数列通项的求法①公式法②an=snsn1③累加累乘法word版本.doc

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除通项的求法公式法anSnSn 1 累加累乘法一：二：三：以下各题默认：“Sn 为数列an的前 n 项和”( n N * )公式法，观察法（已知数列为等差（等比）数列）知 Sn 求 an 用公式 anSnSn 1 (n2)含有 an , Sn 的式子用 anS1(n1)SnSn(n，12)两个转化方向：全部转化为 an，或全部转化为 Sn an1anf (n)an 1an f ( n). 采用累加累乘法.例 1-1.a12,an 1an32n 12n, 求 an2例 1-2.等差数列an是递增数列，a1, a3 , a9 成等比数列， S5a52 求

2、an例 2-1.Sn223n1 ，求 ann例 2-2.S2n1，求 ann例 2-3 .a13且 an Sn12n ( n2) ，求 an 及 Sn例 3-1. a12, anan 12n 1( n2) ，求 an .例 3-2.an 1an2n 1 ，求 an .例 3-3.11an 1an1，求 an，a2n 2n例 3-4. a12 ， an 1nn an ，求 an31例 3-5. a11 ， Snn2an ，求 an .练习：1-1.31,51,7 1 ,9 1 ,的一个通项公式： _4816321-2.a12, a21, 211 (n 2, n N ) ， an =anan1an

3、 11-3. a11,a25, an2an1 an ，则 a20 =1-4. a10,an 1an3 (nN * ) ，则 a20 =3an11-5.an 11 2(an1) ，求 an1-6 a11，an 1an1，求 an1nn1-7.a12, 111 ，求 anan1an2秀发去无踪，头屑更出众！1-8. a1 1， an 1 12 ，求 anan11-9 an 1 3an3n 11 (nN) ，且 a4 365（ 1）求 a1的值；（ 2）若数列 ant 为等差 数列，求常数 t 的值；3n（ 3）求数列的 an 通项 an 。1-10. Sn 3an2( nN , n2)，求 an2

4、-1. Sn 4n2 1，则 a1 和 a10 的值分别为A 4,76B 5,76C 5,401D 4,4011n1)2-2 Sna (32，且 a4 54，则 a1 的数值是A 1B 2C3D42 9n，第2-3(07 广东 ) 数列 an 的前 n 项和 Sn nk 项满足 5ak8，则 kA 9B 8C7D62-4.log 2 ( Sn1)n1，求 an11L12-5.a122 a22n an 2n 5 ，求 an22-6.a12，若Sn2 an，求ann1*2-7. Sn 3( an 1)( n N) (1) 求 a1， a2， a3 的值；(2) 求 an 的通项公式及 S10.2-

5、8.Sn2an( 1) n , n 1， 求 an2-9.数列 an 满足 a 4, S S5 a，求 an1nn 13n 12-10 .a11,Sn 1 3 Sn1(nN *)2求数列an的通项公式；设1的前 n 项和为 Tn ，求满足 3TnSn 的 n 值an3-1.在数列 an 中，a1 1，当 n N* 时，an 1 an n，则 a100 的值为 ()A 5050B 5051C 4950 D 49513-2.a1 20，an 1 an 2n 1，n N* ，则 an _3-3a1 2， an 1nn a n 1，则通项 a _3-4.an 1an2n 1， a11， an =3-5

6、.a1 1,an 1ann,则a100_3-6.a 1，anan 11( n 2) ， a=1n1nn3-7.a1 a 2 a 3a nn 2 ，则 a3 a53-8.an 1an2 3n1， a13 ， 求 an只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除3-9. a11,a23, an 2an12 ，求 anan 1an3-10. a12, (n2)an 1(n1)an0( nN ) ，求 an 的通项公式 .3-11 a11,a24, an24an 13an (nN*).（ 1）求 a3 , a4 的值；（ 2）证明：数列 an 1 an 是等比数列；（ 3）求数列 an

7、的通项公式；3-12 a12 ， an 1ancn （ c 是常数），且 a1， a2， a3 成公比不为 1的等比数列（ I ）求 c 的值；（ II ）求 an 的通项公式3-13. a11,a22, anan 12(an 1an 2 )(n 3) ，3求数列 an的通项公式 .4-1 Sn2an 1， b12 ， bn 1 anbn ，求 an ， bn4-2 2Sn( n2) an 1（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设 Tn11L1，求 Tn a1 a3a2 a4an an 24-3. 已知 a11, Sn 14an 2（ 1）设 bnan 12an ，证明数列 bn 是等比

8、数列（ 2）求数列 an 的通项公式。编者：杜林生老东普宁流沙小男孩拿着一张假钱走进了玩具店，准备买一架玩具飞机。服务员阿姨说：小朋友，你的钱不是真的。小男孩反问道：阿姨，难道你的飞机是真的？只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除公式法 anSnSn1 累加累乘法参考答案例 1-1解： an 是以 a121为首项，以3 为公差的等2n2122an1 (n3差数列，n1)，22 a 的通项公式为31n。an(n)2n22例 1-2解：设数列an公差为 d (d0) a1, a3 , a9 成等比数列， a32a1 a9 ，即 (a12d) 2a1 (

9、a18d )d 2a1d d0 ， a1d S5a52 5a154 d(a14d)2 2由得： a13，d355 an3(n1)33 n555例 2-1解：当 n1时， a1S12123114 ，当 n2 时，(2n21)2anSnSn13n1)2(n3(n1) 14n1 .而 n1时，4 1 15 a1 ，an4( n1).4n1(n2)例 2-2解：当 n1时， a1S1213 ，当 n2 时，(2n1) (2n 11) 2n 1 .anSnSn 1而 n1时， 21 11 a1 ，an3(n1).2n 1( n2)例 2-3 解法 1：（全部转化为Sn ）当 n 2 时， anSnSn

10、1 ， an Sn12n (n 2) Sn 2Sn 1 2nSnSn 11 (n2) nn 122设 bnSn ，式为： bnbn 11 (n 2)2nS1a13当 n2 时， b122213，公差 d 1 bn 是首项 b1的等差数列。231 bnb1 (n 1)d2n 1 n1)2n 12 Sn(2n当 n2 时， anSnSn 1(2n3)2 n 2 an3( n1) Sn(2 n 1)2n 1(2n3) 2n2( n2)g例 2-3解法 2：（全部转化为 an ） Sn1 an2n (n 2) Sn an 12n 1 得： SnSn1 (an 12n 1 ) (an2n )(n 2)即

11、：2an an +1 2n (n2)an1an1 (n2)2n2n1设 bnan，式为：bn 1bn 1(n2)2n 1a2a13当 n2 时， b222213，公差 d1 的等差数列。 bn 是首项 b1231 bnb1(n 1)dn 1 n22 Sn (2 n 1)2n 1当 n2 时， an SnSn 1 (2n 3)2 n 2 an3(n1)(2n 3) 2n 2(n2)g Sn (2 n 1)2n 1例 3-1 解： anan 12n1an (an an 1) (an 1 an 2) (an 2 an 3)(a2 a1) a1( 2n1)(2n3)( 2n 5)5 3 1n( 2n1

12、1)n 22例 3-2 解：an (an an 1) (an 1 an 2) (an 2 an 3)(a2 a1) a12n 22n 32n 42 1 1 2n 1 .例 3-3解： an 1an1111n 2nn( n 1)nn 1( a2a1 ) (a3a2 ) (a4a3 )(anan 1 )(1 1) (1 1) (1 1)( 111 )2233 4nn ana111na111131，an12n22n例 3-4. 解： a2 ? a3 ? a4 ? ana1a2a3an 1123n1an1234na1n又 a12， an233n只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除

13、例 3-5 解：a11 ， Snn2 an ，当 n2 时， Sn 1(n 1) 2 an 1anSnSn 1n 2an(n 1)2 an 1ann 1an1n1ananan 1 an 2a3 a2a1an 1 an 2an 3a2a1n1 n 2 n32 1 121).n1nn143n(n1-1.an2n112n 11-2.解： an是以1 为首项1 为公差的等差数列，22故 11(n-1)1 1 nan= 2 。an222n1-3 解： an +2=an -1 =an-4 , an=an -6 , a20 a2=51-4 解：a1=0，a2=3 , a3 =3 , a4 =0a20a2 ，

14、 a20 =31-5 解：数列 an 1 是首项为2，公比为2 的等比数列 an1 2 2 n 1 an2n11-6.an n 21-7.a n2n1-8.an2n11-9 解：当 n1 时， a1S13a12a11，当 n2 时， anSnSn 1(3an2) (3an 12) .2an3an1an3an 12an是以3 为公比的等比数列，其首项为a11 ，2an1( 3)n 1.23a380 3(3a226)801-10. 解：（1） a427a172788027a1230 27a1230365 ，得 a15（ 2） a15 ， a23a18 23 ， a3 3a2 26 95若数列 an

15、t 为等差数列，3n则 2 a2 ta1 t a3 t ，9327化简得：4t6a29a1 a313845952 ，则 t1经检验， t1时， annt 为等差数列，223故 t121（ 3）由（ 2）可知，存在常数t，2使 ant 为等差数列，且公差da2 ta1 t1 ，3n93又 a1t3 ，则 ant 3(n1) n1 ，323n22即 an(n1) 3n1225( n 1)2-1 解： B 由 Sn4n 2 1 得 an( n2)8n 42-2 解： B S4 S3a4 ， a1 (3 4 1) a1 (3 3 1)54，224 3即 a1 (3 3 ) 54. 解得 a1 2. 2

16、2-3 解： Ban2n10，有 52k 108 知 k8，2-4 ：答： an3, n12n, n22-5答： an14, n12n1, n22-6答： an4n(n1)112-7 解： (1) 由 a1 S1 3( a1 1) 得 a1 2.111又 a1 a2 S2 3( a2 1) ，得 a2 4. 同理 a3 811(2) n2时， an Sn Sn 13( an1) 3( an 1 1) ，得 an .an 12111数列 an 是首项为 2，公比为 2的等比数列1a1 (1 q10 )341.即 an( ) n S101 q102422-8 解：由 a1S12a1 1a1 1当

17、n2 时，有anSn Sn 12(anan 1 ) 2 ( 1) n ,an2an 12 ( 1)n 1 ,an 12an 22 ( 1) n 2 ,a22a12.an2n 1a12n 1( 1)2n 2( 1)2L2 ( 1)n 1经验证 a11也满足上式， an2 2n 2( 1) n 1 32-9 答： an4, n134n 1, n 2只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除2-10. 解法 1：由 Sn 13 Sn 1得：2当 n2 时Sn3Sn 112 Sn 1 Sn3 ( SnSn 1 )即 an 13 an an3221（4 分）an2又 a11，得 S231

18、 a1a2 a23a12 a232（6 分）a12数列 an 是首项为1，公比为3的等比数列2( 3) n 1 （7 分） an233解法 2：由得（3分）Sn 12 Sn1Sn 122 ( Sn2)Sn1 23即Sn22数列 Sn2 是首项为 S123, 公比为3 的等比数列2 3 ( 3) n 13 ( 3) n 12 Sn即 Sn2（5分）当 n2 时，22 3 ( 3)n 1 2 3 (3)n 2 anSnSn 12 (3 )n 1（ 6 分）22( 3)n2显然当 n1 时上式也成立 an1（7分）32（ 2）数列 an 是首项为1，公比为的等比数列，2数列 1 是首项为1，公比为2

19、 的等比数列（8 分）an31 ( 2) n2 n（9 分）Tn331(2)133又 Sn2 ( 3 )n2不等式 3TnSn ，2即 91( 2)n 2 ( 3 )n2 （10 分）令 ( 2) n32m 并整理得 9m211m20 ，3解得 2m1（11分）9即22 n1n1,2,32 4162()代入都符合， 又()93，将3819且函数 y( 2 ) x 在 R 上为减函数，322故当 n4时都有 ()n（13 分）满足不等式 3Tn39Sn 的 n 值为： 1，2， 3（ 14 分）3-1 解 a100 ( a100 a99) ( a99 a98) ( a2 a1 ) a1 99 9

20、8 21 14951. 故选 D. 3-2 解： an 1 an2n1， a2 a1 1，a3 a2 3， anan 1 2n 3( n 2) an a1 13 2n 3. an20(2 n 2)( n1)n 2 2n 21.2当 n 1 时 a1 201221 21， an n2 2n 21.3-3 解： a1 2， an 1 ann 1 an an 1 ( n 1) 1，an 1 an 2 ( n 2) 1，an 2 an 3 ( n 3) 1， ， a3 a2 21，a2 a1 1 1，a1 211 将以上各式相加得：an(n 1) ( n 2) ( n 3) 2 1 n 1( n1)(

21、 n 1) 12 n1 ( n1) n n1 n( n1) 1223-4 解：由 an 1an2n1得 an 1an2n1 则an (an an 1) (an 1 an 2) L(a3 a2 ) (a2 a1) a12(n 1) 1 2(n 2) 1L(2 21)(2 11)12( n1)(n2)L21(n 1)12(n1)n( n1)1(n1)(n1)1n223-5.49513-6.an =n 12 1 。3-7 ：a3 a5 32 52612242163-8 解：由 an 1an23n1得 an 1an2 3n1an(anan 1) (an 1an 2 )L( a3a2 ) (a2a1 )

22、 a1(23n 11)(23n21)L(2321)(2 311)32(3n 13n 2L3231 )(n1)32 3(13n 1 )( n1)33n133n133nn13-9解： an2an12 ， a2a12an1an an1an是首项为2，公比为2 的等比数列 an 1 an 2n anan 12n 1， ， a2 a1 2 an2n1只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除3-10 解：由 ( n2)an 1( n1) an0得， an 1n1ann2ananan 1an 2a3a2 a1an 1 an 2an 3a2a1nnnn1n23224.1n143n13-11

23、（1）解： a34a23a113,a44a3 3a246（ 2）证明 Q an 24an 13an ,an 2an 13(an 1an)又 a11,a24，an 2an13 ，anan1则 an1an 是以 a2a13为首项， 3 为公比的等比数列（ 3）由（ 2） an 1an3n ，则 n2时， anan 13n 1an(anan 1 ) ( an 1an 2 )(a2a1 ) a1n1n23113n3n133132又 a11适合上式，故nN， an3n 123-12 解：（ I ） a12 ， a22c ， a323c ， a1 ， a2 ， a3 成等比数列， (2c)22(23c)

24、，解得 c0 或 c2 当 c0 时， a1a2a3 ，不符合题意，故c 2（ II ）当 n 2 时，由于a2a1c ， a3a22c ， anan1(n1)c ， ana112L(n 1)cn(n1)c 又 a12 ， c2 ，2故 an2 n(n 1) n2n 2( n 2，3，L ) 当 n1时，上式也成立 ann2n 2( n 1，2，L )3-13 解：an 1an 是以 1 为首项，公比为2的等比数列，2 )n3an1an(13an (an an 1)(an 1 an 2) (an 2 an 3)(a2 a1) a1(2)n 2(2 ) n 3(2 ) 2(2)11333383 (2 )n1 5534-1 解：由 a1S1