高中数学选修2-3《二项式定理说课》叶如飞

1、 说教学目标 说教材 说教法、学法 说教学过程 课堂小结 提出问题、分析问题 解决问题 一、说教材一、说教材 1、知识内容：二项式定理及简单的应用、知识内容：二项式定理及简单的应用 2、地位及重要性：、地位及重要性： 二项式定理安排在高中数学选修二项式定理安排在高中数学选修2-3第一章第五节第一章第五节,是排列组合内容后是排列组合内容后 的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识 块，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式块，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式

2、与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高 的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解 决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。 3 、重点与难点分析：、重点与难点分析： 重点：重点： （1）使学生参与并深刻体会）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式，二项式定理形成过程，掌握二项式，二项式二项式系系 数，字母的幂次，展开

3、式项数的规律。数，字母的幂次，展开式项数的规律。 （2）能够应用二项式定理对二项式进行展开。）能够应用二项式定理对二项式进行展开。 难点难点:掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。 A.A.知识与技能知识与技能 （1 1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、 字母的幂次、展开式项数的规律字母的幂次、展开式项数的规律. . （2 2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开. . B.B.过程与方法过

4、程与方法 （1 1）通过）通过二项式定理的推导过程，培养学生观察，猜想，归纳的二项式定理的推导过程，培养学生观察，猜想，归纳的 能力以及分类讨论的能力能力以及分类讨论的能力. . （2 2）培养学生化归的意识和知识迁移的能力）培养学生化归的意识和知识迁移的能力. . C.C.情感态度与价值观情感态度与价值观 （1 1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生 解决数学问题的兴趣和信心解决数学问题的兴趣和信心. . （2 2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程, ,使学生体会使学

5、生体会 到数学内在的和谐对称美到数学内在的和谐对称美. . 二二说教学目标说教学目标 三三说教法和学法说教法和学法 1 1、教法、教法 为了完成本节课的教学目标，掌握并能正确运用二项式定理，让学生主动为了完成本节课的教学目标，掌握并能正确运用二项式定理，让学生主动 探索展开式的由来是关键。本节课的教法贯穿启发式教学原则，采用探索展开式的由来是关键。本节课的教法贯穿启发式教学原则，采用“多媒体多媒体 引导点拨引导点拨”的教学方法以多媒体演示为载体，以的教学方法以多媒体演示为载体，以“引导思考引导思考”为核心，设计课为核心，设计课 件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，逐步达到即定的教学目标，发展

6、学件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，逐步达到即定的教学目标，发展学 生的生的 逻辑思维能力；同时，考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节进行逻辑思维能力；同时，考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节进行 分层施教，实现分层施教，实现“有差异有差异”的发展。的发展。 2 、学法、学法 根据学生思维的特点，遵循根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主立足点教必须以学为主立足点”的教学理念，让每的教学理念，让每 一个学生自主参与整堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生进行类比一个学生自主参与整堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生进行类比 迁移，对照学习。迁移，对照学习。学生在教师营造的

7、学生在教师营造的“可探索可探索”的环境里，积极参与，生动活的环境里，积极参与，生动活 泼地获取知识，掌握规律、主动发现、主动发展。泼地获取知识，掌握规律、主动发现、主动发展。 3 、教学手段、教学手段 利用电脑，投影仪等多媒体教学展现二项式定理的推导过程，激发学生的利用电脑，投影仪等多媒体教学展现二项式定理的推导过程，激发学生的 兴趣，增大教学容量，提高课堂效率。兴趣，增大教学容量，提高课堂效率。 教学过程教学过程 引出问题引出问题 二项式定理二项式定理例题分析例题分析课堂练习课堂练习 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 归纳猜想归纳猜想 思考：思考： 二项式定理二项式定理 ?) 17(8 1

8、010 10 8 2 2、若今天是星期一，那么再经过、若今天是星期一，那么再经过 天后是星期几？天后是星期几？ 怎么算？怎么算？ 预期回答：星期三.将问题转化为求“30被7除后算余数”是多 少？ 预期回答： 3 、若今天是星期一，那么再过若今天是星期一，那么再过 天后是星期几？怎么算？天后是星期几？怎么算？）（ Nn n 8 预期回答：将问题转化为求“ 被7除后算余数” 是多少？ ”）（ nn 178 1、若今天是、若今天是 星期一，那么再过星期一，那么再过30天后的那一天是星期几？怎么算？天后的那一天是星期几？怎么算？ 我们知道我们知道: ， 二项式定理二项式定理 22 2 2bababa

9、根据多项式乘法，又可得根据多项式乘法，又可得 3 ba 3223 33babbaa 提问：对于提问：对于 54 ）、（）（baba如何展开？如何展开？ 问题：按上述方法展开问题：按上述方法展开 n baba）、（ 100 )( 实际可行吗？可见应探讨新方法。实际可行吗？可见应探讨新方法。 取取0个个 b（全取（全取a）：）： 取取1个个 b （1b1a）：）： 取取2个个 b （2b0a）：）： 二项式定理二项式定理 （a+b)2= ? 0 2 C 1 2 C 2 2 C bbbaabaa bababa )()( 2 22 2 1 2 20 2 bcabcac 二项式定理二项式定理 30312

10、12233 3333 ()?abc ac a bc abc b 5 05144455 5555 abC aC a bC abC b 4 04133344 4444 ?abC aC a bC abC b 预期问题：展开式每一项的次数按某一字母降幂，另一字母升幂排预期问题：展开式每一项的次数按某一字母降幂，另一字母升幂排 列列. 且两个字母幂指数的和等于乘方指数；展开式的项数比乘方指且两个字母幂指数的和等于乘方指数；展开式的项数比乘方指 数多数多1。 初步归纳出下式初步归纳出下式: 以上展开式中的各项系数之间有什么关系吗？教 师将以上各展开式的系数整理成如下模型: nnnnn bbabaaba 2

11、21 )( 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 请你找出以上数据上下行之间的规律 : 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应 位置的相邻两数之和。 二项式定理二项式定理 如何展开如何展开 以及以及 呢？呢？ n ba)( 100 )(ba )()()()( 4 bababababa 11,b a 22 ,ba 我们将 中第一个 ；第二个括号中的字母分 ；依次类推。请再次用多项式乘法运算 括号中的字母分别记成 别记成 法则计算：)()()()( 44332211 4 bababababa =a1a2a3a4 4 a +a1a2a3b4+a1

12、a2a4b3+a1a3a4b2+a2a3a4b1 ba 3 +a1a2b3b4+a1a3b2b4+a1a4b2b3+a2a3b1b4+a2a4b 1b3+a3a4b1b2 22b a +a1b2b3b4+a2b1b3b4+a3b1b2b4+a4b1b2b3 3 ab +b1b2b3b4 4 b 二项式定理二项式定理 问题1：以 项为例，有几种情况相乘均可得到 项 ？这里的字母 各来自哪个括号？ 22b a 22b a ba, 问题2：既然以上的字母 分别来自4个不同的括号， 项的系数你能用组合数来表示吗？ ba, 22b a 问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的 命题吗？ 预期答

13、案：预期答案： 有有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是个括号，每个括号中有两个字母，一个是 、一个是、一个是 。 每个括号只能取一个字母，任取两个每个括号只能取一个字母，任取两个 、两个、两个 ，然后相乘，问不同的，然后相乘，问不同的 取法有几种？取法有几种？ a b ab 提出问题: 二项式定理二项式定理 问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它 各项系数（用组合数的形式进行填写）， 4322344 )()()()(babbabaabababababa 二项式定理二项式定理 归纳猜想：归纳猜想： 二项式定理二项式定理 011 1 222 n nn nn nrn rr nn nn n

14、 abC aC ab C abC ab C bnN 二项式定理二项式定理 公式特征：公式特征： (1)(1)项数：项数：共有共有n+1项。项。 (4)(4)二项式系数：二项式系数： (3)(3)二项展开式的通项公式二项展开式的通项公式 rrnr nr baCT 1 依次为依次为 (2)指数指数:a的指数从的指数从n逐项递减到逐项递减到0, 是降幂排列；是降幂排列； b的指数从的指数从0逐项递增到逐项递增到n,是升幂排列，是升幂排列， 指数指数 和为和为n。 n rr ab 这里这里 称为二项式系数称为二项式系数 012 , rn nnnnn CCCCC 0,1,2, r n Crn 二项式定理

15、二项式定理 简析：本题是一道利用二项式定理对某个二项式进行展简析：本题是一道利用二项式定理对某个二项式进行展 开的问题开的问题. 6 3 66 ) 12( 1 ) 12 () 1 2( x xx x x x 32 23 11260 16024019264 xxx xxx 解解: 例题例题1:展开展开 6 1 (2)x x 二项式定理二项式定理 简析：本题是一道利用二项式定理求某一项的系数简析：本题是一道利用二项式定理求某一项的系数 问题，可以写出通项问题，可以写出通项.让让x的系数为的系数为3求求r,来求该项的来求该项的 系数系数 3 x 841 3, 329 1-) 1 - ( 3 9 33

16、 29 9 9 91 cx rr xc x xcT rrrrrr r ）项的系数为（则 得令 ）（ 解解: 例题例题2 : 求求 的展开式中的的展开式中的 的系数的系数. 9 1 x x 简析：本题是考查二项式系数和系数的问题。简析：本题是考查二项式系数和系数的问题。 二项式定理二项式定理 3333 7 3373 713 2802)2(1xxCxCT 所以展开式第所以展开式第4项的系数是项的系数是280 解解: 例题例题3 : 求求 的展开式的第的展开式的第4项的系数和第项的系数和第4项的二项项的二项 式系数。式系数。 7 (1 2 ) x 的展开式的第的展开式的第4项是项是 7 (12 )x

17、 展开式第展开式第4项的二项式系数项的二项式系数 3 7 35C 二项式定理二项式定理 练习：练习： 1.分别求分别求 的第的第3项。项。 2.写出写出 的展开式的第的展开式的第3项。项。 66 )a2b3( ,)b3a2( 4 3 3 ) 2 1 ( x x 备注：出以上两道练习题是为了加强学生对二项式通项公备注：出以上两道练习题是为了加强学生对二项式通项公 式的应用。式的应用。 (把学生做的练习进行投影把学生做的练习进行投影) 二项式定理二项式定理 小结：小结： 3.3.要正确区别要正确区别“项的系数项的系数”和和“二项式系数二项式系数”. . 4.4.应用：求展开式及展开式中的指定项应用

18、：求展开式及展开式中的指定项, ,求二项展开式求二项展开式 某一项的二项式系数和展开项的系数某一项的二项式系数和展开项的系数. . 2.二项展开式的通项：二项展开式的通项： 1 rn rr rn TC ab 1.二项式定理：二项式定理： 0111 222 n nn nn nrnrr nn nn n abC aC ab C abC ab C bnN 二项式定理二项式定理 布置作业：布置作业： 1.已知二项式已知二项式 n x x）（ 3 3 3 -的展开式中，第的展开式中，第6项为常数项项为常数项. （1）求）求n； （2）求含）求含 2 x的项的系数；的项的系数； （3）求展开式中所有的有理项）求展开式中所有的有理项. 2.求求 的展开式中的展开式中 项的系数项的系数. 2 x 7 2 12xx（） 二项式定理（一）二项式定理（一） 一、复习引入：一、复习引入： 二、导课：二、导课： 三、新课，归纳猜想三、新课，归纳猜想： 四四、例题、例题 五、练习五、练习 六、小结六、小结 七、作业七、作业 板书设计：板书设计： 二项式定理二项式定理 课后反思：课后反思： 二项式定理二项式定理 准备这节课