随机过程习题和答案

1、Word格式、设二维随机变量（盘,F）的联合概率密度函数为:0yx%其它试求：在_严1时，求叫小凹解: A（-Jy（v_vy/x=J：24fl-功憾OJ0JT“+F） 坯好环皿钏+甥与无关(2) 町 禺即輻+巩巧珥5如厂切- 巧畛沪JT訐山吕JT护匕5t1- f“iir十厂 “血三-2o% & |J= 2CT2所以肖:()-珥灯(切-(3) 町S 轨创应农応=门匸m曲心再=0D二囘才压(血必+巧皿召+)=心扣规国占十曲尙+力一0气偽站如/*叫心 用 只与时间间隔有关，所以上(为宽平稳过程设随机过程 X(t) U cos2t，其中U是随机变量，且 E(U) 5, D(U) 5求: (1)均值函数

2、；(2)协方差函数；(3)方差函数设有两个随机过程 X(t) Ut2，Y(t) Ut3,其中U是随机变量，且D(U) 5.试求它们的互协方差函 数。设A,B是两个随机变量，试求随机过程X(t) At 3B ,t T (,)的均值函数和自相关函数 若A, B相互独 立,且A N(1,4), B U (0,2),则mx (t)及Rx(tt2)为多少？一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为 2分钟的 指数分布并且与其他人所需时间相互独立， 则1小时内平均有多 少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令N（t）表示（0,t）时间

3、内的体检人数，则N（t）为参数为30的poisson过程。以小时为单位。则 E(N(1) 30。P(N(1) 40) 鲁 e30。k 0 k!度分别为在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强2，当1路公共汽车有N1人乘坐后出发；2路公共汽车在有N2人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客 到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当N1二N2，1= 2时，计算上述概率。解:法一：(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为 1、2的 poisson过程，令它们为N1(t)、N2(t)。Tn1表示N1(t) =N1的发生时 刻，Tn2表

4、示N2(t)=N2的发生时刻。N1fTN1(t1)lxp( 1t1)N2fT (t2) 2t2N2 1 exp( 2t2)Tn(N2 1)! 222N1N2fTN1,TN2 (t1 ,t2) fTN1TN2 (t1 |t2) fTN2 (t2) J eXP( 1t1) (1)!t exP( 2t2)(N1 l)!( N2 l)!t2N1N2P(TNiTn2)dt2-t|Nl1exp(1t1)-t2N21 exp(2t2)dt| Nl3 0 2 0(ni 1)! 1 f 1U(N2 1)! 2211(2)当 N1 = 2、 1= 2 时，P(Tn1 Tn2) P(Tn1 Tn2)-法二：(1)乘

5、车到来的人数可以看作参数为1+ 2的泊松过程。令乙、Z2分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时 间间隔。则乙、Z2分别服从参数为1、2的指数分布，现在来求 当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概 率。Z2p P(Z1 Z2)0 dz2 0 1 exp( 1Z1) 2 exp( 2Z2)dz11。1 2故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概率为1- p1 2上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度1+ 2的泊松过程时，乘客分别以概率乘坐公共汽车1,以的概1 2 1 2率乘坐公共汽车2。将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：N1 N21P(1路汽

6、车比2路汽车先出发)二CN111(一 )N1(一 )k N1k N11212(2)当弘二也、1= 2时2N 12N 1P(1路汽车比2路汽车先出发)二CkN11(1)k丄CkN11(-)k1丄k n22 k n22设Ni(t),t0， (i 1,2丄，n)是n个相互独立的Poisson过程，参数分别为i (i 1,2,L , n)。记T为全部n个过程中，第一个事件发生的时刻。(1 )求T的分布；(2) 证明N(t)iniNi(t),t 0是 Poisson 过程，参数为i ；(3) 求当n个过程中，只有一个事件发生时，它是属于 N1(t),t0的概率。解：(1)记第i个过程中第一次事件发生的时

7、刻为tii，i 1,2,.,n则Tmi nti1,i1,2,., n。由ti1服从指数分布，有PT t 1 PT t 11 PtMt,i 1,2,., nnt11 (1 e i )1i 1Pmin ti1,i1,2,., n tn1Pti1ti 1nexp iti 1(2)方法一：由Ni(t),i 1,2,., n为相互独立的poisson过程，对于 s,t 0。nPN(t s) N(t) n P Ni(t s)i 1PNi(t s) Ni(t) ni, ni n,ini nNi(t) n1,2., nn(snexp(ni ni 1n nii)s)i1 訐n(s i)ni 1n!exp(i)s

8、)n ni这里利用了公式(1 . n)n丄n!nin i 1 nJ的poisson过程。n所以N(t)Ni(t),t 0是参数为i 1方法二:当h0时,nPN(t h) N(t) 1 P M(t s) M(t) 1i 1nn( ih o(h)(1 jh o(h)i 1j 1j innih o(h) ih o(h)i 1i 1当h 0时，nPN(t h) N(t) 2 P Ni(t s) Ni(t)2i 1n1PNi(ti 1s) Ni(t)21n(1jhno(h)iho(h)1j 1(1nihi 1i 1 no(h)i 1iho(h)o(h)得证。(3) PN1(t) 1| N(t) 1PN1

9、(t)1,Ni(t)0,i2,n/ PN(t) 1nit11 nnit n1te 1te /e i1i 2i 1证明poisson过程分解定理：对于参数为的poisson过程rp 1N(t),t 0， Pi 1，i1 ，i 1,2，L，r，可分解为 r 个相互独立的poisson过程，参数分别为pii 1,2丄，r解：对过程N(t),t 0，设每次事件发生时，有r个人对此以概率rP1,P2,Pr进行记录，且 Pi 1，同时事件的发生与被记录之i 1间相互独立，r个人的行为也相互独立，以 Ni(t)表示为到t时刻第i个人所记录的数目。现在来证明Ni(t),t 0是参数为口的poisson过程。P

10、Ni(t) m | N(t) m nPN(t) m nn 04nPim(1 Pi)n!e t n 0(m n)!pit( pt)m em!独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录,个以概率p，个以概率1 p记录，则Ni(t),t 0是参数为poisson 过程，N2(t),t 0是参数为 (1 p)的 poisson过程。PN1(t)PN(t)(t)k1 k2e(k1 k2)!(t)% k2e(k1 k2)!(t) k1 k2ek1! k2!(pt)k1ek1!PNdt) Ik1,N2(t) k2 PN(t) k1,N(t) k1 k? k1k2PNi(t) ki |N(t) ki

11、k2窃 pk1(1 p)k2tpk1(1p)k2k2!KPN2(t) k2得证。设N(t),t 0是参数为3的poisson过程，试求(1)PN(1) 3；(2)PN(1) 1,N(3) 2；(3)PN(1) 2| N(1) 133k解：(1)PN(1) 3e313e 3k 0k!(2) PN(1) 1,N(3)2PN(1)1,N(3) N(1) 1PN(1) 1P N(3)369N(1) 1 3e 6e 18e(3)PN(1) 2|N(1) 13PN(1) 21 4e33PN(1) 11 e对于 poisson 过程N(t),t 0,证明s t时,nPN(s) k|N(t) n k(1?)n

12、 k(?)kt t解:PN(s) k| N(t)nPN(s) k,N(t) nPN(t)PN(s) k,N(t) N(s) n knPN(t) nPN(t) N(s) n kPN(s) kPN(t) n(n k)!e (t s)( (t s)n ke s( s)k eek!t( t)nn!n k k(t s) s n!(nk)!k!tnn k(t s)sk tnktk_(1 ：)n k(s)k0和N2(t),t 0分别是参数为，2 的 Poisson过程，另X(t) NMt)N2(t)，问X(t)是否为 Poisson 过程,为什么解：不是X(t) N1(t) N2(t), X(t)的一维特征

13、函数为:iuX(t)E(gu(Ni(t)N2(t ) E(eiuNiQe 山也)iteiuk ( 2竹 e 2tk 0k!kiukt)2t(e 2t)ek!k 0 k!2te eiu 2tiufX(t)(u) E(eiuk (1t)ke -ek 0k!iu2t-t(e-t)ek 01t eiu 1te 1 e 1 eexpeiu 1t eiu 2t ( 12 )t参数为的Poisson过程的特征函数的形式为expeiu t 1，所以x(t)不是poisson过程。计算Ti , T2 , T3的联合分布解：fx1，X2，X3(X|,X2,X3)fx,X1)fx2(X2)fx3(X3)3e (x

14、X2 X3)1 1 0J(t1,t2,t3)|01110 0 1fT1,T2,T3 (t1 t2 t3)fX1,X2,X3(t1t2 t1 ,t3 t2) J (t1 t2t3)3e t3 0 t| t2 t30其他对 s 0，计算 EN(t)gN(t s)。解：EN(t)N(t s) EN(t)(N(t s) N(t) EN2(t)EN(t)E(N(t s) N(t) EN2(t) t s t ( t)22t22st t设某医院专家门诊，从早上8:00开始就已经有无数患者等候，而每个专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20分钟，且每名患者的服务时间是相互独立的指数分布。则8:00到12:

15、00门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间解:从门诊部出来的患者可以看作服从参数为 3的泊松过程(以小时为单位) 则在0, t小时内接受治疗的患者平均停留时间为:N(t)N(t)ETiiNtjEETi|N(t)nntE2EI n当t=4时，平均等待停留时间为2h。3 .11 N(t),t 0是强度函数为(t)的非齐次Poisson过程，xX2,l是事件发生之间的间隔时间，问:(1)诸Xi是否独立(2)诸Xi是否同分布解:(1) P X1 t PN(t) 0 ePX2 t|X1m(t)(s)ds。P N (t s)从上面看出s PN(t s)m(tN (s)0 eN(s)s) m(s

16、)0|X1 st s()d e sX1、X2不独立。以此类推,Xi不独立。(2)F/t)(s)dsFx2 (t)1 P(X2 t) 10 PX2t|X1 sdFx,s)em(t s) m(s)e m(s)(s)ds 10 e m(t s) (s)ds分布不同。设每天过某路口的车辆数为：早上 7:00 : 8:00,11:00 : 12:00为平 均每分钟2辆，其他时间平均每分钟1辆。则早上7:30: 11:20平均 有多少辆车经过此路口，这段时间经过路口的车辆数超过 500辆的概 率是多少解:(1)记时刻7:00为时刻0,以小时为单位。经过路口的车辆数 为一个非齐次poisson过程，其强度函

17、数如下：1200 s 1,4 s 5(s)601 s 4则在 7： 3011： 20 时间内，即 t 0.5,13时，n(罟)N(0.5)代表这段时间内通过的车辆数，它服从均值为如下的poisson 分布。13,1314m(t) 3 (s)ds120ds 60ds 3120ds 60 180 40 2800.50.514即：EN() N(0.5) 280，在给定的时间内平均通过的车3辆数为280。13(280)n 280(2) PN()N(0.5)500e 。3n 501 n!0,t时间内某系统受到冲击的次数 N(t)，形成参数为的poisson 过程。每次冲击造成的损害Y , i 1,2,L

18、 ,n独立同指数分布，均值为。 设损害会积累，当损害超过一定极限 A时，系统将终止运行。以T记系统运行的时 间(寿命)，试求系统的平均寿命 ET。N(t)解:在0,t内某系统受到的总损害X(t)Yi为一个复合poisson过i 1程，其中Y e(丄)。tET 0 tdFT(t)0 0dxdFr(t)0 xdFT(t)dx 。(1 FT(x)dx。P(T x)dxN(t)P(T t) P Y Ai 0A| N(t) nPN(t)nN(t)Pn 0Pn 1n:Yi 1A (!)nAP N (t) nn x 0 (n 1)!dxe t(t)nn!a (l)n1 xn 1e dxen 10 (n 1)

19、!1、nxnA (-) n 1( t)x e dxe0 (n 1)!0 n!A n1dx(t)dtoe ttdttL,n 111n 111 11A1tdt0en 1nn 1x e 0 (n 1)!A M n1x ei 0 (n 1)!A(JnX0 n 1 (n 1)!(t)n 1 te n!丄e tdt)0 (n 1)!xdxx1e dx系统的平均寿命为1 某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设14男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。（1）试求到某时刻时到达商场的总人数的分布；（2） 在已知港时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有 3

20、0位妇女的概率, 平均有多少个女性顾客解：设 %化分别为（0,t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及 总人数。（1）由已知，为强度弘，的泊松过程，也为强度赴勺的泊松过程;故，”为强度月3嘉的泊松过程；于是,(2)P(W)=fc) =i = 0Lli(5 分)7X(0 = 301(0 = 5(0 =只聽国=呃冲他=竹00P(A = 5Q)PtMCO二勢)PViS = 20) 事住亠門。廉屮起亠/加!巩矶o二妙- (疗严测(31)*/30k(24Mc/20!(5 分)般地,班笔的丸|河(勾=网=减卜)2北=呱& 凯04*/501ENi | N() =50 = 50 x- =30故平均有女性顾客(

21、4 分)5 人(1) 对(2)错 当N(t) n时，有可能小于t (3)错，Tn t 时，N(t)可能等于n。更新过程的来到间隔服从参数为(n,)的 分布。()试求N(t)的分布；,.N(t)(2) 试证何n解：(1) PN(t) kPN(t) k PN(t) k 1PTk t PTkitkk 1P Xi t PXi ts(kn 1s)(kn 1)!ds(s)(k 1)n 1(k 1)n 1)!ds(2)由强大数定律:TkkXii 1k kEXin，以概率1成立。t, TN(t)TN(t) 1 ,TN(t)t丽丽TN (t) 1W7limt N(t)n TN(t) 1TN(t) 1N(t)N(

22、t) 1N(t) 1N(t)-,to则：limtlimtN(t)t对于Poisson过程证明定理解:M(t) E(N(t)设 PXi解: (1)Fn(t)e0n1n 1 X(nndx1)!n 1dx (n 1)!12-，计算 PN(1)3k , PN k，PN (3)kPN(1)0PN(1)0PN(1) 1 PT。 1PT1PN(1)1PN(1)1PN(1) 2 PT11PX11 211 -331X2 1 3X1 X2(2)P N (2)2P N (2)2 P N (2) 3 PX1X22PX1 X2X32P N 1P N (2) 1 P N (2) 2PT1 1 PX1X211Word格式4

23、X1 X2 + X3345616128P27272727(3)P N2P N2PN(3)3P N1P N (3)1P N (3)2P N3P N3PN(3)4Rrt3Tp33PX1X233PT431O完美整理一个过程有n个状态1,2,Llim P时刻t-t0系统是开着的EZkEZk EYkEX：E(X1. Xn)n，最初在状态1，停留时间为 X1，离开1到达2停留时间为X2，再达到3，L ,最后从n回到1 ,周而复始，并且过程对每一个状态停留时间的长度是相互独立的。试求lim P时刻t系统处于状态i设E(X1 X2+L +Xn)且X1 X2 + L +Xn为非格点分布。解：记过程处于状态i记为

24、开，从状态i+1到n,经过n再回到1，再到i-1这一过程记为关。n则有 Zk = Xi，Yk= Xj。j 1设初始状态从1第一次到i需要时间t。则timP时刻t系统处于状态i limP时刻t系统是开着的用交错更新过程原理计算t时刻的寿命与剩余年龄的极限分布。解: Y(t) TN(t)1 t为t时刻剩余寿命，A(t) t TN(t)为t时刻年龄。若假设更新过程是将一个部件投入使用而一旦失效即更换所Word格式产生的，则A(t)表示在时刻t部件所使用的年龄，而丫表示它的剩余寿命。令X(t) Y(t) A(t)，即X(t)表示两次相邻更新的时间间隔，我们要计算PA(t) x，为此我们将一个开-关的循

25、环对应于一个更新区间，且若在t时刻的年龄小于或等于X,就说系统在时刻t “开着”。换言之，在两次相邻的时间为X(t)的时间内，前X时间内系统“开着”，而其余时间“关着”那么若X(t)的分布非格点的，由定理得到法一：Emin( X, x)0 Pmin( X,x)ydyxP(X0 x)Pmin( X,x)y|x xP(Xx)Pmin( X,x)P(Xxx)Pmin( X,x)y|x xP(Xx) Pmin( X, x)xP(xx)Px y | Xx P(Xx)PXy|xx dyP(Xxx)Px y |Xx P(Xx) PXy|xx dyxP(xx) P(y Xx)dy x P(y Xx)dyxP(xx) P(y Xx)dyxP(xx y) P(yX x)dyxP(Xy)dyx1lim P A(t) x lim P在时刻