条件概率与独立性课件

1、 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十 人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二个人取得红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取 到红球的概率是多少？到红球的概率是多少？ 已知事件已知事件A A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B B发生的概率称为发生的概率称为 在在A A条件下条件下B B发生的条件概率，记作发生的条件概率，记作P(B|A)P(B|A) 若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到 红球的概率又是多少？红球的概率又是多少？ 一、条件概率一、

2、条件概率 例例1 1 设袋中设袋中有有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现从袋中任意个红球，现从袋中任意抽取两次，抽取两次， 每次取一每次取一个个，取后不放回，取后不放回， （1 1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; ; （2 2）求第一次取到红球的概率）求第一次取到红球的概率 （3 3）求两次均取到红球的概率）求两次均取到红球的概率 设设AA第一次取到红球第一次取到红球,B,B第二次取到红球第二次取到红球 1 (1)(|) 4 P B A 2 (2)( ) 5 P A 2 5 11 (3)() C10 P AB 显然，若事件显然，

3、若事件A A、B B是古典概型的样本空间中的两是古典概型的样本空间中的两 个事件，其中个事件，其中A A含有含有n nA A个样本点个样本点,AB,AB含有含有n nAB AB个样本 个样本 点，则点，则 A AB n n ABP)|( 称为事件称为事件A A发生的条件下事件发生的条件下事件B B发生的发生的条件概率条件概率. . 一般地，设一般地，设A A、B B是是 中的两个事件中的两个事件，则则 )( )( AP ABP n n n n A AB () (|) ( ) P AB P B A P A 条件概率的性质条件概率的性质 (1) 非负性非负性: P(B|A) 00； (2) 规范性

4、规范性: P( |A)1； (3) 可列可加性：可列可加性：设设B1，B2，, 是一列两两互不相是一列两两互不相 容的事件，即容的事件，即BiBj ，(i j), i , j1, 2, , 有有 P( B1 B2 )|A P(B1 |A ) P(B2 |A)+. 例例2 2 一盒中混有一盒中混有100100只新只新 , ,旧乒乓球，各有红、白旧乒乓球，各有红、白 两色，分两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得类如下表。从盒中随机取出一球，若取得 的是一只红球，试求该红球是新球的概率。的是一只红球，试求该红球是新球的概率。 红白 新4030 旧2010 设设A-A-从盒中随机取到一只红球

5、从盒中随机取到一只红球. . B- B-从盒中随机取到一只新球从盒中随机取到一只新球. . 60 A n40 AB n 3 2 )|( A AB n n ABP 二、乘法公式二、乘法公式 设设A A、B B ，P P（A A）0,0,则则 P(AB)P(AB)P(A)P(B|A). P(A)P(B|A). 称为事件称为事件A A、B B的概率的概率乘法公式乘法公式。 乘法公式乘法公式还可推广到三个事件的情形：还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式：一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An 1

6、). 例例3 3 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任取一个白球，每次从袋中任取一 只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球 颜色相同的球，若从盒中连续取球颜色相同的球，若从盒中连续取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2 次取得白球、第次取得白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。 解：设解：设A Ai i为第为第i i次取球时取到白球，则次取球时取到白球，则 )|()|()|()()(3 21 4 21 3 121 43 21 AAAAPAAAPAAPAPAAAAP 5 2 )( 1 AP 6

7、3 )|( 12 AAP 7 3 )|( 21 3AAAP 8 4 )|(3 21 4AAAAP P21.例例1.22 定义定义 事件组事件组A A1 1，A A2 2，A An n (n (n可为可为 ) )，称为，称为 样本空间样本空间 的一个的一个完备事件组（分割）完备事件组（分割），若满足：，若满足： 1 ( ); ( ), (), ,1,2,., . n i i ij iA ii A Aiji jn A1 A2 An B 定理定理 设设A1，, An是是 的一个分割，且的一个分割，且 P(Ai)0，(i1，n)， 则对任何事件则对任何事件B有有 1 ( )() ( |) n ii i

8、 P BP A P B A 称为称为全概率公式全概率公式。 例例4 某工厂有四条流水线生产同一种产品，某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的该四条流水线的产量分别占总产量的15%， 20%，30%和和35%，又这四条流水线的次品，又这四条流水线的次品 率依次为率依次为0.05，0.04，0.03及及0.02。现在从。现在从 出厂产品中任取一件，求抽到的产品是次品出厂产品中任取一件，求抽到的产品是次品 的概率。的概率。 i Ai “产品来自第 条流水线”,1,2,3,4i B “抽出的产品为次品” 4 1 ( )() ()0.0315 ii i P BP A P B

9、 A 解解： 若该厂规定，出了次品要追究有关流水线若该厂规定，出了次品要追究有关流水线 的经济责任。现在出厂产品中任取一件，的经济责任。现在出厂产品中任取一件， 结果为次品，但该件产品是哪一条流水线结果为次品，但该件产品是哪一条流水线 生产的标志已经脱落，问四条流水线各应生产的标志已经脱落，问四条流水线各应 承担多大责任？承担多大责任？ 例例5 某工厂有四条流水线生产同一种产品，某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的该四条流水线的产量分别占总产量的15%， 20%，30%和和35%，又这四条流水线的次品，又这四条流水线的次品 率依次为率依次为0.05，0.04，0

10、.03及及0.02。 定理定理 设设A A1 1，, A, An n是是 的一个的一个分割分割，且且P(AP(Ai i) 0) 0，(i (i1 1 ，n)n)，则对任何事件则对任何事件B B，有有 1 () (|) (|),(1,., ) () (|) jj jn ii i P A P B A P ABjn P A P B A 称为称为贝叶斯公式贝叶斯公式。 () i P A 称为先验概率(由以往数据分析得到的) () k P A B 称为后验概率（由得到的信息之后 再重新加以修正的概率） i Ai “产品来自第 条流水线”,1,2,3,4i B “抽出的产品为次品” 4 1 ( )() (

11、)0.0315 ii i P BP A P B A 12 34 ()23.8%,()25.4%, ()28.6%,()22.2% P A BP A B P A BP A B 例例5 四条流水线各应承担多大责任问题求解四条流水线各应承担多大责任问题求解 例例6 某研究机构研发了一种诊断早期肝癌的方法，某研究机构研发了一种诊断早期肝癌的方法， 数据显示，患者用此法被查出的概率为数据显示，患者用此法被查出的概率为0.95，非患，非患 者用此法被误诊的概率为者用此法被误诊的概率为0.1.假如人群中肝癌的患病假如人群中肝癌的患病 率为率为0.0005，现在若有一人被此法诊断为患有早期，现在若有一人被此法

12、诊断为患有早期 肝癌，求此人确实患有早期肝癌的概率肝癌，求此人确实患有早期肝癌的概率? 作业：作业：p66-67 17、18、19、21 1.条件概率条件概率 () () ( ) P AB P B A P A 全概率公式全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式 1122 ( )() ()() ()() () nn P AP AB P BP AB P BP AB P B 1 () () (),1,2, () () ii in jj j P A B P B P B Ain P A BP B ()() ( )P ABP B A P A 乘法定理乘法定理 说明说明1. 全概率公式的主要用处在于它可以将一全概率

13、公式的主要用处在于它可以将一 个复杂事件的概率计算问题个复杂事件的概率计算问题, ,分解为若干个简单分解为若干个简单 事件的概率计算问题事件的概率计算问题, ,最后应用概率的可加性求最后应用概率的可加性求 出最终结果出最终结果. . A 1 B 2 B 3 B 1 n B n B 说明说明2. 贝叶斯公式计算的是后验概率，利用观贝叶斯公式计算的是后验概率，利用观 测或实验的结果来修正之前的认识。测或实验的结果来修正之前的认识。 例例 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时第一次落下时 打破的概率为打破的概率为1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落第二

14、次落 下打破的概率为下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破若前两次落下未打破, 第三第三 次落下打破的概率为次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未试求透镜落下三次而未 打破的概率打破的概率. 解解 以以B B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”. 123, BA A A 123 ( )()P BP A A A 312211 () () ()P A A A P A A P A 971 (1)(1)(1) 10102 3 . 200 i A (i=1,2,3)ni,以表示事件 透 第 次落下打破 例数字通讯过程中，信源发射例数字通讯过程中，信源发射0、1

15、两种状态信号，其中发两种状态信号，其中发0 的概率为的概率为0.55，发，发1的概率为的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在。由于信道中存在干扰，在 发发0的时候，接收端分别以概率的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和和0.05接收为接收为0、1和和 “不清不清”。在发。在发1的时候，接收端分别以概率的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和和0.1 接收为接收为1、0和和“不清不清”。现接收端接收到一个现接收端接收到一个“1”的信号。的信号。 问发端发的是问发端发的是0的概率是多少的概率是多少? 解：设解：设A-发射端发射发射端发射0， B- 接收端接收到一个接收端接收到一个“1”的

16、信号的信号 )BA (P ) A ( P) A B(P)A(P)AB(P )A(P)AB(P 0.067 45. 085. 055. 005. 0 55. 005. 0 0 1 0 1 不 不清清 0 (0.55) (0.9) (0.05) (0.05) 1 (0.45) 1 0 1 0 不 不清清 (0.85) (0.05) (0.1) 袋中有袋中有a只白球，只白球，b只黑球，有放回的每次从袋只黑球，有放回的每次从袋 中取一球，问中取一球，问 第一次取得白球的条件下第二次取得白球的概率是第一次取得白球的条件下第二次取得白球的概率是 多少？多少？ 第第二二次取得白球的概率是多少？次取得白球的概

17、率是多少？ （一）两事件独立（一）两事件独立 定义定义 设设A A、B B是两事件，若是两事件，若 P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B) 则称事件则称事件A A与与B B相互相互独立独立。 事件事件 A A 与与 事件事件 B B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A A 的的 发生与事件发生与事件 B B 发生的概率无关发生的概率无关. 说明说明: 两事件相互独立两事件相互独立()( ) ( )P ABP A P B 两事件互斥两事件互斥AB A B 11 ( ),( ), 22 P AP B若若 AB ()( ) ( ).P ABP A P B 例如例如 由此可见由此可见

18、两事件相互独立两事件相互独立，但两事件不互斥但两事件不互斥. 两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立与两事件互斥的关系. 请同学们思考请同学们思考 二者之间没二者之间没 有必然联系有必然联系 则 A B 11 (),() 22 P AP B 若若 ()() ().P ABP A P B 故故 由此可见由此可见两事件互斥但不独立两事件互斥但不独立. ()0,P AB 1 ( ) ( ), 4 P A P B 则 定义定义 若三个事件若三个事件A A、B B、C C满足：满足： P(AB)=P(A)P(B),P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(AC)=P(A

19、)P(C), (1)(1)P(BC)=P(B)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件则称事件A A、B B、C C两两相互独立两两相互独立； 若在此基础上还满足：若在此基础上还满足： (4)P(ABC)(4)P(ABC)P(A)P(B)P(C),P(A)P(B)P(C), 则称事件则称事件A A、B B、C C相互独立相互独立。 三个事件相互独立三个事件相互独立三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立 一般地，设一般地，设A A1 1，A A2 2，A An n是是n n个事件，如果对任意个事件，如果对任意k k (1(1 k k n), n), 任意的任意的1 1 i i1 1 i

20、 i 2 2 i ik k n n，具有等式具有等式 P(A P(A i1 i1 A A i2 i2 A A ik ik) )P(A P(A i1i1)P(A)P(A i2 i2)P(A)P(A ik ik) ) 则则 称称n n个事件个事件A A1 1，A A2 2，A An n相互独立。相互独立。 n 个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两相互独立个事件两两相互独立 定理定理 设设A A、B B是两事件相互独立，是两事件相互独立，P(A) P(A) 0,0, 则则 P(B)P(B)P(B|A) P(B|A) 定理定理、以下四件事等价：、以下四件事等价： (1)(1)事件事件A A、B B

21、相互独立；相互独立；(2)(2)事件事件A A、B B相互独立；相互独立； (3)(3)事件事件A A、B B相互独立；相互独立；(4)(4)事件事件A A、B B相互独立。相互独立。 1.1.若若n n个事件个事件A A1 1，A A2 2，A An n相互独立相互独立，则其中任意，则其中任意k k 个事件也相互独立个事件也相互独立。 两个结论：两个结论： 2.2.若若n n个事件个事件A A1 1，A A2 2，A An n相互独立相互独立，则将，则将A1A1，A2A2， ，AnAn中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的 n n个事件仍然独立。个事

22、件仍然独立。 例例 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2, 若若10名机枪射击手同时向一架飞机射击名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞问击落飞 机的概率是多少机的概率是多少? 射击问题射击问题 例例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机飞机 被一人击中而被击落的概率为被一人击中而被击落的概率为0.2 ,被两人被两人 击中而被击落的概率为击中而被击落的概率为 0.6 , 若三人都击中若三人都击中 飞机必定被击落飞机必定被击落, 求飞机被击落的概

23、率求飞机被击落的概率. 伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 例例 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色其第一面染成红色， 第二面染成白色第二面染成白色 ， 第三面染成黑色第三面染成黑色，而第四面同而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以 A ， B，C 分别分别 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问问 A，B，C是否相互独立是否相互独立? 例例 在可靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用: 如图，如图，1、2、3、4、5表示继电器触点表示继电器触点,假设每个触点闭合的假设每个触点闭合的 概率为概率为p

24、,且各继电器接点闭合与否相互独立，求且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至至R是通是通 路的概率。路的概率。 设设A=R-L至至R为通路为通路,Ai=第第i个继电器通个继电器通 ,i=1,2,5 )()|( 5241 3AAAAPAAP 42 2pp )()|( 54213 AAAAPAAP )()()|( 54213 AAPAAPAAP 22 )2(pp 由全概率公式由全概率公式 )()|()()|()( 33 33APAAPAPAAPAP 5432 2522pppp 五、五、 贝努利概型贝努利概型 定义：有一随机试验，观察事件定义：有一随机试验，观察事件A发生与否，发生与否， ( )(01

25、),( )1P AppP Apq 将此试验独立地重复进行将此试验独立地重复进行n次，则称此模型次，则称此模型 为为n重贝努利概型。重贝努利概型。 求在求在n次独立试验中事件次独立试验中事件A发生发生k次的概率。次的概率。 k BnAk “ 次独立试验中事件 发生 次” 5n 假设 123 456 789 101112 1314 ( , , , , ) ,( , , , ,) ,( , , , ) , ( , , , ) ,( , , , ) ,( , , , , ) , ( , , ,) ,( , , ,) ,( , , ,) , ( , , , ,) ,( , , ) ,( , , ) ,

26、( , , , ) ,( , , ) ,( , , , ) A A A A AA A A A AA A A A A A A A A AA A A A AA A A A A A A A A AA A A A AA A A A A A A A A AA A A A AA A A A A A A A A AA A A A AA A A A A 15 161718 192021 222324 252627 2829 , ( , , , ) ,( , ,) ,( , ,) , ( , , ,) ,( , ,) ,( , , ,) , ( , , ,) ,( , ) ,( , , ) , ( , , ) ,( , , ) ,( ,) , ( , ,) ,( , ,) ,( A A A A AA A A A AA A A A A A A A A AA A A A AA A A A A A A A A AA A A A AA A A A A A A A A AA A A A AA A A A A A A A A A