bvoAAA2.3.1平面向量基本定理

1、2021/3/111 2.3.1平面向量基本定理平面向量基本定理 2021/3/112 1.复习回顾复习回顾 (2) 共线向量的一个充要条件共线向量的一个充要条件: aa 0时时, 与与 同向同向; aaaa =0时时, 00a (1) 实数与向量的积实数与向量的积 :a 定理：定理：向量向量 与非零向量与非零向量 共线的充要条共线的充要条 件是有且仅有一个实数件是有且仅有一个实数 ，使，使 .ba a b 2021/3/113 a b （3）向量的加法： O B C A a b O A a B b ba ba 平行四边形法则平行四边形法则 三角形法则三角形法则 2021/3/114 例例1

2、已知向量已知向量 (图图 (1)，求作向量，求作向量 作法作法: 1 2.5 ,OAe 作作 2 3.OBe OC 于于是是就就是是所所求求作作的的向向量量. . 1.如图如图(2)，在平面内任取一点，在平面内任取一点O， 12 e e 、 122.53.ee (1) 1 e 2 e O 1 5 . 2 e A C B 2 3e (2) 2. 作平行四边形作平行四边形OACB. 2021/3/115 12 12 .aee C OA 11e B 2 2 e 12 12 aee 1 e 2 e 推广：推广：已知已知 是同一平面内的两个是同一平面内的两个 不共线的向量，则对于给定的两个实数不共线的向

3、量，则对于给定的两个实数 1、 2，都可以在这个平面内作出唯一的一个，都可以在这个平面内作出唯一的一个 向量向量 满足满足a 12 e e 、 2021/3/116 思考思考：设设 是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共 线向量，那么对该平面内的任何一个向线向量，那么对该平面内的任何一个向 量量 ，是否存在唯一一对实数，是否存在唯一一对实数 1、 2， 使得使得 a 1 e 2 e a 12 e e 、 12 12 ?aee 2021/3/117 1 e 2 e a O A N M B C a 1, OAe 作作 2, OBe ,O在在平平面面内内任任取取一一点点.OCa ；交于的直线，

4、与直线作平行于直线过点MOAOBC COAOB过过点点 作作平平行行于于直直线线的的直直线线，与与直直线线交交于于N N . . ，使得和则有且只有实数 21 , 11e OM 22. ONe OCOMON 由由于于， 1 122. aee 所所以以 2021/3/118 如果如果 是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共 线向量，那么对这一平面内的任一向线向量，那么对这一平面内的任一向 量量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 1、 2，使，使 2. 平面向量的基本定理：平面向量的基本定理： 注意：注意： (1) 不共线的向量不共线的向量 叫做表示叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底

5、这一平面内所有向量的一组基底. a 12 e e 、 12 12 .aee 12 e e 、 (2) 实数实数 1， 2的确定是由平面几何的确定是由平面几何 作图得到的，同时也应用了上节课的共作图得到的，同时也应用了上节课的共 线向量基本定理线向量基本定理 (3) 对该定理重在应用对该定理重在应用 2021/3/119 ）平面向量基本定理的）平面向量基本定理的拓展拓展 探究探究1： 一组平面向量的基底有多少对？一组平面向量的基底有多少对？无数对无数对 探究探究2： 若基底选择不同，则表示同一向量的若基底选择不同，则表示同一向量的 实数实数, 2 , 1 是否相同？是否相同？可以相同可以相同,也

6、可不同也可不同 O O F F C C E E a A A E E B B N N OEOFOC OEOAOC 2 ONOBOC 2 2021/3/1110 解：解：在在 ABCD中，中， ,ACABADab ,DBABADab 1 2 MAAC 1 () 2 ab 11 , 22 ab 1 2 MBDB 1 () 2 ab 11 , 22 ab 1 2 MCAC 11 , 22 ab 1 2 MDMBDB 11 . 22 ab M A C B D a b ,ABa ADb 且且 例例2 如图，如图， ABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M, , a b 用用表表示示, .MA M

7、B MCMD 和和 2021/3/1111 例例3 如图，如图， ABCD中，中，E，F分别为分别为BC，DC 的中点的中点, ,.ADx ABy 1 /,|, 2 DFAB DFAB DFAB 与与同同向向, , 1 . 2 DFy ,ADDFAF 又又 1 , 2 xyn 1 . 2 xym 同同理理可可得得 1 2 , 1 2 xyn xym 4242 :, 3333 xnm ymn 得得 4242 ,. 3333 ADnm ABmn 即即 ,AEm AFn 且且,.AB AD 求求 A C B D m n F E 解：解：设设 解方程组解方程组 2021/3/1112 4.,OA OB

8、 例例 如如图图不不共共线线(),APtAB tR ,.OA OBOP 用用表表示示 :,APtAB 解解 OPOAAP OAtAB ()(1).OAt OBOAt OAtOB O A B P (1).OPt OAtOB ()OPOAt OBOA APtAB 另解另解:可以试着将可以试着将,OA OBOP 用用， 表表示示出出来来. .APtAB 2021/3/1113 说明：说明：(1) 本题是个重要题型：设本题是个重要题型：设O为为 平面上任一点，则：平面上任一点，则： A、P、B三点共线三点共线 (1).OPt OAtOB 或令或令 = 1 t， = t，则，则 A、P、B三点共线三点共

9、线 (其中其中 + = 1) .OPOAOB (2) 当当t = 时，时， 常称常称 为为OAB的中线公式的中线公式(向量式向量式) 1 2 1 () 2 OPOAOB 2021/3/1114 1当平面内取定一组基底当平面内取定一组基底 后，后， 任一向量任一向量 都被都被 唯一确定，其含义唯一确定，其含义 是存在唯一数对是存在唯一数对( 1， 2)，使，使 1 122 .aee a 归纳小结归纳小结 12 e e 、 12 e e 、 2三点三点A、B、C共线共线 (其中其中 1， 2 R且且 1 + 2 = 1) ABkAC 12 .OBOAOC 2021/3/1115 1122 12 1

10、21122 1122 12 12112212 12 00 Aaaee Bee Caaee Dee e e .对平面中的任一向量 ，使 的实数、有无数对 .对实数、，不一定在平面内 .空间任一向量 可以表示为， 这里、是实数 .若实数、使则 1.如果 、 是平面内所有向量的一组基底， 那么（ ） , D 巩固练习：巩固练习： 2021/3/1116 2如图，如图，ABC中，点中，点M是是BC的的 中点，点中点，点N在边在边AC上，且上，且AN = 2NC， AM与与BN相交于点相交于点P，求，求AP ：PM的值的值 巩固练习：巩固练习： 4 : 1 2021/3/1117 1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内 的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底 不同，表示也不同不同，表示也不同. 2.对于两个向量对于两个向量a，b，将它们用同一组基底表示，我们可，将它们用同一组基底表示，我们可 通过分析这两个表示式的关系，来反映通过分析这两个表示式的关系，来反映a与与b的关系的关系. 3.利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形利用已知向量表示未知向量