圆锥曲线存在性问题

1、圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识 1在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。 再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成 立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1 ）点：坐标Xo，y（2 ）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3 ）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。（2 ）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在

2、于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。（3）核心变量的求法：直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解间接法：若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变 量的方程（组），运用方程思想求解。二、典型例题：2 2例1 :已知椭圆过右焦点F的直线l与C相交C:笃，每=1 a b 0的离心率为a b于A,B两点，当丨的斜率为1时，坐标原点 0到丨的距离为（1 ）求a, b的值T T T（2） C上是否存在点P，使得当I绕F旋转到某一位置时，有 OP = 0A 0B成立？若存在，求出所有的 P的坐标和I的方程，若

3、不存在，说明理由解:(1)则a = 3c,b h：$2c，依题意可得：F c,0，当丨的斜率为1时I : y =x_c= x_y_c=0解得：c=1椭圆方程为:2 2x y132(2)设 P xo,y。,A xi,yi ,B X2,y2当I斜率存在时，设Op.Oa Obj X0= X1+y。= yX2联立直线与椭圆方程:y =k x-12 22x 3y -62 2 2消去y可得：2x 3k x-16，整理可得:2 2 23k 2 x -6k x23k 6=0x-iX2 =6k23k22y1 y.kx1x.2-2k =3k224k23k22二卩二匚-斗 因为P在椭圆上.3k2+2 3k2 七:6

4、k2.3k2 +22)24k-64 2 2 2 2 2 2 2.72k48k =6 3k 2= 24k 3k 2 = 6 3k 2.24k2 =6 3k22 = k =2当 k - - 2 时，I : yx1，P当 k = 2 时，I : y = 2 x -1，P，则P 2,0不在椭圆上2 2(2药 当斜率不存在时，可知I :x=1 ， a|1-l 3丿二综上所述：iMx1 ），P 2-2 :或心一皿-1），P / 22 2例2：过椭圆笃爲=1 a b 0的右焦点F2的直线交椭圆于 代B两点，Fi为其左a b焦点，已知AFiB的周长为8,椭圆的离心率为:恒有两个交点 P,Q，且(1)求椭圆丨的

5、方程(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆OP _OQ ?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由 解：(1 )由AF1B的周长可得：4a =8= a =2=a2 _c2 12椭圆行宀1(2)假设满足条件的圆为x2y2二r2，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内.0 ： r ： 1若直线PQ斜率存在，设PQ : y =kx m，P 为， ,Q “妆(PQ与圆相切 dOJk2 1=r .二 m2 = r2 k2 1OP _0Q 二 OP OQ =0即 x1x2%y2 = 0联立方程:y 二 kx m x2 4y2 /2 2 21 4k x 8kmx 4m -4=04

6、m2 - 48kmx1 x _4k2 1，x1x 4k2 1* * 2 2%y2 二 心 m kx2 m 二 k x1x2 km x1 x2m22X|X2 %y2 = k 1 X|X2 km x1 x2 m吩k=1 a b 0经过点0八3，离心率为一，左，右焦点分别为 F -c,0 和 F2 c,0(1)求椭圆C的方程(2)设椭圆C与x轴负半轴交点为 A，过点M -4,0作斜率为k k = 0的直线丨，交椭圆C于B,D两点(B在M ,D之间)，N为BD中点，并设直线 ON的斜率为匕 证明：k k1为定值 是否存在实数k，使得RN _ AD ?如果存在，求直线 丨的方程；如果不存在，请说明理由解

7、：(1)依题意可知：可得：a: b: c = 2:、3:1a 2 1 km 一学4k214k2 12 25m -4k -44k212 2.5m -4k -4=0对任意的m, k均成立将m2二r2 k21代入可得:5r2 k21 -4 k21=02 2.5r -4 k 1 i； = 0224.存在符合条件的圆，其方程为：x y ：5当PQ斜率不存在时，可知切线 PQ为x =255卄2厂(245 2苗S45 2展若 PQ:x=-75，贝y P,Q5I 55 J I 55二 OP OQ=0 二 PQ:x = 2J5符合题意5若 PQ:x=-一J5，同理可得也符合条件5综上所述,圆的方程为:2 2例3

8、:已知椭圆笃-厶a2b2.椭圆方程为：2 2 J，代入。可得：-1.椭圆方程为:2 243(2证明：设B Xi，yi , D X2,y2 ,线段BD的中点N x,y设直线丨的方程为：y = k x 4，联立方程:y k X 2 4 化为：3 4k2 x2 32k2x 64k2 -12 =02 1由.0解得：k2 :-4且 x,x2-32 k24k23，x-x264k2 -124k232Xj +x216kr 7 0 22 4k +312k24k 3X。34k.k =-4kk =；3x 4y =12假设存在实数k，使得RN _ AD，则kFn Rd - -1112kkF1Ny。X。13 4k216

9、k23 4k24k1 -4k2y?_ k x24x22x22kN4k1 -4k2k X24x22即 4k2x2 16k2 二 4k2 -1 x2 8k2 -2二 x2 二2 8k2 ： -2因为D在椭圆上，所以x21-2,2 1， 矛盾所以不存在符合条件的直线l例4 :设F为椭圆E:务%=1 a b0的右焦点，点P 1,3在椭圆E上，直线a bI 2丿l:3x -4y -10 =0与以原点为圆心，以椭圆 E的长半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆E的方程(2)过点F的直线丨与椭圆相交于 代B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另点Q ,问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存

10、在，求出 丨的方程;若不存在，说明理由解：(1)与圆相切d。亠r5=2将p1,|代入椭圆方程4 b2 2.椭圆方程为：x -143(2)由椭圆方程可得：F 1,03设直线 l:y=kx-1，则 PQ : y k x -12联立直线l与椭圆方程:y = k X -12222i 消去 y可得：（4k . .8k2 -4 4k2 3 4k2-12 =144k2144+3）x2_8k2x + 4k2_12 =0二 AB = J1 +k2二=12疋 14k2 34k2 3同理:联立直线PQ与椭圆方程:y = k x T -/2消去y可得:3x2 4y2 =124k2 3 x2 - 8k2 - 12k x

11、 4k2 - 12k - 3 = 0：2 二8k2 _12k 2 _4 4k2 -12k -3 4k2 31=144 - k k2-U 丿二 PQ1441 1 k k21 k2 J =.1 k424k2+34k2+33x2 4y2 =12因为四边形PABQ的对角线互相平分 .四边形PABQ为平行四边形.ABPQ12 k2 14 k2 31 k2121441-k k44k2 33解得：k=a b4.存在直线丨：3x -4y - 3 =0时，四边形PABQ的对角线互相平分2 2x y例5：椭圆C :二 2 =1 a b 0的左右焦点分别为 FnF2，右顶点为A，P为椭圆C1a b，其中 c 二.a

12、2b2上任意一点，且 PfJ Pf2的最大值的取值范围是|c 2由七=1可得:,3c2(1)求椭圆G的离心率e的取值范围(2)设双曲线C2以椭圆G的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C2在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数 0，使得.BAF BF1A恒成立?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 解:（ 1 ）设 P x, y ,F1 -c,0 ,F2 c,0TTPF1 二 一c x,y ,PF2 二 c x,yPF1 PF x2 y2 2-c二b2 -gx2代入可得:a2 2PF1 PF2 二 x y -c2 2 2x +b -c2c 2222X b -c a:-a,a】

13、PF1PF2）=b2max2c a24c2 - a2.C2 岂 b2 乞 3c2= c2 乞 a2 c2 乞 3c2 =1(2)当 e时，可得：a = 2c,b - 3c22 2.双曲线方程为 二-爲=1 , A 2c,0 F -c,0，设 B Xo,yo , x 0,y 0 c 3cji因为.BAF1 =2当 AB _ x 轴时，x()= 2c, y0 = 3c3c兀tan BF1A1_B F A3c4BAF1 -2 BF1A所以，=2，下面证明 =2对任意B点均使得.BARh/BRA成立考虑 tan BAFj - -kAB,ta nN BRA = kBF1 Xo -2cyoXoc2、_ta

14、n2 BFA 二 2tan2BF1A二 2yo 笃 c21 -ta n NBF1Ayo (Xo+c)-yo1 _说+ C丿2 2由双曲线方程x 与=1，可得：yl = 3x2 - 3c2c 3c2o2ooooXo c -Xo c - 3xo 3c = -2x 2cx 4c = 2 Xo c 2c - x.tan2 BF1A2yo X c沟 tan BAF12(Xo +c )(2cXo ) 2cXo.BAR =2 BF1A结论得证 - 2 时，BAF = BF| A 恒成立，过点P o,1的动直线l与椭2 2例6：如图,椭圆E : % 刍=1 a b o的离心率是a b圆相交于 代B两点，当直线

15、l平行于x轴时，直线I被椭圆E截得的线段长为2 2(1)求椭圆E的方程(2)在平面直角坐标系 xOy中，是否存在与点 P不同的定点Q，使得对于任意直线 丨，QA=A恒成立？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由解: （ 1） e =2a: b : 2:1:1a 22 2.椭圆方程为詁斧1 由直线丨被椭圆E截得的线段长为 2. 2及椭圆的对称性可得:点.2,1在椭圆上2212 =1= b2 =2. a2 =42b b2 2x y.椭圆方程为142(2)当丨与x轴平行时，由对称性可得：PA =| PBQAQBPAPB=1 即 QA = QB.Q在AB的中垂线上，即Q位于y轴上，设Q 0,y

16、。当丨与x轴垂直时，则 A 0, 2 , B 0, - 2二 |pa =721, pb = 72+1QA =|y。_V2|, QB =QAPA-QBPBy。-y。A X1,y1 ,B X2,y2=l-1 可解得 y。=1 或 y。=22 -21联立方程可得：X2 2y2 化 1 2k2 x2 4kx_2 = 0 y =kx 1由lQ JpA可想到角平分线公式，即只需证明 QP平分N BQAQB|PB|-只需证明 kQA = -kQB = kQA Kqb = 0A ,B X2，y2Xiy2 2X2kQA kQBy1 _2y2 -2Xx2X2y1-2X1y2- 2X2y1X1y2- 2xX2=NX

17、?X1X2因为 A Xi,yi ,B X2,y2 在直线 y =kx 1 上，. =似 1代入可得:y kX2 1kk_ X2k1 X1kX21- 2 X1X2_2kNX2-X2KqAkQB_X1X2X1X2联立方程可得：x 2y =4 1 . 2k2 x2卜=kx +14k2X X2 = 2 , XtX2 二一21 2k21 2k22 4k1 2k21 2k2 _o_ 2 -1 2k22k A kQB =-kQA，kQB =0成立QP平分 BQAQAPA|QB|PB-由角平分线公式可得:例7 :椭圆C :y = 1 a b 0的上顶点为A， P ，丿是C上的一点，以AP为a b13 3.丿直

18、径的圆经过椭圆 C的右焦点F（1）求椭圆C的方程（2） 动直线I与椭圆C有且只有一个公共点，问：在 x轴上是否存在两个定点，它们到直线丨的距离之积等于1?若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：A 0,b ,F c,07 AP为直径的圆经过F . FA_ FP.FA FP =0 c4_c匚0八2厶二013丿 333由P驀在椭圆匕 代入椭圆方程可得:1 16 厶丄=1=7=29 b 9c2b24b门c 03c2二 a2 =2X2椭圆方程为y y =1(2)假设存在x轴上两定点 Mj ,0 ,M2 2,0 , 2设直线丨：y = kx mdM1=,dk 1M2所以依题意

19、:dM1 -L dM2 丄lU+mk 2 m k2 i2 km 、2 m2_ =k2 1-1因为直线l与椭圆相切,.联立方程:y = kx + m X2 2y2 =2二 2k21 x2 4kmx 2m2 - 2 = 0由直线丨与椭圆相切可知 =(4km 丫 _4(2k2 +1 )(2m2 _2 ) = 0化简可得：m2 =2k2 1，代入可得:k2、2 km 2 2k21k2 +1=1二k212 km一 2k21 =k212.k *21 km 2 = 0，依题意可得：无论 k,m为何值，等式均成立所以存在两定点：M1 -1,0 ,M2 1,0例&已知椭圆C1 :x2 * 4 4y2 =1的左右

20、焦点分别为 F1,F2，点P是G上任意一点，O是坐标原点，0Q二PF1 PF2，设点Q的轨迹为C2（1）求点Q的轨迹C2的方程（2）若点T满足：OT =MN 20M ON，其中M , N是C2上的点，且直线OM ,ON的1斜率之积等于一，是否存在两定点，使得TA + TB为定值？若存在，求出定点 代B的坐 标；若不存在，请说明理由（1）设点Q的坐标为 x,y，点P的坐标为 怡0，则 4y =1：OQ由椭圆方程可得:二 PF1 PF2I (、且 PF| -2-x，yo,PF2 Xo,yI)l2丿Xox = -2xoQ -2xo,-2y=一2y0yoX2代入到x0 4y0 =1可得:y2y 切2y

21、1设直线OM ,ON的斜率分别为koM ,kON，由已知可得:kOM kONx2x,4xix2 4y)y2 二 02 2 2 2考虑 x 4y 二 2x2亠4 2y2 %2 2二X14y12 2 4 x2 4y;i：,4x1x216 y-i y27m,n是C2上的点.x12 4匚4x2 +4y2 =42 2x 4y =4 4 4 = 20即T的轨迹方程为202 2x y1，由定义可知，T到椭圆52 2x y1焦点的距离和为定值205.代B为椭圆的焦点.A - . 15,0 , B .75,0所以存在定点A, B2例9 :椭圆E 二壬a2 b2-$10=1 a b 0的焦点到直线x-3y=0的距

22、离为 一，离心率为51(2)是否存在常数 丸，使得 +ab| |cd为常数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由解：(1 )设E,G的公共焦点为F c,0dF4亘。2JO 5a、5 b 5，抛物线G : y2 =2px p 0的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线I过G的焦点与E交于A,B，与G交于C,D(1)求椭圆E及抛物线G的方程 二a2a 5E :y2 = 15y2 =8x(2)设直线 l:y 二k x2 , A xi,yi ,B,C X3, y3 ,D X44|y=k(X2)2222与椭圆联立方程：22: 5k2 1 X2 -20k2x 20k2 -5=0x 5y =520k22

23、0k2 5.x( x22, x1 x2o-1 5k1 5kABh：；1 k 咅2x2- 4x! x22、5 k2 1直线与抛物线联立方程：一 k X 2 二 k2x2 4k28 x 4k2 = 0y =8x1 5k2X3X44k28k2:CD是焦点弦二 CD = x3 + x4 + 4k21 5k2 k24 20k2k2AB若1ABCD+CD2i5 k218 k21为常数，则20一5 =4例10：如图，在平面直角坐标系xOy 中,& 5 k2 1=1 a b 0的离心率为右焦点时，弦AB的长为红631(2)是否存在点E，使得 -l垂直于x轴且点E为椭圆C的直线l与x轴交于点E ,与椭圆C交于A

24、,B两点，当直线(1)求椭圆C的方程1+ 2为定值？若存在,EA2 EB2请求出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明 理由解：(1)依题意可得:当丨与x轴垂直且E为右焦点时， AB为通径2b22 ”63=1（2）思路：本题若直接用用字母表示 A, E,B坐标并表示 EA, EB，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与 E的坐标。因为E要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出E点一， 1 1及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得22为定值。EA2 EB2解: （2）假设存在点E，设E x0,0若直线AB与x轴重合，则A -、6,0 ,B , 6,0二 EA = X。+阎 EB

25、十76|11112x2 12I+=+=22EA EB 低+曲）（x。-76） （x。-6）若直线 AB与x轴垂直，则 代B关于x轴对称 -设A x。，B x。，-y，其中y 0 ,代入椭圆方程可得:EAEBy 二2亡二 |EA= EB 可 222x。12x： -62 62 2 x06 - X。2 3626 -x。 2=2 xg 6 6-x： =6x-6 ，可解得:EBh2- 右存在点设AB: x =my3，与椭圆C联立方程可得:宀3八6，消去y可得:x = my 、3E，则 E - 3,0。若 E，3,0，设 A X1$ ,B 化、my卷寸3 亠3y2 =6= m2 3 y2 2 3my-3

26、= 0y1y22、3mm，y1y2EA2y12 2m y12 2 y1m1 y；2，同理:EBm221 y2EA1+EBm2 1 yim21 y22 2 2m 1 y1 y2代入.y1y2m23可得:32y1y2 - 2 y1 y22 2 2m 1 y1 y212m26 m2 3m2 +3 一2 m2 3EA2所以EB仲2+1)|- 23 |I m +3丿m2 3 2EB为定值，定值为21若E3,0，同理可得一2EAEB为定值1综上所述：存在点 E _3,0，使得 2EA为定值2三、历年好题精选1、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆EB2E：7 b2218m 叭21离心率为丄，过直线I ：X

27、 = 4上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A,B2(1)求椭圆E的方程2X若在椭圆一2a2 y_ b2=1 a b 0上的任一点N Xo,yo处的切线方程是XoX2a管1，求证：直线AB恒过定点C ,并求出定点C的坐标(3)是否存在实数，使得AC + BC =几AC BC恒成立？(点C为直线AB恒过的定点），若存在，求出的值；若不存在，请说明理由x求点G的轨迹C的方程T T T 过点2,0作直线丨，与曲线C交于代B两点，O是坐标原点，设OS = 0A 0B，是否存在这样的直线 丨，使得四边形 OASB的对角线相等（即 OS = AB ）?若存在，求 出直线丨的方程；若不存在，试说明理由x2

28、 y2y222、已知椭圆2=1 a - b 0的一个焦点与抛物线y =4x的焦点重合，a bD 1,5、 （2014，福建）已知双曲线E:二 2 -1 a 0,b 0的两条渐近线分别为l1：y = 2x，a b是椭圆C上的一点2（1）求椭圆C的方程（2） 设 代B分别是椭圆 C的左右顶点，P,Q是椭圆C上异于 代B的两个动点，直线1AP, AQ的斜率之积为-一，设LI APQ与LI BPQ的面积分别为SS，请问：是否存在常数 4；.；.三R，使得$二S,恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由x22i3、 已知椭圆 2 = 1 a b 0 i经过点。必，离心率为一，左，右焦点分别为ab2

29、Fi -c,0 和 F2 c,0（1）求椭圆C的方程（2）设椭圆C与x轴负半轴交点为 A，过点M -4,0作斜率为k k = 0的直线丨，交椭圆C于B,D两点（B在M , D之间），N为BD中点，并设直线 ON的斜率为k1 证明：k k1为定值 是否存在实数k，使得RN _ AD ?如果存在，求直线 丨的方程；如果不存在，请说明 理由4、 已知圆 M ： x .5 2 y2 =36，定点N（J5,0 ），点P为圆M上的动点，点Q在NPT T T T上，点G在MP上，且满足NP =2NQ,GQ NP = 0(1 )求双曲线E的离心率(2)如图，O为坐标原点，动直线I分别交直线|1,|2于A, B

30、两点(代B分别在第一、四象限)，且LOAB的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线 一个公共点的双曲线 E?若存在，求出双曲线E的方程; 说明理由习题答案: 1、解析：(i)e，二 a:b:c=2:、.3:1a 2椭圆过点再由a:b:c=2:-、3:1可解得:a =2,b 八32 2x . y椭圆方程为：143(2)设切点坐标为 A x1,y1 ,B x2,y2，直线上一点 M 4,t，依题意可得:两条切线方程为:XiXyiy143.43，由切线均过M可得:yitX13=1=1A Xi,yi ,B X2,y2 均在直线因为两点唯一确定一条直线AB : X -y =1，即过定点1,0，即点C的坐标

31、为1,0(3)AC +|BC =九 ACAC+BC|ACiBClBC u k =AC1BC联立方程：tyX1223n (t2+12)y2 _6ty _27 = 03x2 4y2 =12y1y；社丫227T，不妨设 0$2 ：012 t212 t212AC = X12 2-1 %9 t2=-y1, BC =p(X2-1)2 y；2=1.1 丄 1 严_ 1 3 、2_% _ 3 J(y2_y1AC|BC|J9+t2V1y2 丿j9+t2I“2丿9 + t2Y1Y2_6M2+08_3 Yl12+t2 丿 12 + t21 J144t2 +944 4J9 +12-27(9+t29312+t24I丸=

32、，使得AC + BC =人AC BC恒成立322、解析：(1)抛物线y =4x的焦点为1,0c = 1依题意可知:2 ,2 2a - b c 1a2 =4,b2 二 3椭圆方程为:(2)由(1)可得：A -2,0 ,B 2,0，若直线PQ斜率存在设 PQ:y=kx m , P,Q “y.A到直线PQ的距离di =| -2k + m2k +mPQd1 d1PQ d2 d2联立方程:1 k2-2k + m2k my 二 kx m2 23x 4y =12B到直线PQ的距离d2 =.j1 + k2- 3 4k2 x2 8kmx 4m2 -12 =0.x-ix28 km4m7 x1 x22 -12kAP

33、 kAQYiy21二 4y2 +（禺 +2）（X2 +2）=0（*）x12 x224x12 x22 二 x1x22 x1x24 二2 216k -16km 4m4k23，代入到（*）可得:2 216m俯一琢=0=m2-km-2k2“24k 33 212丘24k23y1 y2 =kx1mkx2m二 k2x-）x2km 捲x2m2：椭圆方程为：2 2卅I.1，代入0八可得：-13、解：（1）依题意可知:椭圆方程为:43当m =2k时,PQ:y=kx，2k=kx，2，交点与A重合，不符题意S-m - -k，代入到可得:S2二 3= S1 二 3S2，即，-3c 1e可得：a:b:c = 2: 3:1

34、a 2（2证明：设B Xi,yi , D X2,y2，线段BD的中点N Xo,y设直线丨的方程为:y二k x 4，联立方程:y = k x 43x2 4y2 =12化为：3 4k2 x2 32k2x 64k2 -12=0由.：0解得：k2口七2 k2且 x1 x2 口64k2 -1227 x1x2 =24k 34k 3X1x216k24k23yo12k=k X0 4 = 4 k II-31Xo4kn4k4假设存在实数k，使得 RN _ AD，则 kFiN kA = -112kkF1Nyo3 4k24kXo 13164；2 11 -4k2y2k X24X22X22kF1N Rad -4k k x241