八年级几何辅助线专题训练

1、常见的辅助线的作法1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高, 利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角 形3. 角平分线在三种添辅助线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的 两边作垂线，（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角 的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离 角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上 的某点作边线，构造一对全等三角形。4. 垂直平分线联结线段两端:在垂直平分线上的某点向该线段的两 个端点作连线，出一对全等三角形。5. 用“截长法”或“补短法”:遇

2、到有二条线段长之和等于第三条线 段的长，6. 图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边 三角形.7. 角度数为30度、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为 30 度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。 从而为证明全等三角形创 造边、角之间的相等条件。8. 面积方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原 三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、等腰三角形“三线合一”法1如图，已知 ABC 中，/ A = 90 AB =

3、 AC , BE 平分/ ABC , CE丄BD 于 E, 求证：CE二.BD.中考连接:LAfNA. 3B . 4C. 5D. 6（2014?扬州，第7题，3分）如图，已知/ AOB=60点P在边OA 上,OP=12，点 M，N 在边 OB 上, PM = PN，若 MN=2，贝U OM=()二、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图则中线AD的取值范围是.ABC中, AB=5 AC=3例2、如图， ABC中, E、F分别在AB AC上, DELDF, D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.B-# -B-# -例3、如图， ABC中, BD=DC=ACE是DC的中点，求证

4、：AD平分/ BAE.B-# -DECB-# -中考连接:（09崇文）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt .：ABc和等腰RtCE ,BAD - CAE =90 ,连接DE, M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的关系.（1）如图 当ABC为直角三角形时， AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是 ;（2）将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转二（0八90）后，如图三、借助角平分线造全等1、如图，已知在厶ABC中，/ B=60,ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证：OE=ODA2、如图，已知点 C是/MAN的平分线上一点，CE丄AB于E, B、D分别在1

5、AM、AN上，且 AE二(AD+AB ).问：/ 1和/2有何关系？中考连接:(2012年北京)如图，0P是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以 0P所 在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法， 解答下列问题：(1) 如图，在 ABC中，/ ACB是直角，/ B=60, AD、CE分别是/ BAC、/ BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与 FD之间的数量关系；(2) 如图，在厶ABC中，如果/ ACB不是直角，而中的其它条件不变，B-5 -四，垂直平分线联结线段两端1.( 2014?广西贺州，第17题3分)如图，等腰/ DBC=15 , AB的垂

6、直平分线 MN交AC于点D ,则/A的度数是2、如图， ABC中, AD平分/ BACF. (1)说明BE=CF勺理由；(2)DGL BC且平分 BC DEL AB于 E, DF丄 AC 如果AB=a , AC=），求AE BE的长.F中考连接:(2014年广东汕尾，第19题7分)如图，在 RtAABC中，/ B=90分别以点A、C为圆 心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、2E，连接AE.(1)求/ ADE ;(直接写出结果)补充：尺规作图过直线外一点做已知直线的垂线五、截长补短1、如图，也ABC 中，AB=2AC AD平分 N BAC，且 AD

7、=BD 求证：CDL AC-7 -# -2、如图，AD/ BC EA,EB分别平分/ DAB,/ CBA CD过点 E,求证;AB = AD+BC n3、如图，已知在 ZABC 内，BAC =6 ， C =40，P，Q分别在BC，CA上, ABC的角平分线。求证:4、如图,求证:ABQ+AQ=AB+BP在四边形 ABCD中, BO BA,AD= CD BD平分区 ABC，AC -180-# -5. 如图，已知正方形 ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分/ DAE .求证: AE BE = DF .6. 如图，ABC 中，/ ABC=60 , AD、CE 分别平分/ BAC，/ ACB，判

8、断 AC 的长与AE+CD的大小关系并证明.7. 如图，RtAABC 中，/ ACB=90，CD丄AB 于 D，AF 平分/ CAB 交 CD 于 E, 交CB于F,且EG / AB交CB于G,判断CF与GB的大小关系并证明。六、综合1、正方形 ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=E,求/ EAF-9 -# -2、如图，厶ABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上，且BM二CN , AM 与BN交于Q点。求.AQN的度数。-# -# -3、已知四边形 ABCD 中，AB_AD，BC _ CD，AB 二 BC，Z ABC =120， Z MBN =60，Z MBN绕B

9、点旋转，它的两边分别交 AD，DC （或它们的延长 线）于E，F .当Z MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF = EF .当Z MBN绕B点旋转到AE =CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结AE，CF，EF又有怎样的论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 数量关系？请写出你的猜想，不需证明.（图1）（图2）（图3）4、D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DML DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。5、在等边 ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点 M、N , D为L ABC外一点，且 MDN =60 , BDC =120 ,BD=DC.探究：当M、

10、N分别在直线 AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及.AMN的周长Q与等边 ABC-# -的周长L的关系.(I)如图1,当点M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时,BM、NC、MN-# -之间的数量关系是;此时Q =;(II) 如图2,点M、N边AB、AC上，且当DM = DN时，猜想(I)问的 两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若 AN= x，贝U Q= (用 x、L 表示).中考连接：(2014?抚顺 第25题(12 分)已知：RtAA BC 也 RtAABC，/ A C B= / ACB=90，/

11、A BC =Z ABC=60 , RtAA BC 可绕点B旋转，设旋转过程中直线 CC 和AA 相交 于点D.(1) 如图1所示，当点C在AB边上时，判断线段 AD和线段A D之间的 数量关系，并证明你的结论；(2) 将RtAA BC由图1的位置旋转到图2的位置时，(1)中的结论是否成 立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3) 将RtA A BC 由图1的位置按顺时针方向旋转 口角(0WaW)2当A、 C、A三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数.图2-11 -13 -参考答案与提示、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5,AC=3,则中线AD

12、的取值范围是 解：延长 AD至E使AE= 2AD,连BE,由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD 的取值范围是 1AD4例2、如图， ABC中，E、F分别在 AB AC上, DE丄DF, D是中点，试比较 BE+CF与 EF的大小.解：（倍长中线，等腰三角形“三线合一”法 ）延长FD至G使FG= 2EF,连BG EE显然BG= FC,在厶EFG中，注意到DE丄DF,由等腰三角形的三线合一知EG= EF在厶BEG中，由三角形性质知EGBG+BE故：EFAC, / 1 = Z 2, P为AD上任意一点，求证；AB-AC PB-PCC-# -# -解：（补短法）延长 AC至F,使AF=

13、 AB,连PD ABPA AFP（ SAS故 BP= PF由三角形性质知PB- PC= PF PC CF = AF- AC= AB- AC应用:如閹，在忧1!形AHCD中上1川此、点虑是M上一个动点若乙H -砒.M =眈，1LDKC =60判断40 n J胆的关杲井证團你的结论解:分析：此题连接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等 边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有 BC =AD AE连接AC,过E作EF /BC并AC于F点则可证 AEF为等边三角形即 AE =EF , /AEF AFE =60:.CFE =120又 AD/BC , . B =60

14、 . BAD =120又/ /DEC =60 ZAED ZFEC在ADE与FCE中EAD =/CFE , AE =EF , AED =/FEC ADE 三 FCE AD =FC BC 二 AD AE四、借助角平分线造全等1、如图，已知在厶 ABC中，/ B=60, ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O,求证：OE=ODDC+AE =AC证明（角平分线在三种添辅助线,计算数值法）/B=60度, 则/ BAC+ / BCA=120 度；AD,CE均为角平分线,贝U/ OAC+ / OCA=60 度=/ AOE= / COD;/ AOC=120 度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又 AO

15、=AO; / OAE= / OAF.则/ OAE A OAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/ AOF= / AOE=60 度.贝U/ COF= / AOC- / AOF=60 度=/ COD; 又 CO=CO; / OCD= / OCF.故/ OCD 也 A OCF(SAS), OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三 角形的性质解决。2、如图， ABC中，AD平分/BAC DGL BC且平分 BC DEL AB于 E, DF丄 AC于 F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果 AB=a

16、 , AC=b，求AE、BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD, DCDG垂直平分 BC 故BD= DC由于 AD平分/ BAC DEL AB于E, DFL AC于F,故有ED= DF故 RT DBE RT DFC ( HL)故有BE= CFoAB+AC= 2AEAE=( a+b) /2BE=(a-b)/2F应用:1、如图，OP是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1) 如图，在厶ABC中，/ ACB是直角，/ B=60 , AD、CE分别是/ BAC、/ BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出 FE与FD

17、之间的数量关系；(2) 如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而 中的其它条件不变，请问， 你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；OP所在直线为对称轴的全解：(1) FE与FD之间的数量关系为 FE二FD(2)答：(1)中的结论FE二FD仍然成立。证法一：如图1,在AC上截取AG =AE，连结FG . 1/2 , AF为公共边,-AEF 三.AGF乙AFE /AFG , FE = FG . B=60 , AD、CE 分别是.BAC、. BCA的平分线 /2 E3 =60/ AFE ZCFD EAFG =60 . CFG =60乙3 Z4及FC为公共边 CFG = .：CFD

18、FG 二 FD FE 二 FD证法二：如图2,过点F分别作FG_AB于点G, FH . B=60，AD、CE 分别是.BAC、. BCA的平分线 可得Z23=60 , F是.ABC的内心 /GEF =601, FH =FG又T EHDF /B .1 . GEF HDF可证：EGF 二 DHF FE 二 FD图1_ BC于点H图2五、旋转例1正方形 ABCD中, E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/ EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG贝U GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE , AF=AG ,BCE所以三角形AEF全等于AE

19、G所以/ EAF= / GAE= / BAE+ / GAB= / BAE+ / DAF 又/ EAF+ / BAE+ / DAF=90所以/ EAF=45度例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DML DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1) 当.MDN绕点D转动时，求证 DE=DF(2)若AB=2,求四边形 DECF的面积。D为等腰 Rt ABC斜边AB的中点，故有 CDL AB CD= DACD平分 / BCA = 90,/ ECD = Z DCA = 45由于 DML DN 有/ EDN= 90 由于 CD丄AB,有/ CD = 90从而/ CDE=/ FDA =故有 CD

20、EA ADF( ASA故有DE=DF(2)abc=2, S 四 DEC= S AC=1例3如图，ABC是边长为3的等边三角形， BDC是等腰三角形，且 BDC =120,以D为顶点做一个600角，使其两边分别交 AB于点M交AC于点N,连接MN则 AMN的周长为-23 -解：（图形补全法，“截长法”或“补短法”，计算数值法）AC的延长线与BD的延长线交 于点F,在线段 CF上取点E,使CE= BM ABC为等边三角形， BCD为等腰三角形，且/BDC=120,/ MBD= / MBC+ / DBC=60 +30 =90 ,/ DCE=180 -Z ACD=180 -Z ABD=90 ,又 BM

21、=CE , BD=CD , CDE BDM , Z CDE= Z BDM , DE=DM ,Z NDE= Z NDC+ Z CDE= Z NDC+ Z BDM= Z BDC- Z MDN=120 -60 =60 ,在 DMN和厶DEN中，DM=DEZ MDN= Z EDN=60DN=DN DMN DEN , MN=NE在 DMA和厶DEF中,DM=DEZ MDA=60 - Z MDB=60 - Z CDEZ EDF(Z CDE= Z BDM)Z DAM= Z DFE=30 DMN DEN (AAS), MA=FEAMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6-25 -应用:1、

22、已知四边形 ABCD 中，AB_ AD, BC _ CD ,AB 二 BC，Z ABC =120，Z MBN =60“，Z MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD, DC （或它们的延长线）于 E，F .当Z MBN绕B点旋转到 AE二CF时（如图当Z MBN绕B点旋转到AE =CF时，在图 立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE， 你的猜想，不需证明.AE CF 二 EF 1），易证3这两种情况下，上述结论是否成EF又有怎样的数量关系？请写出2和图CF，（图3）（图1）（图2）AB _ AD，BC _CD解: (1 ) ABE iCBF (SAS); ABECBF， BE=BF ABC

23、=120， MBN =60 /ABE MCBF =30， BEF为等边三角形1 BE 二 EF 二 BF，CF =AE BE2，AB =BC，AE =CF AE CF 二 BE =EF（2）图2成立，图3不成立。证明图2，延长DC至点K，使CK二AE，连接BK则 BAE 二 BCK BE =BK，匕ABE ZKBCAMBDK CN-27 - . FBE =60 , . ABC =120 . FBC . ABE =60 FBC /KBC =60 / KBF FBE =60 KBF 三. ：EBF- KF =EF KC CF =EF即 AE CF =EF图3不成立，AE、CF、EF的关系是 AE

24、-CF =EF2、(西城09年一模)已知:PA= 2 ,PB=4,以AB为一边作正方形 ABCD使P、D两点落在 直线AB的两侧.(1) 如图，当/ APB=45时，求AB及PD的长；(2) 当/ APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应/ APB的大小.分析：(1)作辅助线，过点A作AE_PB于点E,在Rt PAE 中，已知.APE , AP的值，根据三角函数可将 AE, PE的值求 出，由PB的值，可求BE的值，在Rt ABE中，根据勾股定理 可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将 PAD 绕点 A顺时针旋转90得到.PAB，可得PAD = .)PAB，求PD长即

25、为求P B的长，在Rt APP中，可将PP 的值求出，在 Rt PP B中，根据勾股定理 可将P B的值求出；解法二：过点 P作AB的平行线，与DA的延长线交于 F,交PB于G, 在Rt AEG中，可求出 AG, EG的长，进而可知 PG的值，在 Rt PFG中，可求出 PF，在 Rt PDF中，根据勾股定理可将 PD的值求出；(2)将 PAD绕点A顺时针旋转90，得到 P AB , PD的最大值即为P B的最大值， 故当P P、B三点共线时，P B取得最大值，根据 PB二PPPB可求P B的最大值，此时 /APB =180 EAPP 135 .解：(1)如图，作AE_PB于点E Rt PAE

26、 中， APB=45 , PA =$2- AE 二 PE 二2 PB=4 BE=PB - PE =3在 Rt ABE 中，乙AEB =90 AB = . AE2 BE2 = 10解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将 PAD绕点A顺时针旋转90得到 iP AB ,，可得 PAD 三心 PAB, PD=PB, PA = PA；PAP ： =90， /APP J45， /P PB=90 PP=2, PA=.；2F，设DA的延长线交PB解法二：如图，过点于G.P作AB的平行线，与 DA的延长线交于在Rt AEG中,可得AGAEAE,10cos._EAGcos._ABE3在Rt PFG中,可

27、得PF=PG cos._FPG = PG cosABE1,EG , PG = PE 3,10-5在Rt PDF中,可得PD =PF2 AD AG FG. JO 2153C15AB- EG=l,fg= 10(2)如图所示，将PAD绕点A顺时针旋转90 ,得到.P AB , 的最大值PfePD的最大值，即为PB/ PPB 中,P B PP PB , PP.2PA=2 , PB=4且P、D两点落在直线 AB的两侧B三点共线时，P B取得最大值(如图)C当 P、P、 PD =P B 二 PP 2 PB2 = . 22 42 =2、5 ；此时P B =PP ： PB =6，即P B的最大值为6此时 AP

28、B=180 MAPP = 353、在等边 ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点 M、N , D为L ABC外一点，且图3时，BM、NC、MN之间的数量图1(I)如图1,当点M、BM、NC、MN之间的数量关系及萃阜关系疋ZMDN =60，/BDC =120 ,BD=DC.探究：当 M、N分别在直线 AB、AC上移动时,图2N 边 AB、AC 上，且 DM=DN此时Q -L(II )如图2,点M、N边AB、AC上，且当DM =DN时，猜想(I)问的两个结论还 成立吗？写出你的猜想并加以证明；(III )如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN= X，贝U Q= (用x、L表示)

29、.分析：(1 )如果 DM 二 DN ,. DMN = DNM ,因为 BD 二 DC ,那么.DBC = DCB =30，也就有 MBD = NCD =60 30 =90，直角三角形 MBD、NCD 中，因为 BD二DC , DM二DN，根据 HL定理，两三角形全等。那么 BM = NC ,ZBMD /DNC =60，三角形 NCD 中，/NDC =30 , DN =2NC，在三角形 DNM 中，DM二DN , ZMDN =60 ,因此三角形 DMN 是个等边三角形，因此 MN =DN =2NC =NC BM，三角形 AMN 的周长 Q =AM AN MNAM AN MB NC =AB AC

30、 =2AB，三角形 ABC 的周长 L =3AB，因此 Q : L =2: 3 .(2)如果DM -DN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E,使CE =BM，连接 DE . (1)中我们已经得出， MBD = NCD =90，那么三角形 MBD 和ECD中，有了一组直角， MB =CE , BD =DC，因此两三角形全等，那么 DM二DE ,BDM 二 CDE , EDN = BDC - MDN =60 .三角形 MDN 和 EDN 中，有 DM = DE ,EDN = MDN =60，有一条公共边，因此两三角形全等，MN二NE，至此我们把 BM转换成了 CE, 把 MN转换成了 NE,因为NE二CN C