能控规范形和能观规范形PPT学习教案

1、会计学1 能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形 第1页/共51页 空间模型通过线性变换化成约旦 规范形,对于状态转移矩阵(t)求 解以及状态能控性和能观性分析 都是十分方便的。 第2页/共51页 基本方法: 能控规范形和能观规范形 的变换方法 第3页/共51页 第4页/共51页 则称该状态空间模型为能控规范能控规范I I形形。 1 2 1 0001 1000 010 0 00010 n n n a a ABa a 且系统矩阵A和输入矩阵B分别为 xy uxx C BA 第5页/共51页 1 0 . 0 -.- 1.00 . 0.10 11 B aaa A nn 则称该状态空间模型为能控

2、规范能控规范II形形。 第6页/共51页 第7页/共51页 即能控性矩阵的秩都为n。 故能控规范I形与II型必定是状态完全能控的。 1 1 10.0 01.0 I. 00.1 00.1 II. 01.* 1*.* n c n c QBABAB QBABAB 型： 型： 第8页/共51页 第9页/共51页 q定理定理4-24 对状态完全能控的线性定常连续系统(A,B)引入变换矩阵Tc1如下 Tc1=Qc=B AB An-1B 是非奇异的。 那么必存在一线性变换 ,能将上述状态方程变换成能控规范I形: 其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控规范I形所定义的。 uxxBA A B 1c x T x 第10

3、页/共51页 q证明证明 若取变换矩阵Tc1=Qc,则由 有 111 111 n ccc T TTBABABI 1 1 11 1 10.0 0.010.02,3,., c i ci TB TABin 第 列 因此,由系统线性变换和凯莱-哈密顿定理有 第11页/共51页 112 111 1 12 1 0 1 2 1 000 100 010 0001 n ccc n i cn i i n n n ATATTABA BA B TABA BaA B a a a a 1 1 100 c BTB 即证明了变换矩阵Tc1=Qc可将能控状态空间模型变换成能控规范I形。 第12页/共51页 q定理定理4-25

4、对状态完全能控的线性定常连续系统(A,B)引入变换矩阵Tc2如下 式中， T1=0 0 1B AB An-1B-1 那么必存在一线性变换 ,能将上述状态方程变换成如下能控规范II形: 1 1 1 2 1 1 c n T T A T T A uxxBA 2c x T x 其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控规范II形所定义的。 A B Qc的逆矩阵 的最后一行 第13页/共51页 q证明证明 证明的思路为证明的思路为: 先构造变换 矩阵P的逆为 行向量组成 利用变换关系 A=P-1AP,确定 P-1的行之间的关系 利用变换关 系B=P-1B,最 后确定T1 证明过程为证明过程为: 设变换矩阵Tc2的

5、逆阵为 1 21 2 . c n T T T T 第14页/共51页 则由 ，可得 代入友矩阵 ,则有 A T T T T T T aaa nnnn . -.- 1.00 . 0.10 2 1 2 1 11 即 AT AT AT T T n nn1 12 . * . 1 22cc ATAT 11 22cc ATTA 1 2c AT 和 第15页/共51页 1 11 2 1 1 . c n T T A T T A 第16页/共51页 下面讨论下面讨论T1的计算。的计算。由 1 11 2 1 1 . c n T B T AB BTB T AB 求转置,并代入向量 ,考虑到对SISO系统T1AiB为

6、标量,则有 . . 10.0 1 1 1 111 BAABBT BATABTBTB n n 即 T1=0 0 1B AB An-1B-1 B 第17页/共51页 q由上述计算过程,可很便利地将能控的状态空间模型转换为能控规范形。 q例例4-19 试求如下系统的能控规范I和II形: uxx 1 1 21 01 q解解 系统的能控性矩阵 31 11 ABBQc 第18页/共51页 (2) 求能控规范求能控规范I形。形。 根据定理4-24,系统变换矩阵可取为 1 11 11311 , 13112 ccc TQT 因此,经变换 后所得的能控规范I形的状态方程为 11 111 1 021 130 13

7、ccc c TATTB CT xxuxu yxx 1c x T x 第19页/共51页 (2) 求能控规范求能控规范II形。形。 计算变换矩阵计算变换矩阵 先求变换矩阵。根据定理4-25,有 T1=0 1B AB-1=1/2 1/2 则变换矩阵Tc2可取为 11 22 1 11221 , 02012 cc T TT T A 因此,经变换 后所得的能控规范形的状态方程为 11 222 2 010 231 01 ccc c TATTB CT xxuxu yxx 2c x T x 第20页/共51页 4.6.2 能观规范形 q对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统(A,B,C)的系统矩阵A和输

8、出矩阵C分别为 121 0100 0010 0001 1000 nnn A aaaa C 则称该状态空间模型为能观规范能观规范I I形形； 第21页/共51页 对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统(A,B,C)的系统矩阵A和输出矩阵C分别为 1 2 1 000 100 010 0001 0001 n n n a a Aa a C 则称该状态空间模型为能观规范能观规范IIII形形。 第22页/共51页 观规范I/II形,以及该线性变换的变换矩阵的构 造问题，对此,有如下定理。 第23页/共51页 q定理定理4-26 对状态完全能观的线性定常连续系统(A,B,C)引入变换矩阵To1满足 那

9、么线性变换 ,必能将状态空间模型(A,B,C)变换成能观规范I形: 其中系统矩阵 和输入矩阵 如能观规范I形所定义的。 AB C xxu yx A B 1o x T x 1 1 1 oo n C CA TQ CA 第24页/共51页 q定理定理4-27 对状态完全能观的线性定常连续系统(A,B,C)引入变换矩阵co2如下 To2=R1 AR1 An-1R1 式中， 那么必存在一线性变换 ,能将状态空间模型(A,B, C)变换成如下能观规范II形: 1 1 1 1 00 00 11 o n C CA RQ CA AB C xxu yx 2o x T x 其中系统矩阵 和输入矩阵 如能观规范II形

10、所定义的。 A B Qo的逆矩阵 的最后一列 第25页/共51页 xy xx 2/11 20 11 第26页/共51页 01- 1/2-1- CA C Qo 是非奇异矩阵, 即该系统为状态完全能观,因此可以将其变换成能观规范形。 第27页/共51页 1 11 -2-1011 , -20222 ooo TQT 因此,经变换后所得的能观规范形的状态方程为 1 11 1 01 23 10 oo o TAT CT xxx yxx 第28页/共51页 2 1- 1 0 01- 1/2-1- 1 0 11 1 CA C R 则变换矩阵To2可取为 211 13 24 o TRAR 因此,经变换后所得的能观

11、规范II形的状态方程为 1 22 2 02 13 01 oo o TAT CT xxx yxx 第29页/共51页 第30页/共51页 第31页/共51页 式中， AB C xxu yx ww w AB C xxu yx w Txx 第32页/共51页 1 11 11 22122 12 , 01 00 ,1,2, ;1,., 01 00 * * 000 00 01 ij ii wwwww llll l iiij i i B A BAA ATATBTB AAA B AAil jil B = 第 列 * ,1,2, 0* 0* i r l r il 列 第33页/共51页 第34页/共51页 c

12、nr 1 n c QBABAB 12 , r B b bb 111 111222 ,;,;, nnn rrr AAAAAA bbb bbbbbb 第35页/共51页 式中， 12 111 111222 12 ,;,;, l vvv lll l SAAAAAA SSS bbb bbbbbb 12 1 ,1,2,., i l v iiii vvvn SAAil bbb 111 111222 ,;,;, nnn rrr AAAAAA bbb bbbbbb 第36页/共51页 ,1 1 ,2 12 , ,1,2,., i i i i li v R R SRil R e e e , 1 , 12 1 ,

13、 ,1,2,., i i i i i v i v wi v l i v T A T TTil T A e e e 第37页/共51页 统的旺纳姆能控规范II形。 14220 06100 17111 xxu 第38页/共51页 2 204268 001175 1111128 c QBABA B 1,1 21 1111,2 1,3 246194234 1 017,73014 72 1112162 SAAS e bbbe e 第39页/共51页 1,3 1 1,3 2 1,3 16218-122 1 3546,-3-10 72 9270541831 ww TAT A e e e 11 01001/3

14、6 001 ,01/12 152413/4 wwwww ATATBTB 1,3 1 162 72 e 第40页/共51页 第41页/共51页 式中， AB C xxu yx LL L AB C xxu yx L Tx x 第42页/共51页 1 11121 11 221222 12 , 01 00 ,1,2, 01 00 * * 00 00 01 ij ii l l LLLLL llll l iiij i B AAA BAAA ATATBTB AAA B AAi jl B 第 0* ,1,2, 0* * i i r l r il 列 列 第43页/共51页 第44页/共51页 nr 1 n c

15、 QBABAB 12 , r B b bb 111 121212 ,;,;, nnn rrr AAAAAA b bbbbbbbb 第45页/共51页 式中， 12 111 111222 12 ,;,;, l lll l SAAAAAA SSS bbb bbbbbb 1212 (,., ll n 111 121212 ,;,;, nnn rrr AAAAAA b bbbbbbbb 1 ,1,2,., i iiii SAAil bbb 第46页/共51页 ,1 1 ,2 12 , ,1,2,., i i i i li R R SRil R e e e , 1 , 12 1 , ,1,2,., i i i i i i Li l i T A T TTil T A e e e 第47页/共51页 续系统的龙伯格能控规范II形。 14220 06100 17111 xxu