kx;斜率为k的双曲线=1的切线方程为:y=kx;如果点p(x0,y0)在二次曲线c:=1上,则二次曲线c在p处的切线方程为:=1;例1:圆的切线.始源问题:(2013年全国100所名校高考模拟试题)如图, y已知椭圆c:+=1(ab0)的长轴为ab,过点b的直线l m与x轴垂直,直线(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0所经过的定点恰 q好是椭圆c的一个顶点,且椭圆的离心率e=. p n()求椭圆c的方程; a o h b x()设p是椭圆c上异于a、b的任意一点,phx轴,h为垂足,延长hp到

3、点q,使得hp=pq,连接aq并延长交直线l于点m,n为mb的中点.试判断直线qn与以ab为直径的圆o的位置关系.解析:()直线(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0(2x-y+1)-k(x+2y-2)=0经过的定点(0,1)b=1;又由e=a=2椭圆c:+y2=1;()设p(x0,y0),则+y02=1;由|qh|=2|ph|q(x0,2y0)|oq|=2点q在以ab为直径的圆o上;由直线aq:y=(x+2)m(2,)n(2,)=(x0-2,2y0-)=(x0-2,)=x0(x0-2)+=x0=0直线qn与以ab为直径的圆o相切. 该题中hp=pq=,由此可变式为:原创问题:己知圆m

4、:(x+1)2+y2=1,圆n:(x-1)2+y2=9,动圆p与圆m外切并且与圆n内切,圆心p的轨迹为曲线c.()求曲线c的方程;()设曲线c与x轴交于点a,phx轴于点h,x轴上的点t满足=2,点q满足:=,试判断直线qt与圆o:x2+y2=4的位置关系. 106 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 解析:()设圆m、圆n、圆p的半径分别为r1、r2、r,则r1=1,r2=3,由动圆p与圆m外切并且与圆n内切|pm|=r+r1,|pn|=r2-r|pm|+|pn|=(r+r1)+(r2-r)=r1+r2=4,由椭圆定义知,曲线c是以m(-1,0)、n(1,0)为左、右焦点,长半轴长为2的椭

5、圆:+=1(x-2);()由+=1(x-2)a(2,0);设p(x0,y0),则+=1,h(x0,0);由=2t(,0);由=q(x0,y0)|oq|=2点q在圆o上;由=(x0-,y0)=x0(x0-)+(y0)2=x02-4+y02=0直线qn与圆o相切.例2:圆的切线.始源问题:(2009年山东高考试题)设椭圆e:=1(a,b0)过m(2,)、n(,1)两点,o为坐标原点.()求椭圆e的方程;()是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a、b,且？若存在,写出该圆的方程,并求|ab|的取值范围;若不存在,请说明理由.解析:()将两点m(2,)、n(,1)的坐标代

6、入椭圆e的方程=1得:.所以,椭圆e的方程为=1;()假设满足题意的圆存在,且设半径为r,斜率存在时,切线方程为y=kx+m,a(x1,y1)、b(x2,y2).由(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0x1+x2=-,x1x2=y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.由=0x1x2+y1y2=0(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0(1+k2)+km(-)+m2=0m2=(k2+1)r等于原点o到直线y=kx+m的距离d=圆的方程为:x2+y2=.当切线ab的斜率不存在时,切线为x=y=a(,),b(,-)=0.综上可得:存在圆x2+y

7、2=满足题目条件;由|ab|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)(-)2-4=32(1-),令=t,则t=(1+)b0),由题知:a=2,=4c=1b2=3,所以,椭圆c的方程为=1; 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 107 ()设p(4,t),b(x1,y1),d(x2,y2),直线bd:x=my+1,由(3m2+4)y2+6my-9=0y1+y2=-,y1y2=-;由直线pb:y=(x-4)+tm(2,)=(2,),同理可得:n(2,)圆的圆心e的纵坐标,即mn中点的纵坐标=+=e(2,),圆e的半径r=|mn|=|-|=;点e到直线bd的距离:d=直线bd是以

8、mn为直径的圆的切线.例3:抛物线的切线.始源问题:(2011年安徽高考试题)若0,点a的坐标为(1,1),点b在抛物线y=x2上运动,点q满足=,经过点q与x轴垂直的直线交抛物线于点m,点p满足=,求点p的轨迹方程.解析:设点p(x,y)m(x,x2),由=q(x,(1+)x2-y),由=b(1+)x-,(1+)2x2-(1+)y-),由点b在抛物线y=x2上得:(1+)2x2-(1+)y-=(1+)x-22(1+)x-(1+)y-(1+)=02x-y-1=0.原创问题:已知直线l:x=2与抛物线c:x2=2py(p0)相交于点a(2,1).()求抛物线c的方程;()若直线l与x轴交于点h,

9、平行于x轴的动直线与直线l、y轴分别交于点m、n,设=,点p满足:=, 求点p的轨迹方程.解析:()由抛物线c:x2=2py(p0)经过点a(2,1)2p=4p=2抛物线c:x2=4y;()由h(2,0)=(0,1);由=m(2,)n(0,)=(-2,0);由=(-1,0)p(+1,)点p的轨迹方程:x-y=1.例4:抛物线的切线.始源问题:(2012年全国高中数学联赛陕西预赛试题)如图, y锐角abc内接于圆o,过圆心o且垂直于半径oa的直线分别交 a边ab、ac于点e、f,设圆o在b、c两点处的切线相交于点p.求证:直线ap平分线段ef. e o f x解析:命题组给出的是纯平面几何的综合

10、证法,为便于移植、 c推广到二次曲线,现给出一种解析证法: b 分别以ef、oa所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图: p不妨设a(0,1),b(cos,sin),c(cos,sin),则直线ab:y=x+1,ac:y=x+1e(,0),f(,0);又圆o:x2+y2=1在处b、c的切线分别为xcos+ysin=1、xcos+ysin=1p(,-)直线ap:y=-x+1直线ap与x轴的交点m(,0);所以,直线ap平分线段ef点m是线段ef的中点2=+2=+2 108 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 =成立. 考虑到将圆变换为二次曲线,三角形的一个顶点移植为二次曲线的一个顶点,其他条件不

11、变可得:原创问题:已知抛物线c:x2=2py(p0)经过点a(2,1).()求抛物线c的方程和焦点f;()若动点q在抛物线c上,且f在aoq的内部,过焦点f且与y轴垂直的直线交oq于点n,设an的中点为m,求证:直线om与抛物线c在q处的切线的交点p在定直线上.解析:()由抛物线c:x2=2py(p0)经过点a(2,1)2p=4p=2抛物线c:x2=4y,焦点f(0,1);()设q(2t,t2),则直线oq:y=xn(,1)m(1+,1)直线om:y=x;又抛物线c在q处的切线:y=tx-t2;令x=tx-t2x=t+1y=tp(t+1,t)点p在定直线x=y+1上.例5:切线证明.始源问题:

12、(2012年安徽高考试题)如图,f1(-c,0),f2(c,0)分别是 y q椭圆c:=1(ab0)的左,右焦点,过点f1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点p,过点f2作直线pf2的垂线交直线x=于点q. p()若点q的坐标为(4,4),求椭圆c的方程; f1 o f2 x()证明:直线pq与椭圆c只有一个交点.解析:()由题知p(-c,)=-;由pf2qf2=直线qf2:y=(x-c),令x=y=(-c)=2aq(,2a)=4,2a=4a=2,c=1椭圆c:+=1;()直线pq:y=x+a,代入=1得:x2+2cx+c2=0x=-c直线pq与椭圆c只有一个交点.原创问题:已知椭圆c:=1(ab

13、0)的右焦点为f,点m在椭圆c的右准线l上,连接om与椭圆c交于点p,直线pqfm于q.()若点m的坐标为(4,6)时,点p的坐标为(1,),求椭圆c的方程;()证明:直线pq与椭圆c只有一个交点.解析:()由题知=4,+=1a2=4c,b2=4c-c2,+=1c=1a=2,b2=3椭圆c:+=1;()设p(x0,y0),则直线op:y=xm(,)kmf=kpq=-直线pq:y-y0=-(x-x0)y=-+y0=-x+=-x+,代入=1得:(a2y02+b2x02)x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y02=0x2-2x0x+ 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 109 x02=0直线pq

14、与椭圆c只有一个交点.原创问题:已知椭圆c:=1(ab0)的左、右顶点分别为a、b,点p在椭圆c上,phx轴于h,ph的中点为t,过点b且垂直于x轴的直线与直线at交于点q.()当h为ob的中点时,点q(2,1),求椭圆c的方程;()证明:直线pq与椭圆c只有一个交点.解析:()由点q(2,1)b(2,0)a=2,h(1,0);设t(1,t),则直线at:y=(x+2)yq=t=1t=p(1,)+=1b2=3椭圆c:+=1;()设p(x0,y0),则t(x0,),直线at:y=(x+a),令x=a得:y=q(a,)kpq=-直线pq:y-y0=-(x-x0)y=-x+,代入=1得:(a2y02

15、+b2x02)x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y02=0x2-2x0x+x02=0直线pq与椭圆c只有一个交点.始源问题:(2013年安徽高考试题)已知椭圆c:=1(ab0)的焦距为4,且过点p(,).()求椭圆c的方程;()设q(x0,y0)(x0y00)为椭圆c上一点.过点q作x轴的垂线,垂足为e.取点a(0,2),连接ae.过点a作ae的垂线交x轴于点d.点g是点d关于y轴的对称点,作直线qg.问这样作出的直线qg是否与椭圆c一定有唯一的公共点？并说明理由.解析:()由题知a2-b2=4,=1a2=8.b2=4椭圆c:=1;()由q(x0,y0)e(x0,0),设d(xd,0),则

16、=(x0,-2),=(xd,-2);由adae=0xdx0+8=0d(-,0)g(,0)kqg=(由q(x0,y0)在椭圆c:=1上x02-8=-2y02)=-直线qg:y=-(x-),代入=1得:x2-2x0x+x02=0x=x0直线qg与椭圆c一定有唯一的公共点q.原创问题:已知椭圆c:=1(ab0)的左、右顶点分别为a、b,垂直x轴的直线l与椭圆c交于m、n两点.()已知a(-2,0),当直线l过椭圆c的焦点时,|mn|=3,求椭圆c的方程;()若直线am与bn交于点p,pqx轴于q,问这样作出的直线qm是否与椭圆c一定有唯一的公共点？并说明理由.解析:()由题知a=2,=3b2=3椭圆

17、c:+=1;()设m(x0,y0),则n(x0,-y0),直线am:y=(x+a),bn:y=-(x-a);由(x+a)=-(x-a)x=q(,0)直线qm:y=(x-),即y=-x+,代入=1得:(a2y02+b2x02)x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y02=0x2-2x0x+x02=0直线pq与椭圆c只有一个交点. 110 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 原创问题:已知椭圆c:=1(ab0)的右焦点为f,点p在椭圆c上,以pf为直径的圆记为m,以椭圆c的长轴为直径的圆记为o.()求证:m与o内切于一点q;()对于()中的点q,问直线pq是否与椭圆c一定有唯一的公共点？并说明理

18、由.解析:()设椭圆c的左焦点为e,则两圆的圆心距|om|=|pe|=(2a-|pf|)=a-|pf|=两圆半径之差m与o内切于一点q;()设p(x0,y0),则以pf为直径的m:(x-x0)(x-c)+y(y-y0)=0,即m:x2+y2-(x0+c)x-y0y+cx0=0;以椭圆c的长轴为直径的o:x2+y2=a2,两圆方程相减得外公切线方程:(x0+c)x+y0y-cx0-a2=0,代入x2+y2=a2得:(x0+c)2+y02x2-2(x0+c)(cx0+a2)x+(cx0+a2)2-a2y02=0,由两根相等xq=yq=kqf=kpq=-直线pq:y-y0=-(x-x0)y=-x+,

19、代入=1得:(a2y02+b2x02)x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y02=0x2-2x0x+x02=0直线pq与椭圆c只有一个交点.例6:切线性质. y始源问题:如图,设a、b、c、d分别是椭圆g 的四个顶点,过椭圆g上任意一点p(不a、b、c、 a d与重合)的切线交x轴于点q,直线ap、bp分别交 px轴于m、n.求证: c o n d q m x()q是mn的中点;()|qd|,|qn|,|qc|成等比数列. b解析:设椭圆g:+=1(ab0),p(x0,y0),则a(0,b),b(0,-b),c(-a,0),d(a,0),+=1,切线pq:+=1q(,0);()由直线ap:y

20、=x+bm(,0),同理可得n(,0)+=2q是mn的中点;()由|qd|qc|=|-a|+a|=|-a2|=a2|=;|qn|=|-|=|-|=|qd|qc|=|qn|2|qd|,|qn|,|qc|成等比数列.原创问题:已知椭圆c:+=1(ab0)的左、右顶点分别为a1、a2,上、下顶点分别为b1、b2,点p是椭圆c上任意一点(不在坐标轴上),直线b1p、b2p分别交x轴于m、n,线段mn的中点为q.()求证:|qa1|,|qn|,|qa2|成等比数列;()证明:直线pq与椭圆c只有一个交点.解析:()因a1(-a,0),a2(a,0),b1(0,b),b2(0,-b),设p(x0,y0),

21、则+=1,直线b1p:y=x+bm(,0),同理可得n(,0)+=2q(,0)|qa1|qa2|=|+a|-a|=|-a2|=a2 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 111 |=;|qn|=|-|=|-|=|qd|qc|=|qn|2|qd|,|qn|,|qc|成等比数列;()由kpq=-=-直线pq:y=-(x-),即y=-x+,代入+=1得:x2-2x0x+x02=0x=x0,y=y0直线pq与椭圆c只有一个交点p.始源问题:(2009年辽宁高考试题)己知椭圆c经过点a(1,),两个焦点为(-1,0),(1,0).()求椭圆c的方程;()e、f是椭圆c上的两个动点,如果直线ae的斜率与a

22、f的斜率互为相反数,证明:直线ef的斜率为定值,并求出这个定值.解析:()由两个焦点为f1(-1,0),f2(1,0)c=1,2a=|af1|+|af2|=4a=2b2=3椭圆c的方程为:=1;()设直线ae的方程为:y=k(x-1)+,代入椭圆方程=1得:(4k2+3)x2-4k(2k-3)+4(-k)2-12=0xaxe=xe=,同理xf=xf-xe=xf+xe=kfe=为定值. 本题第问中的结论具有一般性:m、a、b是椭圆c上的一点,若直线ma、mb与椭圆c的对称轴的夹角相等,则直线ab的斜率为定值;进一步研究可知,椭圆c在m处的切线斜率与直线ab的斜率互为相反数.原创问题:己知椭圆c的

23、左、右分别焦点为f1(-1,0)、f2(1,0),直线x+2y=4与椭圆c恰有一个交点m.()求椭圆c的方程和点m的坐标;()若直线l与直线x+2y=4关于x轴对称,作平行于直线l的动直线与椭圆c交于a、b两点.求证:mab的内切圆的圆心在定直线上.解析:()设椭圆c:+=1(ab0),则a2=b2+1;由(a2+4b2)y2-16b2y+16b2-a2b2=0(-16b2)2-4(a2+4b2)(16b2-a2b2)=0b2=3,a2=4y=x=1椭圆c:=1,m(1,);()由kl=kab=;设a(x1,y1),b(x2,y2),直线ab:y=x+t;由4x2+4tx+4t2-12=0x1

24、+x2=-t,x1x2=t2-3kma+kmb=+=+=0直线ma与mb关于直线x=1对称amb的角平分线为x=1mab的内切圆的圆心在定直线x=1上.例7:切线方程.始源问题:若点p(x0,y0)在椭圆c:+=1(ab0)上,则直线l:x0x+y0y=1是椭圆g:a2x2+b2y2=1的切线.解析:由+=1,把x0x+y0y=1代入a2x2+b2y2=1得:(a2y02+b2x02)x2-2b2x0x+b2-y02=0a2b2x2-2b2x0x+x02=0x= 112 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 y=直线l与与椭圆g只有一个交点p(,)直线l是椭圆g的切线.原创问题:已知点p(x0

25、,y0),直线l:x0x+y0y=1(x0y00)与椭圆g:a2x2+b2y2=1(ab1)只有一个交点q.()求点p轨迹c的方程;()求|pq|的取值范围.解析:()把x0x+y0y=1代入a2x2+b2y2=1得:(a2y02+b2x02)x2-2b2x0x+b2-y02=0b4x02-(a2y02+b2x02)(b2-y02)=0+=1点p(x0,y0)轨迹c:+=1(xy0);()由()得q(,)|pq|2=(1-)2x02+(1-)2y02=(1-)2x02+(1-)2b2-(1-)2x02=x02+(b-)2;又由0x02b0)在点q处的切线与直线x=x0交于点p,则pfq=900

26、的充要条件是x0=.根据此可命制:原创问题:已知f为椭圆c:+=1的右焦点,直线l:+=1.()求证:直线l与椭圆c恰有一个交点;()若动点q在椭圆c上,过点q的直线pq与椭圆c恰有一个交点,且pfq=900.求点p的轨迹方程.解析:()把+=1代入+=1得:3x2-12xcos+12=12sin2x=2cosy=sin直线l与椭圆c恰有一个交点(2cos,sin);()设q(2cos,sin),p(x,y),f(1,0),则切线:+=1;又由pfq=900=0(x-1)(2cos-1)+ysin=0,代入得:-=1x=4点p的轨迹方程为x=4;例8:隐蔽切线.始源问题:(2013年安徽高考试

27、题)设椭圆e:+=1的焦点在x轴上.()若椭圆e的焦距为1,求椭圆e的方程;()设f1、f2分别是椭圆e的左、右焦点,p为椭圆e上第一象限内的点,直线f2p交y轴于点q,并且f1pf1q.证明:当a变化时,点p在某定直线上.解析:()由椭圆e:+=1的焦点在x轴上,且焦距为1a2-(1-a2)=a2=椭圆e:+=1; 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 113 ()因f1(-c,0),f2(c,0),其中,c=,设p(acos,sin),(0,)直线f2p:y=(x-c),令x=0得:y=-q(0,-);又由f1pf1q=0(acos+c)c-sin=0(a2cos2-c2)-(1-a2)s

28、in2=0sin2=a2-c2=1-a2sin=cos=ap(a2,1-a2)在直线x+y=1上. 第()问的结果:点p在定直线x+y=1上.定直线x+y=1恰是椭圆的切线.实质上,由熟知的结果:直线mx+ny+t=0与椭圆c:=1相切m2a2+n2b2=t2;特别地,取直线x+y-1=0得:a2+b2=1b2=1-a2,此时椭圆c:+=1.这就是2013年安徽高考试题.考虑到安徽高考解析几何试题的隐蔽情结:所求动点的轨迹为直线,且该直线是曲线的切线.着意于命制:原创问题:已知椭圆c:+=1(ab0)过a(1,)、b(,-)两点.()求椭圆c的方程;()若动点q在直线ob上,动点p满足=+,证

29、明:点p在某定直线上.解析:()由题知,+=1,+=1a2=4,b2=3椭圆c:+1;()由直线ob:y=-x,可设q(2t,-t),设p(x,y),由=+x+2y=4点p在定直线x+2y=4上. 定直线x+2y=4恰是椭圆c在a处的切线.一般地,若a、b是椭圆c上的两个共轭点(koakob=-),则椭圆c在a处的切线:=+,其中,p是切线上任意一点,即椭圆c在a处的切线平行于ob.原创问题:已知椭圆c:+=1(ab0)过a(1,),且椭圆c的离心率e=.()求椭圆c的方程;()设椭圆c的四个顶点分别为a1、a2、b1、b2,点p是椭圆c上异于顶点的动点,直线a1a与pa2交于点m,直线ab1与pb2交于点n,过点m且平行于y轴的直线与过点n且平行于x轴的直线交于点q,证明:点q在某定直线上.解析:()由题知,+=1,e=a2=4,b2=3椭圆c:+1;()因a1(-2,0),a2(2,0),b1(0,-),b2(0,),设p(x0,y0),直线ap:x=ky+m,则k+m=1,x0=ky0+m;由(3k2+4)y2+6kmy+3m2-12=0y0=y0=;由直线a1a:y=(x+2),pa2:y=(x-2);令(x+2)=(x-2)x