关于实数基本理论课件

1、3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-81 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-82 当代著名数学家，当代著名数学家，柯朗柯朗曾指出：曾指出： “微积分，或者数学分析，是人类微积分，或者数学分析，是人类 思维的伟大成就之一。它处于自然思维的伟大成就之一。它处于自然 科学与人文科学之间的科学与人文科学之间的 地位，使地位，使 它成为高等教育的一种特别有效的它成为高等教育的一种特别有效的 工具。遗憾的是，微积分的教学方工具。遗憾的是，微积分的教学方 法有时流于机械，不能体现出这门法有时流于机械，不能体现出这门 学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗学科乃是一种撼人心灵的智

2、力奋斗 的结晶。的结晶。” 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-83 学习重在学习重在“习习”， 知识重在知识重在“识识”， 文化重在文化重在“化化”, , 教育重在教育重在“育育”。 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-84 第二部分第二部分极限续论极限续论 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-85 二二. .上确界和下确界上确界和下确界 一一. .子子 列列 三三. 几个实数基本定理几个实数基本定理 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-86 一一. .子子 列列 123 25978 , nn Dxx xxx xx f

3、x e x ：， ，按原来次序 自左向右任意选取无穷多个项， 如 ， ，构成一 ： 个新的数列， . n x这种数列称为的个子列一 可见一个数列可以有无穷多个子列可见一个数列可以有无穷多个子列. 为了方便为了方便,用另一种下标来表示它用另一种下标来表示它. 2 . 111 21nnn 如：数列和是两子列 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-87 1k nnn xkxx记第一项为，第 项为，于是可将的子列表示为 : k n x 12k nnn xxx， . kk nknk kxknxn表示在子列中是第 项，表示在原数列中是第项 在选出的子列中在选出的子列中, ., k knkh

4、 kNhk显然，对每一个 ，有又若 . hkhk nnnnhk则； 反 之 ， 若， 则 n xn1,2,3n如： 数列：， k n x子列：3,7,11， 3 k311n11子列中第项 ，在原来数列中是第项， 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-88 kk nkn xknxa因为在子列中的下标是 而不是 ，若收敛于 ， 0aKNkK 即对及定数 ，当时， k lim. k n xa 这时记为 k n xa一切全部落在 点的 邻域内， 对于给定的一个收敛数列对于给定的一个收敛数列 ,它的任何子列它的任何子列 是否也收敛呢是否也收敛呢? n x 又子列的极限与原数列的极限有什么

5、关系呢又子列的极限与原数列的极限有什么关系呢? 下面的定理回答了这个问题下面的定理回答了这个问题. 问题：问题： k n x 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-89 定理定理1: n lim,. k nnn xaxxa 若则的任何子列都收敛于 lim0. nn xaNnNxa 因为，所以，当有 kKN KNkKnnnN 取，则对，有，即 . k n xa 证毕证毕 此定理用来判别数列此定理用来判别数列 不收敛不收敛很方便很方便.若若 在数列在数列 中有一个子列不收敛中有一个子列不收敛,或有两个子或有两个子 列不收敛于同一极限列不收敛于同一极限,就可以判断就可以判断 不收敛不

6、收敛. n x n x n x 证明证明: 如：数列如：数列0,1,0,1一定发散一定发散,因为它有两因为它有两 个子列分别收敛于个子列分别收敛于0和和1.故数列不收敛故数列不收敛. 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-810 例例1: sin 8 nn n xx 设，在中取出两个子列： . 8 8 sin, 8 16 sin 8 8 sin， k . 8 144 sin 8 20 sin 8 4 sin， ）（ ， k sin 8 n n x 因此发散。 第一个子列收敛于第一个子列收敛于0, 第二个子列收敛于第二个子列收敛于1, 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 20

7、21-8-811 在第二章曾经讨论了函数极限和数列极限的关系在第二章曾经讨论了函数极限和数列极限的关系(海涅定理海涅定理): 00 lim: nnn f xAxxx nxx（ ）（）， . n f xA n有（ ）（） 现在进一步有以下推论现在进一步有以下推论: 推论推论: 00 : nnnn xxx nxxf x若（），都有 （ ） 收敛， 0 .f xx则（ ）在 极限存在 证明证明:只要证明对任何满足上述条件的数列只要证明对任何满足上述条件的数列 都收敛于同一个极限即可都收敛于同一个极限即可.(反证法反证法) nn xf x，（ ） 0 xx 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 20

8、21-8-812 假设存在两个数列假设存在两个数列: (1)(1)1 001 (), nnn xx nxxf xA n （） 有（）（）； (2)(2) 002 (), nnn xx nxxf xA n （2） 有（）（）； 12, AA且现将上两个数列合并为一个新数列： (1)( 2 )(1)( 2 )(1)( 2 ) 1122 , nn xxxxxx : n x 00nnn xx nxxf x ， 由假设可见，（），（ ）不收敛， 这与已知条件矛盾这与已知条件矛盾.这就证明这就证明 .即推论得证即推论得证. 12 AA (1 )( 2 ) , nn xx 3.1关于实数基本定理关于实数基本

9、定理 2021-8-813 二二.上确界和下确界上确界和下确界 第二章对于极限的概念、性质及其运算的讨论，仍第二章对于极限的概念、性质及其运算的讨论，仍 然不能满足今后继续深入研究讨论的需要然不能满足今后继续深入研究讨论的需要.这里将要介绍这里将要介绍 关于实数的几个基本定理关于实数的几个基本定理,这几个基本定理是进一步深入这几个基本定理是进一步深入 研究函数的严格的理论基础研究函数的严格的理论基础,为此需要引进两个新概念为此需要引进两个新概念:上上 确界和下确界确界和下确界. 我们以应用比较广泛的数集为背景我们以应用比较广泛的数集为背景,给出给出上确界和下上确界和下 确界确界的一般性定义的一

10、般性定义. 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-814 数集分为数集分为有限数集有限数集和和无限数集无限数集.通常也说数列是一个数集通常也说数列是一个数集. :1xx 1是 一 个 无 限 数 集 它 没 有 最 小 数 ； 1 1 ( ),; 2 n n 2 数列也是一个无限数集它没有最大数 但有最小数 1 1 ( ),; 2 n n 3 数列也是一个无限数集它没有最小数 但有最大数- 任何任何有限数集有限数集都有一个最大和最小数都有一个最大和最小数, 但对于但对于无限数集无限数集来说就未必了来说就未必了. 例如：例如： 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8

11、-815 因而因而,若它有最大数若它有最大数,则这个最大数是它的一个则这个最大数是它的一个 上界上界,并且所有比这个最大数小的任何数都不是它的上界并且所有比这个最大数小的任何数都不是它的上界, 对于对于有界数列有界数列来说来说,它有无穷多个上界和无穷它有无穷多个上界和无穷 多个下界多个下界. 此时这个最大数自然就是它最小的上界此时这个最大数自然就是它最小的上界; 同样同样,若它有最小数若它有最小数,则这个最小数是它的一个则这个最小数是它的一个 下界下界,且比这个最小数大的任何数都不是它的下界且比这个最小数大的任何数都不是它的下界. 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-816

12、关于他们的存在性暂且不论关于他们的存在性暂且不论,我们先对一般数集我们先对一般数集 确切定义它的确切定义它的最小的上界最小的上界和和最大的下界最大的下界. 即上即上(下下)确界确界 的概念的概念. 但从上例可见但从上例可见,对于一般无限数集不一定有对于一般无限数集不一定有 最大数最大数或或最小数最小数. 然而对于某些无限数集来说然而对于某些无限数集来说,最小的上界最小的上界和和 最大的下界最大的下界确实存在确实存在. 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-817 定义定义:设给定一数集设给定一数集E, 若若 一个数一个数 ,适合适合 以下条件以下条件: x;x E， 00 0,

13、 supsup. xEx EEx 至少 一个数，使， 则 称为 的记为或上确界， xE 即即 就是就是E的最小的上界的最小的上界. (2). (1). 条件条件(1)说明说明 是是E的上界之一的上界之一, 条件条件(2)说明凡是小于说明凡是小于 的任何数都不是的任何数都不是E的上界的上界. 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-818 定义定义: 设给定一数集设给定一数集E,若若 一个数一个数 ,适合以下条件适合以下条件: x.;x E1， 00 0,( ). .infinf xEx EEx 2至少 一个数，使， 下确则 称为 的记，为界或 xE 即即 就是就是E的最大的下界的

14、最大的下界. 由以上定义可得上由以上定义可得上(下下)确界的唯一性定理确界的唯一性定理. 条件条件(1)说明说明 是是E的下界之一的下界之一, 条件条件(2)说明凡是大于说明凡是大于 的任何数都不是的任何数都不是E的下界的下界. 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-819 定理2:设数集有上设数集有上(下下)确界确界,则上则上(下下)确界是唯一的确界是唯一的. 说明说明: 1. 并不是任何数集都有上并不是任何数集都有上(下下)确界确界.对任何对任何有限数有限数 集集来说它们一定存在来说它们一定存在.而且由定义知而且由定义知:最大数就是它的最大数就是它的 上确界上确界,最小数就

15、是它的下确界最小数就是它的下确界. .n.如对于正整数数列显然不存在上确界 n.对于负整数数列显然也不存在下确界 对任何对任何无限数集无限数集来说它们就不一定存在了来说它们就不一定存在了. 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-820 2.一个一个无限数集无限数集E即使它有上确界即使它有上确界 (或下确界或下确界 ) , 这个这个 (或或 )可属于可属于 E也可以不属于也可以不属于 E. 1 .,. n 01.EE 如数列由定，而义但 ( . E若或 ），则称上确界（或下确界 ）； 否则就说上确界（或下确界 达到 ） 可 不达到 3. 上例中上例中,下确界下确界0不达到而上确界

16、不达到而上确界1可达到可达到. 上确界或下确界可达到时上确界或下确界可达到时,它必是它必是E的最大数或最小数的最大数或最小数. 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-821 .xExE因为若有一个，且，则 就不是 的最小上界了 对下确界可达到必是数集对下确界可达到必是数集E的最小数的情况也可同样说明的最小数的情况也可同样说明. 例例2: 1 11 101 2 E n ， ，（不达到），（达到）； 2 121En ， ，（达到）， 不存在； 3 121En ， ， 不存在，（达到）； 4 E由 一 切 整 数 组 成 ，及都 不 存 在 ； 5 0101.Exx：，则（不达到），

17、（达到） 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-822 数集数集E的上的上(下下)确界还有一个重要性质确界还有一个重要性质: EE若（或 ）为 的上（下）确界且（或 ）， 2 . nnn Exxx则 中必有数列，使（或）（习题 ） 如何求数集如何求数集E的上的上(下下)确界确界,有下面的定理有下面的定理. 定理定理3: 有下界的非空数集必有下确界有下界的非空数集必有下确界. (确界定理确界定理) 有上界的非空数集必有上确界有上界的非空数集必有上确界, (直观上容易理解直观上容易理解,不加证明予以承认不加证明予以承认) 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-823

18、 定理定理4:单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 证明证明: (就单调增加的有界数列予以证明就单调增加的有界数列予以证明) sup. nn yy设有界，则必有 由上确界定义有由上确界定义有: (1).(1,2,); n yn 20 Nn nN yy nNyy （ ），至少有，但单增， 故当，有， .,0, nn ynNy从而即当时 有 . n yn所以，（）(证毕证毕) ,. nn yy又单增 证明 就是的极限 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-824 这里不仅证明了单调有界数列的极限存在这里不仅证明了单调有界数列的极限存在,而且也证明而且也证明 了如果它是单增的了

19、如果它是单增的,则极限就是它的上确界则极限就是它的上确界. 同样可证单减有界数列的极限存在同样可证单减有界数列的极限存在,并且极限就是它并且极限就是它 的下确界的下确界. 推论推论: nn yyn 若为单增无界数列，则（）； nn yyn 若为单减无界数列，则（）. 这是因为单增无界数列必定不以有限数为它的上界这是因为单增无界数列必定不以有限数为它的上界, 故可以认为它的上确界为故可以认为它的上确界为 ;同样同样,对单减无界数列可对单减无界数列可 以认为它的下确界为以认为它的下确界为 . 作业：作业：p114 3、4、5 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-825 定义定义:

20、 三三. 区间套定理区间套定理 nn ab， 具有如下性质具有如下性质若无穷闭区间列若无穷闭区间列 为为闭区间套闭区间套 , 称区间集合称区间集合简称区间套简称区间套. nn ab， 11 12 nnnn ababn ，（， ，） (1) lim0 nn ba（） n (2) 1122nn aabbab 则则 数列数列 收敛于同一极限收敛于同一极限 ,且且 是所有是所有 区间的唯一公共点区间的唯一公共点. nn ab， 定理定理5: 后后 在在 前前 内内 几何意义几何意义 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-826 证明: . , 2 , 1 ，n a n 且且 有有 并按

21、区间套的条件并按区间套的条件 也有极限也有极限 递减有界数列递减有界数列 同理同理 ) ( 2 ， b ， n , lim lim n n n n a b . , 2 , 1 ，n b n 且 . , 2 , 1 ，n b a n n 从而有 . 是唯一的是唯一的 的的 下面证明满足题设条件下面证明满足题设条件 , , 2 , 1 , n b a n n 也满足 设 由区间套定义知由区间套定义知为递增有上界数列为递增有上界数列 n a 依单调有界定理依单调有界定理有极限有极限 n a ( 是所有区间的公共点是所有区间的公共点) 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-827 .

22、, 2 , 1 , n a b n n 则 得 由区间套定义 ) ( 2 , 0 ) ( lim n n n a b 则 . 故有 证毕. 推论: , (1,2,)a b n若是闭区间套 , nn a b 所确定的点, 0,( ; ). nn NNnNa bU 则有 说明:区间套中要求各个区间都是区间套中要求各个区间都是闭区间闭区间, ,才能保证定才能保证定 理结论的成立理结论的成立. . 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-828 定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,说明说明: 1221nn aaabbb 1122n

23、n ababab，； 即区间集合满足关系： 即闭区间的端点满足不等式即闭区间的端点满足不等式: 如果区间列中任何两个区间不完全重合，如果区间列中任何两个区间不完全重合， 即区间的端点满足不等式即区间的端点满足不等式: 1221nn aaabbb 即开区间集合满足关系： 1122nn ababab，； 区间套定理一般将不成立。区间套定理一般将不成立。 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-829 四四. 致密性致密性(聚点定理的特殊情形聚点定理的特殊情形)定理定理 : 设 为数轴上的点集, 为定点,(它可以属于 ,也可以不属于 S SS 若 的任何邻域内都含有 中无穷多个点,则称

24、 为 的聚点. SS 聚点概念和下面两个定义等价: 对于点集 , 若点 的任何 邻域都含有 中异于 的点,即 ,则称 为 的聚点.S SS ( ; ),o 若存在各项互异的收敛数 列 , 则其极限 称为 的聚点. (定理证明用到) n xS n n xlim S 说明说明: 定义定义 若数列仅仅是有界的若数列仅仅是有界的,则它不一定收敛则它不一定收敛. 那么有界的发散数列是否有收敛的子列呢那么有界的发散数列是否有收敛的子列呢? 致密性致密性(聚点聚点)定理对这个问题给出肯定的回答定理对这个问题给出肯定的回答. 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-830 外尔斯特拉斯（外尔斯特

25、拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897） 德国数学家。被誉为德国数学家。被誉为“现现 代分析之父代分析之父”，主要贡献，主要贡献 在函数论和分析方面在函数论和分析方面.发现发现 函数项级数一致收敛性函数项级数一致收敛性,第第 一个给出行列式的严格定一个给出行列式的严格定 义义.大器晚成对整个数学界大器晚成对整个数学界 带来巨大影响的伟大数学带来巨大影响的伟大数学 家。家。 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-831 定理定理6(Weierstrass) : (实轴上任一有界无限点集实轴上任一有界无限点集 至少有一个聚点至少有

26、一个聚点.)S 证明证明: : a ,b现将等分为两个区间,故两个区间中至少 11 11 a ,b , , n y a b n 有一个区间中含有 y中无穷多个数. 记此子区间为若两个区间都含有无穷个 则任取其一为 11 a ,b n 再将等分成两个子区间,则其中至少有一个子区间 含有 y中 22 a ,b ,无穷多个点,记其为则按此方法继续, 1122 a,ba ,b ,a b; 任一有界数列必有收敛的子列任一有界数列必有收敛的子列. nn yabRayb设为有界数列，即，使， 则得到一个区间列 并适合下列条件: nn ab， (1). (2) limlim0 2 nn n ba ba （），

27、 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-832 nn a ,b 即是区间套, ,由区间套定理必有唯一点a,b 证毕证毕. 12. nnkk abnabk使，（），且， （， ，） ., kkn aby 每个中均含有的无穷多个元素 1 1122 , nn a byyab在中取的一项 记为在中取 12 21 , , nnkk yynna b以后的一个项 记为则继续在每个中 , kk nnn yyy都这样取出一个数得到的一个子列其中: 12 0. nn xMMRnNxM 因无界，故（），至少，使 1 1 11 n Mnx现 在 ， 先 取， 则 必使； 2 2 22 n Mnx 1

28、再取，在n 后必使； 3 3 33 n Mnx 2 又取，在n 后必使； 123 12 k kn nnnnxk k 这样得到：，使（， ， ）， . ）（即证明了kx k n 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-834 五五.Cauchy收敛原理收敛原理 n x对于数列的收敛性定理4是重要的判别法， .件，而不是必要条件但它只是收敛的充分条 . n x数列自身特问题是能否依据给出它收敛的充要条件性 (单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限) 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-835 柯西（柯西（Augusitn Louis Cauchy，1789- 18

29、57）法国数学家。对数）法国数学家。对数 学最大贡献在微积分中引学最大贡献在微积分中引 进清晰严格的表述和证明进清晰严格的表述和证明 方法，形成微积分现代体方法，形成微积分现代体 系。第一个使用极限符号系。第一个使用极限符号, 定义上定义上下极限和证明重要下极限和证明重要 极限极限.许多见解被普遍接受许多见解被普遍接受 并沿用到今并沿用到今.多产的数学家多产的数学家 一生发表论文一生发表论文800余篇余篇.著著 书书7本本共共27卷卷. 数学分析的奠基人数学分析的奠基人. 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-836 定理定理7:0 n xNNmnN 数列收敛，当 ， . nm

30、 xx有 证明证明: ()lim0 2 nk xaNkNxa 若，则，当，有， nmnm mnNxxxaax从而当 ，时，有 . 22 (Cauchy收敛原理收敛原理) n (这里用这里用k是为区别于表述中的是为区别于表述中的m和和n) 首先首先,证明满足条件的任何数列证明满足条件的任何数列 一定一定有界有界. () n x 00 11. nm NmnNxx由条件，取，当 ，有 0 001 11. nN nNmNxx 特别地，当且时，有 000 0111 1 nnNNN nNxxxxx 从而当时有 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-837 其次其次,证明数列证明数列 收敛收

31、敛. n x 由 的有界性和定理6,必存在收敛子列 n x k n x， ax k n lim设根据子列收敛定义,对任意给定的 0. k n KNkKxa ，当时有 00 max1,1 ,kKNkK取于 是且 0 0 1 1., k kNnn nnNNnNxx 因此 当时 有 00 2lim. kk nnnnn xaxxxaxa即 所以, k n 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-838 这个定理的充要条件表明这个定理的充要条件表明,在收敛数列在收敛数列 中必有这中必有这 样一项样一项 ,在这项以后任意两项之差的绝对值为任意小在这项以后任意两项之差的绝对值为任意小. n x

32、 N x 由于定理给出的是充要条件由于定理给出的是充要条件,所以也可以用来判定某些数所以也可以用来判定某些数 列不收敛列不收敛. 例例3: .321 1 3 1 2 1 1发散），证明，（设 nn xn n x 证明证明: nnnn xxnmNn nm 1 2 1 1 1 ,2,有取 , 2 1111 nnnnnn 于是若取, 2 1 则不会有正整数则不会有正整数N,使得当使得当 时时,有有n N 1 . 2 mn xx .7无极限知由定理 n x (缩小缩小) 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-839 六六. 有限覆盖定理有限覆盖定理 定理定理8 (Heine-Borel

33、e 有限覆盖定理有限覆盖定理) 定义定义:EI设一开区间集（元素是开区间）及某一区间（开或闭）， IE 若对，至少一个区间，使，则称开 . IE覆盖区间区间集 如如: .10), 2 1 , 1 (), 4 3 , 2 1 (), 3 2 ,0(:），（覆盖区间区间集 I n n n n E ），（覆盖10)1 , 1 1 ( I n E 中的，则必，覆盖一个闭区间若开区间集EbaIE 。，有限个开区间覆盖baI (有限覆盖有限覆盖) 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-840 证明证明: : abE假设，不能被 中有限个区间所覆盖， , a b将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间 不能用E则记其为中有限个开区间来覆盖,. 11 ba ).( 2 1 , 11,11 ababbaba且 11 ,a b将等分为两个子区间，同样其中至少有一个子区间 不能用 22 .,a bE中有限个开区间来覆盖 记其为则 ).( 2 1 , 2 22,1122 ababbaba且 (反证法反证法) , 2 , 1, ,11 nbaba nnnn ).(0)( 2 1 nabab n nn 3.1关于实数基本定理关于实数基本定理 2021-8-841 , nn a b即是区间套，