圆锥曲线笔记

1、D.解析圆锥曲线（上）（用解析几何研究圆锥曲线）1.圆锥曲线的准圆设椭圆的方程为笃爲1（a b 0）,a b/内准圆定义：在椭圆内部存在使与其相切的椭圆的弦的中心角都为90度称为内准圆AB为椭圆的弦，且中心角AOB 90o记 AOX ABOX B(0o A 90o,0o B 90o, A B 90o), AO g BO A(rA cosA, rA sin A), B(rB cosB, rB sin B)代入椭圆的方程得到 (rA cos A)2 (rAs in A)21 (rB cos B)2b2 a2b2b2I (2 2(a si nA) (bcosA)2 2a b2 2A S2 2ArBa

2、2 b2AB到椭圆中心的距离为a2_b22 2a b2 2a b(asin B)2 (bcosB)22 2椭圆与y2 1的内准圆方程为x2a b外准圆定义：椭圆两条垂直切线交点的轨迹如图P (x,y)为椭圆外的一点，且 满足，过P作椭圆的两条切线相互 垂直当P点的切线斜率不存在时P点在(a，b)这四点到椭圆中心的 距离都为a2 b2当斜率存在时设过P点椭圆的切线为k(x Xq) y y0即kx y y0 kx0 0代入椭圆的方程(a2k2 b2)x2 2a2k(y0 kx0)x a2 (y0 kx0)2 b2 0又因为是切线故0a2k2b2(ykx)20(a2x。2)k22x0ykb2y。20

3、此方程即为过P两切线斜率的二次方程两斜率乘积为-1.22by-22aX0-1x02 y02 a2 b2即当斜率存在时P点到椭圆中心的距离为 a2 b2综上椭圆的外准圆存在且方程为x2 y2 a2 b2b.双曲线的虚实准圆2 2设双曲线的方程为 与-与1(a 0,b 0)a b虚准圆定义：与椭圆的内准圆相似一个以双曲线的中心为圆心使与其相切的双曲线的弦的中心角为90的圆被称为双曲线的虚准圆(必须有ba0,否则不存虚准圆)设双曲线弦AB方程为y=kx+m(22(a k2、2b)x2a2kmx a2(m2b2) 02 2(a k22b)y2b2my b2(a2k2m2)0xyaX222(m2 b2)

4、 b2(a2a2k2 b222、k m)，又 AOB 90。x2y202 m2 2a bAB直线到双曲线的距离为k2 12 2b aA(Xi,yJ,B(X2, y2)AB方程代入双曲线的方程 得定值21(b a 0)的虚准圆为x22y2 2a b2 2 b aab- b2 a22 所以双曲线笃 a(也可像证明椭圆内准圆一样引入三角参数)实准圆定义：类似与椭圆的外准圆，双曲线两条相互垂直的切线交点的轨迹(必须有：ab0,否则不存在实准圆)如图P(x0,y0)为双曲线外的一点，且满足，过P作双曲线的两条切线相 互垂直当斜率存在时设过P点双曲线的切线为k(x X) y y0即kx y y0 kx0

5、0代入双曲线的方(a2k2 - b2)x2 2a2k(y0 kx0)x a2 (y0 kx0)2 b2 0又因为是切线故0a2k2 b2 (y kx)20(a2 x。2) k2 2xyk b2 y。20此方程即为过P两切线斜率的二次方程两斜率乘积为-1一一与 -1 X。2 y02 a2-b2即P点到双曲线中心的距离 为.a2-b2a x综上双曲线的实准圆存在且方程为x2 y2 a2-b2(a b 0)C.抛物线的准线是特殊的准圆准确来说抛物线并没有类似于有心圆锥曲线的准圆存在，但是抛物线两条垂直的切线的交点的轨迹为其准线，可以理解为半径无大的圆结合上节几何中的抛物线结论容易的出这一结论此处便不

6、再赘述（用解析法同样可以轻松得到）2. 圆锥曲线直线过定点问题圆锥曲线的定点问题是让很多人感到头疼的问题，以至于对此类问题形成畏惧心理，观其本质其实并不复杂，主要问题是在于计算量过大，本节将介绍圆锥曲线几个典型过定点问 题希望能对大家有所帮助。对于直线过定点我们其实应该知晓其在解析几何上的表现 形式，一般将直线设为斜截式 y=kx+m 或 x=ky+n 只要找出斜 率与截距的一次线性关系即可确定直线过定点，明确此节我 们寻找定点也就转化成了在方程变换中找到一个关于斜率 与截距的关系式（例如：y=kx+m若有m=-3k+3则直线过（3, 3）点）a. 斜率定积当圆锥曲线上一定点于两动点满足定点与

7、两动点的连线的 斜率乘积（乘积不等于 0，以及 1-e2 ）为一定值时，两动点的 连线必然过定点1. 椭圆2 2设：椭圆方程为 笃y2 1(a b 0)P (x0, y0)为其上一定点(b2x02 a2y02 a2b2)a bA(x,y,), B(x2, y2)为椭圆上的两动点 (异于P点)且有kAPkBP(0,1 e2)AB : y kx m/ 2, 2 , 2、 2 小 2,2 “ 2 , 2、 小代入椭圆方程:(a k b)x 2a kmx a (m b )0k或m当作方程的主元化简(a2k2 b2)y2 2b2my b2(m2 a2k2)0a k ba2 (m2 b2)a kb2(m2

8、ba2k2)xix22, 2, 2a k b,yiy2a2k2b2k k(yiAPBP/y)(y2y)(Xix)(xx)2 2x x 2a km y y 2b myxi x2 2 2，yi y2 2 2(得到下式后为得出k与m的关系，应将当化简遇到瓶颈时注意 b2x02 a2y02 a2b2,22 2 2 2 2 2X, 2(a x0a y0 a b )k2 a2kmx02 , 2 22b my0 b mb22y。b2b2xX(2a X02 2b x)k2a2mx)k(a b.2 2b X0a2m2)b2(my)20X(2a X02 2b x)k2a2mx)k2 2(a m2 2a y)b2(

9、mi y。)20x(2a X02 2b x)k2a2mx)k2 , 2 a (my)b2(m2y)0X(2a X02 2b x)k2a2mx)k2 2a (m2 y)b2(my)20X(2a X02 2b x)k2a2mx)kz2(a m2a yb2y02b m)(my0)0(kxmy)( a2X0bx)k2 2 a m ay0 b2y0b2m0(a2x0bx0)ka2ma2y0b2y0b2m0,(kx0my0)0(此式成立则 AB过P点不符题意舍)a2 b2y k(x x)a b2 a 2 ab2AB过定点(2 ,2 ab2rr x0,ab2 a2 ab2y)特别地当 e2 1 当 0时没有

10、意义b2-y时AB过椭圆中心,a1-e2b2二 时AB定向但不过定点a2.双曲线2 21设：双曲线方程为 1(a 0, b 0)P(x0,yj为其上一定点(b2x02 a bA(x1,y1), B(x2,y2)为双曲线上的两动点(异于P点)且有kAPkBP(0,AB: y kx m代入椭圆方程：(I：-a2k2 -b2)2a2kmX1 X2 2 2，y1 y2a k ba2 (m2 b2)2 2a yoe2)%x2kApkBPa2k2 b2，12(y1 %)(y22 2 2 22a kmx a (m b )02b2my-b2(m2 a2k2)02b2my2 2 2a k b2 2 2 2 xb

11、 (m a k )2 X2 ya2k2 b2y。)(Xi Xo)(X2 Xo)(得到下式后为得出k与m的关系，应将k或m当作方程的主元化简)2 .2 2 .2 22. 2my0 b m b y0a b-a2y-b2(m y2)02 2a m2 2 2 2 2 2 2 2 2(a X0 a y a b )k 2 a km 2b (a2X0 -b2X02)k2 2 a2mX0k a2m2 - (kX0 m y0) ( a2X0 b2x0)ka2m22.2 2.2a -ba -b y2 X0， 22 y0)(ba bb2禺时AB过双曲线的中心aAB过定点(2a特别的当e2 1当0时没有意义1-e20

12、,a2b2)b2x。202 2 a yoe21b2 m2 b2b2) 孑)2y。3.抛物线抛物线设：方程为 设AB方程为X2y2XkykApkBP2pky2(pk2b2b时AB定向但不过定点a2px(pm代入抛物线方程0)(其余同上)(y022pxo)2 pm 02m)X m 022 pm 2 pky y2 2 2 m 2pk x0 2mx0 x02 2y0 k 2pyk(x m) 2p(x m) 0(ky m x)( ykx m 2 p) 0定点(X0 竺，y)(1 e20)附加：圆锥曲线的共轭性质1.直线定向本节中证明了当斜率乘积为定值（不等于0,不等于1-e2 ）对于定值等于1-e2时，

13、有心圆锥曲线会使上节中两动点的连 线定向（斜率为定值）而不过定点。（以椭圆为例）下证明之（条件同上节，只是1-e2）设：椭圆方程22爲 1为,AB方程为y kx m,(笃 bab22 , A(x1, y1), B(x2, y2)将AB方程代入曲线方程得 a/ 2| 2(a k(a2k2,2. 2b )xb2)y22a2 km)22b2 my ab2kAPkBP(y1y)(y2y。）(X1X)(X2X0)b2(m22 2a2k2)22b my y且 kAPkBP112 e2(m2 (m2b2)0a2k2)022 a km222a k b22b2m222a k bXiy1a2(m2 b2)a2k2

14、)2y2be2Yo(y y2)22(a k a2(m2 b2) 2a2kmx0 x(a2k2 b2) a2b2(m2 b2) 2a2b2kmx0 b2x02(a2k22 , 2 2 . 2 22 2 2 c22,a (a b b x0 a y0 )k 2a2b2x02k2 2a2b2mx)k2 22X0 k mxk y0 myX1X2 X0(X1 X2) b2)(kXoyo)(kXo m y)2a b mx0k2 2 22a b y,2. 2.2, 2 b ) a b (m.222 z 2b (b x0 a b2a2b2my00必直线定向X02y。2X0X2,a ky b2(m2y2厂a k2

15、aX-|X22| 22-2a k ) 2a b my02 22-2a y0 ) 2a b my002 2 2| 2 , 2X a y0 (a k b )双曲线证明过程几乎一样不再赘述（也可以曲线方程为一般的有心圆锥曲线直接证明）2.中垂定理于圆锥曲线的推广圆的任意一条弦中点于圆心的连线必与弦垂直，椭圆其实被压扁的圆，也该存在类似的性质，进而推广至其他圆锥曲线。设一般圆锥曲线的方程 为Ax2 By2 2Cx 2Dy E 0(离心率eA 1,中心坐标O (-C，-D)Y|B |ABA(x1,y1)，B(x2,y2)为圆锥曲线上异于顶点 的两点AB中点为T22Ax1 By1 2Cx1 2Dy1 E

16、0 _则必有 171171两式作差22Ax2 By2 2Cx2 2Dy2 E 0(x1x2)A(X1X2)2C(y1 y2)B(y1 y2) 2D 0y1y2(P)y1y22B)A 2 d e 1BX1X2X1X2(C)2AKtoKab e2 1(当弦的极限位置变成 切线是切点即变为中点 同样有此性质)2 2椭圆X2 y21a b2 2双曲线P 21a b抛物线y2 2px圆 x2 y2 r2biI0-12 a2 a由此我们还可以得到另一性质如图:T为PB的中点，AB过圆锥曲线的中心我们已经证明了KotKpb e2 1,那么TO 11 PA KpbKpa e2 1 （抛物线无中心）这与斜 率乘

17、积为定值中定值=l-e2不谋而合！过圆锥曲线上一定点P引两条动弦PA,PB,若有Kpa Kpb 0则AB定向且 kab 过P点切线的斜率o (下以椭圆，抛物线为例以不同的方法证之)2 y b21(a b 0)，P(x0,y0)椭圆上一定点a.椭圆2设：椭圆的方程为X2aA(xyj B(x2,y2)，AB直线方程为 y kx m代入椭圆方程(a2k2 b2)x2 2a2kmx a2 (m2 b2)0(a2k2 b2)y2 2b2my b2(m2 a2k2)0xix22a2kmb2m2 2.2i722. 2.2a kba kba (mb2)b2(m22. 2Xa k )xLx22. 2.2,y22

18、. 2.2a kba kbmy?%X2Kpa Kpb 02a2b2a2k2 b2(yi y。)(y2 y。) (xi 人)区 y)(yi y)(x2) (y2 y)(xi )0x2 yiX2 y(xi X2) x(yi y?) 2x0 y 02 2 2 2 2 2 22a b k 2a kmy 2b2約0 k b ) 0a2x0y0k2 a2(my0 b2)k b2mx0 b2x0y0 0b2x(m y)注意 a2y2 b2x2a2b2 2(a yk-b x)(kx0 m y) 0b2x2a yp点切线斜率的相反数法二：如图T,H,S分别为AP,BP,AB的中点则 KabKso1而我们知道KabKso-b 故 KabayoXob2K HOKtoo( Kap Kto K bp K ho2）ayiyoy2yooXiXoX2XoXiy2yiX2yo(xi(1)(2)y