正交化及正交矩阵PPT学习教案

1、会计学1 正交化及正交矩阵正交化及正交矩阵 2. 内积的性质 (1) = (3) = + (2) = 3. 向量的范数 称 2 1 n i i x 为向量X的长度 (范数), 记为|X| (4)X,YX Y 称|X Y|为X与Y之间的距离. 第1页/共21页 证明： 令 f(t) = ， 显然函数f(t) 0且 f(t) = + = + t + t + t2 = |X|2 + 2t + t2|Y|2 从而有： 222 4X,Y4 XY0 即 X,YX Y 证毕 称 X,Y arccos XY 为向量X与之间的夹角. X,Y cos XY 即 XYX,Y0 ,特别 第2页/共21页 4. 范数的

2、性质 (5) |X| 0, 且 |X| = 0 X = 0 (6)XX (7) XYXY 证明: 由 2 XYXY,XY 22 X2X,YY 再由 X,YXY 得到: 2 2 XYXY 即: XYXY 证毕 第3页/共21页 例1. 设X, Y, Z皆是n维向量, 试证明三角不等式: XZXYYZ 证明: XZ(XY)(YZ) XYYZ 例2. 设X, Y是两个相互正交的n维向量, 试证明勾股定理: 222 XYXY 证明: 2 XYXY,XY X,XX,YY,XY,Y 22 XY 第4页/共21页 定理1.非零的正交向量组必然是线性无关的。 证明： 设1, 2, , m是一组两两相互正交的非

3、 零向量. 1, 2, , m是一组数， 11 + 22 + + mm = 0 使得 则 0 = = j 又|j|2 0, 所以j = 0, j = 1, 2, , m 从而1, 2, , m线性无关 证毕 第5页/共21页 二. 向量空间的标准正交基 1.标准正交基的定义及其性质 定义:设V是一个向量空间，1, 2, , m是V的一组基，若满足： 1）1, 2, , m两两相互正交 2）|j| = 1, j = 1, 2, , m 则称1, 2, , m是向量空间V的一组标准正交基. 第6页/共21页 定理2 若1, 2, , m是向量空间V的一组标准正交基， = 11 + 22 + + m

4、m是V中的一个向量，则j = , j = 1, 2, , m 证明： , 1 , m jjii i 1 , m iji i 1,2,jm j 2. Schmidt正交化过程 定理3 若V是Rn的一个非零子空间，则V一定有标准正交基 . 第7页/共21页 证明： 设1, 2, , m是V的一组基。 取 11, 1 1 1 1 2 取 22211 , 22112 1 1 , 2 2 2 取 33311322 , 3 3 3 , 2 3 32 1 , k k k k 1 2 3 第8页/共21页 设1, 2, , s, s m,是两两正交的单位向量,并且该向量组与1, 2, , s等价. 取 111

5、 1 , s ssskk k 1 12 1 , s sk sk k k 1 1 1 s s s ; 当 j = 1, 2, , s 时, 111 1 , s sjsjskkj k 11 , sjsjjj 0 第9页/共21页 显然, 1, 2, , s, s+1是两两正交的单位向量,并且该向量组与1, 2, , s, s+1等价. 经过若干次后我们就可以得到V的一组标准正交基1, 2, , m。 1 = 1, 222112 1 1 ,) 3331132222 12 11 ,),) 证毕 Schmidt正交化过程 第10页/共21页 112 1 1 ,) k kkkjj j j ,k = 1,

6、2, , m-1 ,1,2,., j j j jm 例3. 把列向量组1 = (1, 0, 1, 1)T, 2 = (1, 1, 0, 1)T, 3 = (0, 1, 1, 1)T正交化。 解:令1 = 1, 222112 1 1 ,) 11 102 301 11 1 31 32 1 第11页/共21页 3331132222 12 11 ,),) 011 10324 315112 111 4 31 53 1 123 114 033111 , 12331535 111 第12页/共21页 例 . , 1 1 1 3 21321 两两正交两两正交 使使求一组非零向量求一组非零向量已知已知 a aa

7、aaa 解 . 0 , 0, 321 132 xxx x aaa T 即即应满足方程应满足方程 . 1 1 0 , 1 0 1 21 它的基础解系为它的基础解系为 第13页/共21页 把基础解系正交化，即合所求亦即取 , 1 2 a . , , 1 11 21 2 3 a 于是得于是得其中其中, 2, , 1, 1121 , 1 0 1 2 a . 1 2 1 2 1 1 0 1 2 1 1 1 0 3 a 第14页/共21页 3. 向量在向量空间上的正交投影 定义: 设V是Rn的一个非平凡的子空间,Rn，若在V中存在某向量，使得 - 与V中任何一个向量皆正交，则称为向量在向量空间V中的正交投

8、影向量。 定理4. 设V是Rn的一个非平凡的子空间, Rn,则在向量空间V中的正交投影向量存在且唯一. 证明： 设1, 2, , m是向量空间V的一组标准正 交基. 取 1 , m kk k 第15页/共21页 则 = - = - = 0， 说明向量 - 与V的标准正交基1, 2, , m中的任何一个向量皆正交， 从而与V中的任何一个向量皆正交。 故是向量在向量空间V中的正交投影向量。 若也是向量在向量空间V中的正交投影向量， 由于:= + = 0，j = 1, 2, , m， 第16页/共21页 以及V，V的维数等于m， 推知 = 即, 在向量空间V中的正交投影是唯一的。 定理5 设V是Rn

9、的一个非平凡的子空间，Rn，是在向量空间V中的正交投影向量，则对于V中的任何一个向量，只要 ，就有：| - | | - |2. 即：| - | | - | 证毕 三. 正交方阵及其性质 定义：设A是一个n阶方阵，若ATA = En则称A为一个n阶正交矩阵。 1. A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置矩阵是一个正交矩阵。 2. A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的n个列向量构成了Rn的一个标准正交基. 3. 若A是一个正交矩阵，则|A|2 = 1 第18页/共21页 定义: 若A是一个正交矩阵，则称线性变换Y=AX为正交变换。 正交变换有如下性质：设Y1=AX1, Y2 = AX2 1. = 2. | Y1| =