不定积分解题方法及技巧总结

1、不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。 然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。1. 利用基本公式。(这就不多说了 )2. 第一类换元法。(凑微分)设f(卩)具有原函数F(卩)。贝U其中(x)可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为 下一步积分做准备。当实在看不清

2、楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算 式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2:ln(x 1) -ln x ,例 1:dxx(x +1)解(ln(x 1) - In x)=1x(x 1)ln( x +1)In x1dx 二-(In(x 1)lnx)d(ln(x 1)ln x)(In(x 1)ln x) l n x , dx (xln x)2【解(xln x) =1 ln x3. 第二类换元法：设x=(t)是单调、可导的函数，并且“又设f (t) (t)具有原函数，则有换元公式第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主 要有以下几种：(7)当根号

3、内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。但当根号内出现高次幕时可能保留根号，(7)当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。但当根号内出现高次幕时可能保留根号，4.分部积分法.公式： 七、-人-d分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积 C 例2:x(x 1)2分。具体选取 人 时，通常基于以下两点考虑:（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型 举两个例子吧！3x arccosx例 3:dx【解】观察被积函数，选取变换t =arccosx,则例 4：arcs in2 xdx解 2 2 1arcsi n xdx = xs in x jx2arcsi

4、n xdx心-x2上面的例3,降低了多项式系数；例4,简化了被积函数的类型 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在小-小.中，、的选取有下面简单的规律:_ ( l arcsinxPm(aA sin但是，当卩=1 n x，v = arcsi nx时，是无法求解的。将以上规律化成一个图就是:V对于（3）情况，有两个通用公式：（分部积分法用处多多在本册杂志的涉及lnx的不定积分中，常可以看到分部积 分）5不定积分中三角函数的处理1. 分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数22 dx上下同乘sin x变形为sin x cos x令u = cos x，则为2. 只有三角函数时尽量

5、寻找三角函数之间的关系，注意si n2xcos2x二1的使用三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。3. 函数的降次 形如fsin m x cosn xdx的积分（m n为非负整数）当m为奇数时，可令u = cos x，于是mJsin mx cosn xdx 二-sin mJ x cosn xd cos x 二- 1 - u2 2 undu，转化为多项式的积分当n为奇数时，可令u二sin x，于是u _Jjsin m x cosn xdx = J sin m x cosn J xd sin x = Jum(1 f

6、产 du , 同样转化为多项式的积分。当m n均为偶数时，可反复利用下列三角公式： 不断降低被积函数的幕次，直至化为前两种情形之一为止。 形如tan n xdx和cotn xdx的积分(n为正整数)du 令 u = tan xdx，贝U x = arctan u，dx2，从而1 + u已转化成有理函数的积分。类似地，cotn xdx可通过代换u = cot x转为成有理函数的积分。 形如 secn xdx和cscm xdx的积分(n为正整数)pl.当n为偶数时，若令u = tan x，则x二arctan u,dx2，于是1 + u已转化成多项式的积分。类似地，cscn xdx可通过代换u =

7、cot x转化成有理函数的积分。当n为奇数时，利用分部积分法来求即可。4. 当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。5. 几种特殊类型函数的积分。(1)有理函数的积分有理函数 巴总先化为多项式和真分式之和，再把尸少 分解为若干个部分Q(x)Q(x)Q(x)12分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现Indx厂F时，记得用递1 2 丄 2x3212132x32 C 例推公式：In2a有理真分式化为部分分式之和求解 简单的有理真分式的拆分 注意分子和分母在形式上的联系此类题目一般还有另外一种题型： 注意分母(分子)有理化的使用dx _、2x + 3 - &2x - 12x 3、2x

8、 - 14(n-1)(x2 a2)n，2a2(n-1)In，)5:64,2x x -4x -2dxx3(x21)264,264,2小，2【解】x x -4x -2 xx4x2_ x 4x2牛 x3(x21)2- x3(x21)2 一 x3(x21)2 一 X21 一 x3(x21)2故不定积分求得。(2) 三角函数有理式的积分2ta sin x =1 +ta n2万能公式：1 -ta n2cosx =1 tan2 -I2p(sin x,cosx)dx可用变换t二tan化为有理函数 的积分，但由于计算较烦，应尽量Q(sin x, cosx)2避免。对于只含有 tanx (或cotx )的分式，必

9、化成或cosx。再用待定系数cosx sin xgsx bsinx) B(acosx bsinx)来做。(注：没举例题并不代表不重要) acosx bsin x(3) 简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现、x和.1 x时，可令x = tan2t ；同时出现.x和 J-x时，可令x=sin2t ;同时出现 1 -x2和arcsinx时，可令x=sint ;同时出现1 -x2和 arccosx 时，可令 x=cost 等等。(4) 善于利用ex，因为其求导后不变。这道题目中首先会注意到xex，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导后为exxe

10、x与分母差ex，另外因为ex求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以 ex(5) 某些题正的不行倒着来这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用u = sin x，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当u二sin x这类一1般的换元法行不通时尝试下sin x。这种思路类似于证明题中的反证法(6) 注意复杂部分求导后的导数 注意到：1 - 6t 2e - 2t 3ett -2t3etdtt - 2t3etdt - 3 2-ett - 2t 3ett 1 一 2t 2ddt=In t - 2t 3et -t - 3l nt c=In In x - 2 In x eln x - In x - 3 In In x c 题把被积函数拆为三部分：yy2,y3, yi的分子为分母的导数， y的值为1,泊的分 子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在竞赛中出现。(7)对于 R；x, .ax2 bx c)dx(a 0)型积分，考虑二b2 - 4ac的符号来确定 取不同的变换