圆锥曲线复习提纲-与重要题型.doc

1、圆锥曲线复习提纲一、知识归纳：名称椭圆双曲线图 象平面内到两定点F1, F2 的距离的和为常数（大于F1F2 ）的动点的轨迹叫椭平面内到两定点 F1, F2的距离的差的绝对值为常数（小于 F1F2）的动点的轨迹叫双曲线 .圆即 MF1MF22a即当 2 a 2 c 时，轨迹是椭圆，定 义当 2 a 2 c 时，轨迹是双曲线当 2 a 2 c 时 ， 轨 迹 是 一 条线 段a 2c 时，轨迹是两条射线F1F2当 2当 2a 2c 时，轨迹不存在当 2 a 2 c 时，轨迹不存在焦点在 x 轴上时：x2y 21x 2y2a 2b 2焦点在 x 轴上时：1标 准焦点在 y 轴上时： y2x2a2b

2、21方 程2222ab焦点在 y 轴上时： yx1注：根据分母的大小来判断焦点在哪一a 2b2坐标轴上常 数a, b, ca 2c2b 2 ， ab 0 ，c2a 2b 2 ， c a 0的 关a 最大， cb, cb, cbc 最大， a b, ab, ab系焦点在 x 轴上时： xy0渐 近ab线焦点在 y 轴上时： yx0ab1. 椭圆的性质：椭圆方程x 2y 21(a b0)a 2b2（ 1）范围：axa,byb ，椭圆落在 xa，yb 组成的矩形中。（ 2）对称性：图象关于 y 轴对称，图象关于 x 轴对称，图象关于原点对称。（ 3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个

3、顶点： A 1 ( a,0), A 2 (a,0)， B1 (0,b), B 2 (0,b) 。A1 A2 叫椭圆的长轴，长为 2a， B1 B2 叫椭圆的短轴，长为2b。（ 4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。ece1 ( b) 2。（ 0 e 1 ） e 可以刻画aa椭圆的扁平程度， e越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆 .(5) 点 P 是椭圆上任一点， F 是椭圆的一个焦点，则PF maxac ， PF min a c .(6)点 P 是椭圆上任一点，当点P 在短轴端点位置时，F1PF2 取最大值 .(7)椭圆的第二定义：当平面内点M 到一个定点 F (c,0)( c0) 的距离和它到一

4、条定直线a2ece 1) 时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦l ： xc的距离的比是常数(0a点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率 .2、点与椭圆位置关系点 P(x0 , y0 )x2y21(ab 0) 位 置 关 系 ：（ 1 ） 点 P( x0 , y0 ) 在 椭 圆 内与 椭 圆b2a2x02y0222221 （ 2）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上x0y01（ 3）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆22abab外x02y0 21a2b23、直线与椭圆位置关系（ 1）直线与椭圆的位置关系及判定方法位置关系公共点相交有两个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点0

5、00判定方法直线与椭圆方程首先应消去一个未知数得一元二次方程的根的判别式（2）弦长公式：设直线ykx b 交椭圆于, y )P (x , y ), P (x111222则2x21 21| PP | 1 k x1k2y1y2 (k 0)1 2，或|PP| 14、双曲线的几何性质：（ 1）顶点顶点： A1 (a,0), A2 a,0 ，特殊点： B1 (0, b), B20, b实轴： A1 A2 长为 2a， a 叫做实半轴长。虚轴：B1B2 长为 2b， b 叫做虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。（ 2）渐近线双曲线 x2y2 1的渐近线yb x （ xy0

6、 ）a2b2aab（ 3）离心率双曲线的焦距与实轴长的比e2cc ，叫做双曲线的离心率范围： e12aa（ 4）等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线的性质：a、渐近线方程为：yx ；b、渐近线互相垂直；c、离心率 e2 。（ 5）共渐近线的双曲线系：如果已知一双曲线的渐近线方程为yb x ，那么此双曲线方程写成 x2y2a。a2b 2（ 6）共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。（ 7） . 直线与双曲线位置关系同椭圆 . 特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.抛物线：

7、图象方22 px( p 0)y 22 px( p0)x22 py( p 0)x22 py( p 0)y程焦p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )(点2222准pxpypypx2222线抛物线的几何性质（1）顶点：抛物线 y 22 px p0 的顶点就是坐标原点。（2）离心率： 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表示。由抛物线的定义可知，e 1。（3） p 的几何意义：p 表示焦点到准线的距离. 2p 表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦） .（4）若点 M ( x0 , y0 ) 是抛物线 y22 px( p0) 上任意一点，则 MFx0p

8、 .2(5) 若 过 焦 点 的 直 线 交 抛 物 线 y22 px(p0) 于 A(x1, y1 ) 、 B( x2, y2 ) 两 点 ， 则 弦 长ABx1x2p二重点题型1. 圆锥曲线的定义 ：（1）已知定点 F1 ( 3,0), F2 (3,0)，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（ ）A PF1PF 24B PF1PF26C PF1PF2102212D PF1PF2（ 2）方程 (x 6)2y2(x 6)2y28表示的曲线是 _（3）已知点 Q(22 ,0) 及抛物线 yx 2上一动点 P（ x,y） ,则 y+|PQ|的最小值是 _42. 圆锥曲线的标准方程 （标

9、准方程是指中心 （顶点） 在原点， 坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）已知方程x2y 21表示椭圆，则 k 的取值范围为 _3 k 2ky 的最大值是 _， x2y2 的最小值是（2）若 x, yR ，且 3x22 y26 ，则 x（3）双曲线的离心率等于5 ，且与椭圆 x2y21有公共焦点， 则该双曲线的方程 _294（ 4）设中心在坐标原点O，焦点 F1、 F2在坐标轴上，离心率 e2 的双曲线C 过点P(4, 10) ，则 C 的方程为 _3. 圆锥曲线的几何性质 ：（1）若椭圆 x2y21的离心率 e10 ，则 m 的值是 _5m5（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的

10、面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为 _（3）双曲线的渐近线方程是 3x 2y0，则该双曲线的离心率等于_（4）双曲线 ax2by21的离心率为5 ，则 a : b =（5）设双曲线 x 2y 21（ a0,b0）中，离心率 e 2 ,2,则两条渐近线夹角 的取a 2b2值范围是 _（ 6）设 a 0,a R ，则抛物线 y 4ax2 的焦点坐标为 _4直线与圆锥曲线的位置关系 ：（1）若直线 y=kx+2 与双曲线x2-y 2 =6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是_x2y2（2）直线 y kx 1=0 与椭圆1恒有公共点，则 m 的取值范围是 _（3）过双曲线 x2y 25

11、m1的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若 AB 4，则这样的12直线有 _条（4）过点 (2,4) 作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有_（5）过点 (0,2) 与双曲线 x2y21有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_y2916（6）过双曲线 x21的右焦点作直线 l 交双曲线于 A 、B 两点，若 AB4，则满足条件的直线 l 有 _2_条2（7）对于抛物线C： y 24x ，我们称满足 y04x0 的点 M (x0 , y0 ) 在抛物线的内部，若点 M (x0 , y0 ) 在抛物线的内部，则直线l ： y0 y2( xx0 ) 与抛物线 C 的位置关系是 _（

12、8）过抛物线 y24x 的焦点 F 作一直线交抛物线于P、 Q 两点，若线段PF 与 FQ 的长分别是 p、 q ，则 11_pq（9）设双曲线 x2y 21的右焦点为 F ，右准线为 l ，设某直线 m 交其左支、右支和右169PFR 和准线分别于 P, Q, R ，则QFR 的大小关系为 _（10）求椭圆7 x24 y 228上的点到直线3x 2y 16 0的最短距离（ 11）直线 yax1 与双曲线 3x2y21交于 A 、 B 两点。当 a 为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？当a 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？5、焦半径（ 1）已知抛物线方程为 y2 8x ，若抛物线上

13、一点到 y 轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离等于 _ ；（ 2）若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4，则点 M 的坐标为 _（3）抛物线 y22x 上的两点 A 、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为_6、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。（1）短轴长为5 ，离心率 e2 的椭圆的两焦点为 F1 、 F2 ，过 F1 作直线交椭圆于A 、B3两点，则ABF 2 的周长为 _（ 2 ） 设 P 是 等 轴 双 曲 线 x 2y 2a 2 (a0) 右支上一点，F1、F2 是左右焦点，若P

14、F2F1 F20 ， |PF1|=6，则该双曲线的方程为x2y2（3）椭圆1的焦点为 F1、F2，点 P 为椭圆上的动点，当PF2 PF1 0 时，点 P 的94横坐标的取值范围是（ 4）双曲线的虚轴长为 4，离心率 e6 ，F1、F2 是它的左右焦点，若过F1 的直线与双曲2线的左支交于A、 B 两点，且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项，则AB _（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2 是左右焦点， P 为双曲线上一点， 且 F1 PF260 ，SPFF123 求该双曲线的标准方程127、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质、弦长公式 ：（1）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线

15、交抛物线于A （ x1，y1）， B（x2，y2）两点，若 x1+x 2=6，那么 |AB| 等于 _（2）过抛物线 y22x 焦点的直线交抛物线于A 、 B 两点，已知 |AB|=10 ，O 为坐标原点，则 ABC重心的横坐标为 _8、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。（1）如果椭圆x2y21弦被点 A （4， 2）平分，那么这条弦所在的直线方程是369（2）试确定m 的取值范围，使得椭圆x2y2y 4x m 对41上有不同的两点关于直线3称9动点轨迹方程：（1） ( 待定系数法 ) 线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M （ m， 0） (m 0) ，端

16、点 A 、 B 到 x 轴距离之积为 2m，以 x 轴为对称轴，过 A、 O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（ 2）（直接法） 已知动点 P 到定点 F(1,0) 和直线 x 3的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程（3）（定义法） 由动点 P 向圆 x2y 201作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB=60，则动点 P 的轨迹方程为（4）点 M与点 F(4,0)的距离比它到直线l：x 5 0的距离小于1，则点 M的轨迹方程是 _(5) 一动圆与两圆 M： x 2y21 和 N： x 2y 28x120 都外切，则动圆圆心的轨迹为（6）（参数法） 动点 P 是抛物线2y x1上

17、任一点，定点为A(0, 1) ,点MPA所成的2分比为 2，则 M的轨迹方程为 _（7）若点 (,y1)221上运动，则点 Q( x1 y1 , x1y1 ) 的轨迹方程是 _P x1在圆 xy（ 8）过抛物线 x2 4y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点，则弦 AB的中点 M的轨迹方程是 _参考答案：1. 圆锥曲线的定义 ：(1)C(2) 双曲线的左支(3)22. 圆锥曲线的标准方程(1) ( 3, 1)( 1,2)） (2)5, 2 (3)x2y21 (4) x2y262243. 圆锥曲线的几何性质 ：(1)3 或25(2) 22 (3)13 或13 ）； (4)4 或 1

18、(5) , (6)(0,1)32343216a4直线与圆锥曲线的位置关系：(1)(-15,-1) (2)1， 5）（ 5， +） (3) 3 (4) 2 (5)4453,3(6) 33(7)相离 (8)1 (9)等于 (10)813（ 11）3, 3； a1 ）135焦半径（1） 7（ 2） (2,4) （ 3） 26焦点三角形（ 1） 6 （ 2） x2y24 （3）(3 5 , 3 5 ) （ 4） 8 2 （ 5） x2y21554127、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质、弦长公式 ：（ 1）8 （2）38圆锥曲线的中点弦问题213213（ 1） x2 y80（ 2）,13139

19、动点轨迹方程：(1)y22x （ 2 ） y212( x4)(3x4) 或 y24x(0x3) (3) x2y24 (4)y216x(5) 双曲线的一支 (6)y6x21(7) y22x1(| x |1) (8) x22 y232离心率的求法椭圆的离心率0e1，双曲线的离心率e1，抛物线的离心率e1一、直接求出 a 、 c ，求解 e已知圆锥曲线的标准方程或a 、 c 易求时，可利用率心率公式ec来解决。a例 1 已知双曲线 x2y21的一条渐近线方程为y4 x ，则双曲线的离心率为（）a2b 2354C53AB4D332.双曲线焦点在x 轴 ,由渐近线方程可得b4c32425a,可得 ea3

20、,故选 A33二、构造 a 、 c 的齐次式，解出 e根据题设条件，借助a 、 b 、 c 之间的关系，构造a 、 c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于 e 的一元方程，从而解得离心率e 。例 2：已知 F1、F2 是双曲线x2y21（ a0, b0 ）的两焦点，以线段 F Fa2b 212 为边作正三角形 MF1F2 ，若边 MF1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.4 23B. 31C.31D. 312解： 如图，设 MF1 的中点为 P ，则 P 的横坐标为c，由焦半径公式2PF1expa ，cc2即 ca ，得c2 c20 ，解得a2aac13 （ 13 舍去），故选

21、Dea变式练习1：设双曲线 x2y21（ 0ab ）的半焦距为 c ，直线 L 过 a,0， 0,b两a2b2点.已知原点到直线的距离为3 c ，则双曲线的离心率为()4A.2B.3C.2D.233解： 由已知，直线L 的方程为 bxayab0，由点到直线的距离公式，得abb 23c ，又 c 2a 2b2, 4ab3c2,两边平方，得 16a2 c2a23c 4 ，a 24整理得 3416e2160，得 e24 或 e240 ab ，e，又3 e2c 2a2b21b22 ， e24 ， e2，故选 Aa 2a2a2变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为 F1 、 F2 ，F1MF 21200，则双曲线的离心率为（）A3B6C6D3233MF12MF 222解：在F1 MF 2 中， 由余弦定理，得 cosF1M