三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案

1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了平面向量一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关 三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：知识点总结Word资料1）O是ABC的重心OA OB OC 0；)若o是ABC的重心，则uuur d umr uur uumPG 1(PA PB PC)S BOCS AOCS AOBABC的重心.-SABC故OAOB OC0;)引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 * ABC心的充要条件可以写成：OA （e1 e3） O是 ABC心的充要条件也可以是aOA bOB，AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才

2、OB (e1 e2) OC (e? e3)0cOC 0若 O 是 ABC 的心，则 S BOC : S AOC : S AOB a： b :故 aOA bOB cOC 0或 sinAOA sin BOB umr uuu uur mu mu uur rsin COC0；)|AB|PC |BC|PA | uur uur 向量(-ASAC-)(|AB| |AC|CA| PBABC的心;0）所在直线过所在直线）；Ae2PABC的心（是 BAC的角平分线二.例（一 ）将平面向量与三角形心结合考查例1. O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点 P满足OP OA(AB AC )(AB A

3、C)0,则P点的轨迹一定通过 ABC的（2) O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ；若O是 ABC (非直角三角形)的垂心，则S boc : S aoc : S aob tan A ：tan B ： tan Ckbb-fc-故tan AOA tan BOB tan COC 02 2 23) O 是 ABC 的外心 |OA | |OB | |OC|(或 OAOB OC )若O是ABC的外心则 S boc： S aoc： S aob sin BOC :sin AOC :sin AOB sin2A : sin2B:sin2C故sin2AOA sin2BOB sin 2COC

4、04）O是心ABC的充要条件是|CA |oa (丝 AC) ob 单匹)oc ( CA | AB | AC|BA | |BC |（A）外心（B）心（C）重心（D）垂心解析：因为AB是向量|AB|uuuAB的单位向量设UUUUULTAB与AC方向上的单位向量分别为6和e2，又OP OA AP，则原式可化为 AP（e, e），由菱形的基本性质知AP平分 BAC，那么在ABC 中，AP平分 BAC，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB是什么？没见过！想想，一个非零|AB向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本

5、性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起， 解这道题一点问题也没有。（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. H是厶ABC所在平面任一点，HA HB HB HC HC HA 点H是厶ABC的垂心.由 HA HB HB HC HB （HC HA） 0 HB AC 0 HB AC ,同理HC AB，HA BC .故 H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（）P是厶ABC所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA，则P是厶ABC的（D ）A .外心B.心C.重心D .垂心解析:由 PA PB PB PC 得 PA PB PB PC 0.即 PB

6、（PA PC） 0,即PB CA 0 贝U PB CA,同理 PA BC, PC AB 所以P为ABC的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及 数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等 相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及 数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相 关知识巧妙结合。变式:若HABC所在平面一点，且HA2 BC2 HB2 CA2AB2则点H是厶ABC的垂心证明:(HAHB)?BA(CA CB)?BA得(HAHB CACB)?BA 0即(HCHC)? BA0ABHC同理ACHB， EQ HACABCHAHB故H是厶ABC的垂心点G是厶ABC的重心.（

7、三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例4.G是厶ABC所在平面一点，GA GB GC =0证明 作图如右，图中GB GC GEWord资料连结BE和CE,贝U CE=GB，BE=GC BGCE为平行四边形 D是BC的中点，AD为BC边 上的中线将 GB GC GE 代入 GA GB GC =0，得GA EG =0 GA GE 2GD，故G是厶ABC的重心.（反之亦然（证略）例5. P ABC所在平面任一点.G ABC的重心兀-両凤函.证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (Pa PB PC) G是厶ABC的重心GA GB GC =0 AG B

8、G CG =0，即卩 3PG PA PB PC由此可得PG -(PA PB PC).(反之亦然(证略)3O血Buuo3 Auuo，则0是ABC的（A.心B .外心 C .垂心D.重心uuu uuu uuurr uuuuuuruuu解析：由OA OB OC0得OBOCOA，如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形，则uuu uur uuiruuu 1 uuurOB OC OD，由平行四边形性质知OE ：OD，OA 2 OE，同理可证其它两边上的这个性质， 所以是重心，选D。点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的分点，所分这比为2。本题在解

9、题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的1对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。变式：已知D，E，F分别为 ABC的边BC，AC，AB的中点.贝U AD BE CF 0 .证明：3 -ADGA23 -BEGB23 -CFGC2Ad Be CF -(Ga gb gc)2GA GB GC 0uur 1 uuu uur 贝9 PO -(PA PB 4uiuu luuuPC PD).证明:uuur1 uuu uuu2(pa PC)，uur1 uur1(PBuurQ POPOPD)，uuu1 uuu (PA4uuu uuu uurPOPB PC PD).点评:（1）证法运用了向量加法的三

10、角形法则,uur uuu uuuAD BE CF 0 ,.变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点,证法2运用了向量加法的平行四边形法则.（2）1 IWord资料uur iuu uur lut若P与O重合，则上式变 OA OB OC OD 0.（四）.将平面向量与三角形外心结合考查 uuu uuu例7若O为 ABC 一点，OA OBC.垂心uur OC，则O是ABC的（A .心B.外心 C.垂心 D .重心解析：由向量模的定义知 O到ABC的三顶点距离相等。故O是ABC的外心，选B。 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。（五）将平

11、面向量与三角形四心结合考查 例8 .已知向量op；, 求证证明OP2 , OP3 满足条件 OPi+OP2+OP3=0, |OPi | = |OP2|=|OP3 |=i, P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）I由已知OPi +OP2 =-OP3，两边平万得 OPi OP2 =-,21OP2 op3 = op3 op；= 才， |PP；| = |P；P3 | = |P；百 |=,3，从而 P1P2P3 是正三角形反之，若点O是正三角形 Pi P2P3的中心，则显然有OPi +OP2 +OP3 =0且|OPi | = |OP2 | = |OP3 |. 即O是厶ABC

12、所在平面一点，op； +OP2+0P3 =0 且lop； |=|OP2 |=|op3 | 点 O 是正 PiP2P3 的中心.例9.在 ABC中，已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：且 QG:GH=1:2【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。C（x2,y 2） , D E、F分别为AB BC AC的中点，则有：D（心0）、E（2 坐）、F（B,生）2 2 2 2 2 由题设可设 Q（牛，丫3）、H gM）, G（x；2，）233同理Q G H三点共线,设 A(0,0)、B(xi,0 )、(X2沁y3)BC(X2 Xi，y2)uuihitQAHBC

13、uuiUJLTAH?BC x2(x2Y4X2(X2 Xi)y2uultuuuiQQFACuultuuuixXi)QF ?ACuuuuuuuAH（X2,y4）QFuur2X2(-2X2(X2 Xi)2 y 2Y2Y40y37)y.22y2(y2 y3)2uuuiQH(X2 手宀 y3)3x2(x2 x；)2y_uuirQG(X2 XiXi y 2T,Tya)(2x2 x 1 6y_23X2(X2Xi)2y2(2X 2(6Xi3x2(x 2 xi)y 2、1宀2 Xi6y23X2(X2 Xi)上)杰2T)i uuuu=QH3uun unr三点共线，且QG GF=i：即 QH =3QG，故 Q G

14、H【注】 本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向 量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从 而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例iO.若0、H分别是 ABC的外心和垂心.求证 OH OA OB 0C .证明 若厶ABC的垂心为H，外心为0，如图.连B0并延长交外接圆于D，连结AD，CD. AD AB，CD BC.又垂心为 H，AH BC，CH AB， AH / CD，CH / AD，四边形AHCD为平行四边形， AH DC DO OC，故 OH OA AH OA OB O

15、C .外心、重著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一 心、垂心的位置关系：(1) 三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；(2) 三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距 离是重心到外心距离的2倍“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题 例ii. 设O、G、H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心求证 OG Oh3证明 按重心定理 G是厶ABC的重心 OG (Oa Ob Oc)3按垂心定理OH OA OB OC由此可得 og Ioh.3三、与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用例i : ( 2003年全国高考题)O是平面

16、上一定点,A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OP OAAB AC )AB AC0,，则动点P的轨迹一定通过厶ABCW()(A)外心(C)重心(B)心(D)垂心事实上如图设AE 告AAB易知四边形AETF是菱形故选答案BlAC都是单位向量ACC例2: (2005年市东城区高三模拟题)O为厶ABC所在平面一点，如果 OA OB OB OC OC OA ,则O必WoTd资料为厶ABCW()(A)外心(B)心(C)重心(D)垂心事实上 OA OB OB OC (OA OC) OB 0 CA OB 0 OBLCA故选答案D222一|2OABCoBCAOC例3:已知O为三角形(A)外心(B)心AB

17、C所在平面一点，且满足2 AB 则点O是三角形(C)重心(D)垂心ABC 的( )事实上由条件可推出 OA OBOB OC OC OA故选答案D例4:设O是平面上一定点,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP OA(ABAC(A)外心AB cosB),AC cosC0,，则动点P的轨迹一定通过厶ABCW()(C)重心(D)垂心事实上(1一ABcosBAC)cosC?BC例5 :2005年全国(I )卷第15题UUUTUUUUUUUUUTOHm(OAOBOC),则实数m =(B)a先解决该题:(BCBC)故选答案DABC的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,作直经BD，连DA ,uuu

18、DC ,有 OBUULTOD , DA AB ,AH BC , CH故AHCD是平行四边形，进而AB，故 CH / DA , AH / DCUULTDC ,又UULT AHUUUT UUUT UULT UUUT UUU DC OC OD OC OBUUUTUUUUULTUUU OHOAAHOAUUUTUUUUUUUUUT故OHOAOBOC，所以mUULTDC评注：外心的向量表示可以完善为:若O为ABC的外心，H为垂心,UUUTOHuuu uuuOA OBJI图3Oc。其逆命题也成立。例 6 已知向量 OP! , OP2 , OP3 满足条件 OP +OP2 +OP3 =0 , |OP! | =

19、 |OP2 | = |。卩3 | = 1 ,求证： P1P2P3是正三角形.(数学第一册(下)，复习参考题五 B组第6题)DC BC.0 1证明： 由已知OPi+OP2=-OP3，两边平方得 OPi OP2 =-,2I.同理OP2OP3=OP3OP1 =,|P1P2| = |P2P3 | = |P3P1|= 3，从而PlP2P3 是正三角形.反之，若点 O是正三角形 P1P2P3的中心，则显然有 OPj+OP2+OP3 =0且|0凡|=|0P2 |=|0P3 I,艮卩O是厶ABC所在平面一点，Op1 + Op2 + Op3 =0 且|OP1 |=|OP2 i=|Op3 i 点 o 是正 P1P

20、2P3 的中心.四、练习1 11.已知A、BC是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP=3(2oA+；2Ob+2c)C), 则点P一定为三角形ABC的( B)AAB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C重心D.AB边的中点分析：取AB边的中点M则0A OB 2OM，.uun 1 1 Liu 1 ujinuuruun bub ujiu由 OP 七(二 OA+OB+2OC)可得 3OP 3OM 2MC，3 22 MP 2MC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心。3uun 2 UUL2 UUL2 uua2 UU2 UUIL 2“2 .在同一个平

21、面上有 ABC及一点O满足关系式：OA +BC =OB +CA = OC + AB，则O ABC 的(D )PA PUL PC 0，则 PABC勺(A.外心 B.心C.重心D.垂心 3.已知 ABC的三个顶点A、B、C及平面一点P满足:A.外心 B. 心C.重心D.垂心 4.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足:UUU UJLUUU UUUOP OA (AB AC)，则P的轨迹一疋通过厶ABC勺(C )uu uu im UJJ uun ujj PA?PC PA?PB PB?PC0,贝U P点为三A.外心 B. 心 C.重心D.垂心 5 .已知 ABQ P为三角形所在平面上的动点，且满足: 角形的(D )A.外心 B.心 C.重心 D.垂心 6.已知 ABC P为三角形所在平面上的一点，且点 P满足：a PA b PB c?PC 0，则P点为三角 形的(B )A.外心 B. 心 C.重心 D.垂心 UUL2 UJU2ULU UUL, 亠、p、r r7.在三角形ABC中，动点A.外心 B.心P满足：CA CB 2AB?CP，则 p 点一疋通过 ABC的( B ) C.重心 D.垂心Word资料