第三章--固体物理

1、2021/3/261 3.1 引言引言 p金属的一般物理特征金属的一般物理特征:强度高、密度大、电和热导性能 好以及由于光学反射性好而外表光洁等。 p自由电子模型自由电子模型:假定金属中含有非常多的可在整个晶体 中运动而基本上自由的电子,就能解释上述特征。 p本章基本内容本章基本内容: 自由电子模型的概念 在电场中电子怎样传导电流 电子比热 费米能级和费米面 金属电导和热导的精确描述 磁场对自由电子运动的影响（回旋共振、霍尔效应） 金属的热电子发射 自由电子模型的评价及局限性 2021/3/262 年代科学家突出贡献 1780伽伐尼发明伏打电池 1820奥斯特 测定了Cu和BaO的电导率为10

2、6和10-12(cm)-1,发现 (T)=0(1+T),对金属:0;对半导体:0 1831电磁感应现象 1833法拉第观察到0K,随T升高而增大。最初很缓慢,而后随T线性增加; 在熔化之前一直保持为线性。 (a) Na 在低温区的在低温区的 归一化的电阻率归一化的电阻率 (T)/ (290K)与与T 的关系的关系 (b) 较高温度区的情较高温度区的情 况。况。 (290K) 2.10 10-8m ()T K 0 6 10 14 18 22 1 2 3 4 5 10-3 (T)/(290K) (T)/(290K) 7 14 21 10-3 0 20 40 60 80 100 ()T K (a)(

3、b) 2021/3/2618 p定量分析定量分析 1/实际上等于单位时间内电子被散射的可能次数。若=10-14s,则电子 每秒碰撞1014次,电子仅与晶格的缺陷发生碰撞,偏离完美晶格的缺陷分 为两类: 1 2 1m Ne l偏离完美晶格的缺陷偏离完美晶格的缺陷 +由于热激发在平衡位置附近离子的晶格振动（声子）; +一切静态缺陷,例如外来杂质或晶格缺陷。 假设声子和杂质缺陷所起作用的机制是相互独立的,则电子被声 子和杂质散射的几率是可加的,所以有: 111 phi +第一项为声子散射引起的,决定于温度T; +第二项为杂质散射引起的,由杂质决定与温度T无关 电阻率表示为: 22 11 phi ph

4、i mm T NeNe +第一项为声子散射引起的,称为理想 电阻率,是纯净样品的电阻率; +第二项为杂质散射引起的,称为剩余 电阻率 2 r Ne m 2021/3/2619 当温度当温度T极低时极低时: ,0 phphi 常数 振动幅度非常小,声子散射可以忽略,此时: 升高温度升高温度T: ph T 声子散射较为明显, 增加,这就是电阻率增加的原因。 温度温度T足够高时足够高时: ph T声子散射占支配地位, ,且随T线性增加 2021/3/2620 碰撞时间为: l电子与杂质之间的弹性碰撞电子与杂质之间的弹性碰撞 指定杂质的散射截面（一个杂质原子对入射电子所暴露的面积） 为 ,通过普遍的气

5、体动力论的论证可得到: i i r 由杂质引起的电阻率表达式: 222 1 r iiir ii mmm N NeNeNe + :电子与杂质碰撞的自由程 + :杂质浓度 + :与杂质原子实际几何截面的数值相同（12） i i 1 iii N i N i 电阻率与杂质浓度成正比电阻率与杂质浓度成正比 2021/3/2621 电子与声子弹性碰撞的平均自由程: l电子与声子之间的弹性碰撞电子与声子之间的弹性碰撞 假定偏离平衡位置的位移是x,则散射的平均截面为: 1 ph ionion N 频率可使用爱因斯坦频率或德拜频率 +:晶格中金属离子的浓度,对一价的金属等于传导电子数 + :每个离子散射截面,这

6、里与离子的几何截面无关,相当于热振动的离子对通 过 它的电子所暴露的面积。 2 ion x ion N ion + 是x2的平均值,可作如下估算:由于离子是谐振子,其势能的平均值等于总 能量的一半,于是有: 2 / 1 1 2 221 kT E x e 注意这里是力常数 2021/3/2622 应用爱因斯坦温度,碰撞时间的倒数表示为: 由声子振动引起的电阻率表达式: / /2/ 22 / 1 1 11 4 1 44 11 EE EE r rionionrionr kT phph rr TT rr TT E NNN e NN Mee NN MkMee + 在高温区（TE）, ,与实验一致; 22

7、 22/2/ 4111 4 11 EE r phr TT phEE mmm TN kMkMNeNeeee 1/2 4 m M M为离子的质量 ph E T T + 在低温区（T0K时分布时分布 函数函数f（E）随）随E的变化的变化 f E 0f E 1f E f E f E 1 0 F EE F EE F E E f E 0 1 0TK 0TK 2021/3/2628 T0K 时,热能要激发电子,但与经典结果相反。 该能量并非同等地分配给所有电子:这好似因为能量比费米能级EF低得多的 电子不可能吸收能量。要是果真吸收的话,就要往那些已被占据的较高能级 跳,这是违背不相容原理的。 1 1 F E

8、 E kT f E e 电子吸收热能的数量级为kT（在室温时为0.025eV）,这比数量级为5eV的 EF小得多,因而只有费米能级附近的那些电子才能被激发; 由于EF以上能级是空的,电子跳到较高能级时并不违背不相容原理。从而只 有总数很小的一部分电子能被热激发,这就解释了电子比热小得原因。 T0K 的分布函数如下,又称为费米-狄拉克分布。其分布与T=0K 的分布基本相同,只是费米能级下面极小范围内的电子才被激发 到EF以上。 2021/3/2629 l利用分布函数计算电子的热能和热容量（近似处理）利用分布函数计算电子的热能和热容量（近似处理） -由于只有费米能级附近kT范围内的电子才被激发,可

9、认为只有 kT/EF部分的电子受影响,因此每摩尔被激发的电子数约为: / AF NkTE -由于平均地每个电子吸收的能量为: kT 2 / A AF F NkT ENkTEkT E -每摩尔的热能近似地表示为: 2 e F EkT CR tE -比热为: 该电子的比热较经典值（数量级为R）缩小了,缩减因子为1/200,与实 验值相符。 3001 5200 F kTkK EeV 2021/3/2630 - 引入费米温度TF,定义为EF=kTF,于是比热改写为, - 电子热容量的精确计算值: 2 e F T CR T + 当EF=5eV时,TF=60000K。为了使固体的电子比热达到经典值, 固体

10、必须被加热到可与TF相比,这是不可能的,在远未达到此温 度之前,固体早就溶解或汽化了!因此对于所有实际温度,电子 比热远低于经典值。 + 电子热容量为温度的线性函数（与晶格热容量完全不同,高温 时为常数,低温时与T3成正比） 2 2 e F kT CR E 2021/3/2631 3.7 费米面费米面 p速度空间速度空间 金属中的传导电子处于持续无规则运动状态。若把这些电子看成 自由粒子,它们的能量全部为动能, 2 1 2 Em 定义定义:以 为坐标轴,此空间中每个点代表一个唯 一的速度（大小和方向都包括在内）。由于电子的速度各 不相同,且杂乱无章,所以代表电子速度的点就均匀充满该 空间。 ,

11、 xyz 2021/3/2632 p费米球及费米面费米球及费米面 在速度空间内存在一个球,球外的所有点是空着的,该球的半 径等于费米速率 ,它和费米能的关系为: 2 1 2 FF Em 球外的点所对应的能量大于EF,在 T=0K时是未被占据的,而球内各点则 完全被充满。该球称为费米球费米球,其表 面称为费米面（费米面（FS）。 F x y F 费米球和费米面费米球和费米面 费米面 费米球 2021/3/2633 p费米面的主要性质费米面的主要性质 -费米面受温度影响不明显费米面受温度影响不明显:温度升高,只有比较少的电子从FS之内激发 到FS之外,与T=0K时的情况差别很小。 19 61 31

12、 25 1.6 10 2 10 9 10 F F E m s m 与FS一样,费米速率与温度没有关系。 -费米速率费米速率: -费米能量费米能量:主要决定于电子浓度。浓度越大,容纳全部电子所需的最高 能级越大,EF也就越大。 22 2 3 3 2 F En m 若将典型值n=1028m-3代入,可得EF5eV。 2021/3/2634 22 2 F F k E m 费米能（费米能（Fermi Energy） 2 2 F F m E k 费米半径（费米半径（Fermi Wave Vector） F F k m 费米速度（费米速度（Fermi Velocity） F F B E T k 费米温度（

13、费米温度（Fermi Temperature） FF Pk 费米动量（费米动量（Fermi Momentum） 0 0 3 2 F F n N E E 费米面态密度费米面态密度 2021/3/2635 pT=0K时费米能的计算时费米能的计算 3 3 4 2 38 F V kN 自旋因子K空间Fermi 球体积 K空间态密度电子数 电荷密度电荷密度 3 2 3 F kN n V 1/3 2 3 F kn 22 2 3 3 2 F En m 2021/3/2636 3.8 电导率电导率 费米面的作用费米面的作用 p从费米面出发理解电导率从费米面出发理解电导率 x y 平衡时的费米球平衡时的费米球

14、无外场,FS的球心在原点。各电子都在运动,有些 电子的速率还很大,而且它们都各自运载电流。 但是,系统的总电流却为零。因为每个速度为V的 电子,必然有一个（-V）的电子,这一对电子的电 流总计为零。由于各对电子的电流都相互抵消, 系统总的电流为零。 有外场,每个电子得到一个漂移速 度 ,整个FS球向左平移。尽管平 移很小,以及绝大多数电子的速度仍然相 互抵消,但某些电子,图中绿色的部分电子 速度却不能对消,因而产生宏观电流。 d e E m x y 外场下费米球的平移外场下费米球的平移 E 2021/3/2637 p电导率的计算电导率的计算 -未被对消的这部分电子近似为 ,因此这部分电子的浓度

15、 为 ,由于每个电子的速度约为 ,电流密度表示为: d F d F N F d Fd F JeNNe -以 代入得到 2 F Ne JE m F d e E m （F是FS上一个电子的碰撞时间） -由此得到电导率的表达式: 2 F Ne m 2021/3/2638 p讨论讨论 -电导率的经典图像电导率的经典图像:电流是所有电子均以很小的速度 运动所产 生的。 高温时, d （与温度有关的量是平均自由程） 22 FF F NeNe mm -电导率的量子力学图像电导率的量子力学图像:电流是由很少量但速度极大的电子运动 所形成的。 11 , F T TT 电流是费米面附近的电子所输运的电流是费米面附

16、近的电子所输运的,这些输运现象与费米面的这些输运现象与费米面的 特性、形状等关系极为密切。费米球内离特性、形状等关系极为密切。费米球内离FS较远的电子较远的电子,就所就所 讨论的电传导过程来说是没有关系的。讨论的电传导过程来说是没有关系的。 2021/3/2639 3.9 热导率热导率 p基本概念基本概念 -热流密度（单位时间内通过单位横截面的热能）与温度梯度成正比: dT jk dx + 在绝缘体中,热能完全由声子传输,而金属中则电子和声子都参与传输,所 以热导率等于两者贡献的总和,即: eph kkk + 在大多数金属中,因为电子的浓度大,因此,电子的贡献远大于声子。典型情 况为: 2 1

17、0 phe kk 2021/3/2640 p热传导的物理过程热传导的物理过程 -热端（即左端）的电子向所有方向运动,但有 某一部分向右面运动并向冷端输运能量; 2 T 1 T 21 TT F E 热传导的物理基础。左面高热传导的物理基础。左面高 能电子向右面传递净的能量能电子向右面传递净的能量 -冷端（即右端）也有一部分电子向左面运动, 将能量输运给热端; -这些反方向传输的电子,其电流是相等的。但 是,由于左端电子的平均能量高于右端,结果是 向右端输运了净能量,产生一个热流。 -热能几乎全是由费米能级附近的电子输运的,因为远低于费米能级的那 些电子对输运的贡献彼此抵消了。因此FS上的电子在输

18、运现象中起着 主要作用。 2021/3/2641 p热导率的计算热导率的计算 -热传导公式: 1 3 v kC + CV是电子单位体积的比热,涉及的是单位体积而非一摩尔, 222 22 e FF kTNk T CNk EE + 为速度,因为只有费米能级上的电子才有效,此处需要用 ; 22 1 32 FF F Nk T k E F + 为所含粒子的平均自由程,因为只有费米能级上的电子才有效,此处 需要用 ; F 2 1 2 FF Em F F F 22 3 F Nk T k m 2021/3/2642 p洛仑兹数洛仑兹数 -定义 为洛仑兹数。 k L T 2 1 3 B kk L Te + L仅

19、由基本常数kB和e决定,所以,L对所有金属都应该是相同的,其数值是 2.4210-8J/sK; + 由于电流和热流的载流子相同,电导率和热导率直接相关,这是所预期的。 室温下热导率和洛仑兹数室温下热导率和洛仑兹数 元素NaCuAgAuAlCdNiFe K(J/mKs)1383934182972091005867 L(J/sK)108 2.172.262.342.471.962.631.552.30 + 不同金属的洛仑兹数接近于理论值,但并不严格一致;原因在于: + （1）所采用的是过于简单的自由电子模型;（2）计算输运系数和k时作了简化。 + 更精确的研究表明,L确与具体金属有关。 维德曼维德

20、曼- -弗兰兹定律弗兰兹定律 2021/3/2643 3.10 电子在磁场中的运动电子在磁场中的运动 回旋共振及霍尔效应回旋共振及霍尔效应 p回旋共振回旋共振 -垂直于厚金属板加一磁场,在与磁场垂直的平面内,使电子沿逆时针方向作 圆周运动,这个回旋运动的频率通称为回旋频率,由下式给出: c eB m + 若用自由电子质量代入,则可得: 2.8 2 c c BG H z 式中B以千高斯为单位。当B=1KG时,回 旋频率为2.8GHz,属于微波波段。 B - 电子电子 信号信号 回旋运动回旋运动 2021/3/2644 -若沿B方向有一电磁信号穿过厚金属板,信号电场作用在电子上有些能 量将被电子所

21、吸收,若信号频率等于回旋频率,即: c 则其吸收率最大。当上述条件成立时,每个电子的运动和电磁波同步,从而 电子在整个圆周上都不断吸收能量,因此上式为回旋共振条件。 -若不满足上述条件,则只在圆周的一个部分上 与波同相,也只有这段时间才吸收波的能量, 而在圆周的其余部分,由于二者位相不同,电 子将把能量归还给信号波。作为频率的函数, 吸收曲线如右图所示。 吸收系数和频率的关系吸收系数和频率的关系 c -回旋共振用来测量金属和半导体内的电子 质量。根据吸收曲线确定回旋频率,即可计 算出有效质量,精度取决于C和B的精确度。 2021/3/2645 p霍尔效应霍尔效应 -导线中的电流为方向,外加一垂

22、直于导线的磁场指向,则产生一个附加电 场,该电场既垂直于,又垂直于,即指向。 + 外加磁场下,在洛仑兹力作用下电子朝下发生偏转, 电子积累在下表面,产生净负电荷,同时上表面由于 缺少电子而出现净正电荷。这个正负表面电荷的系 统建立一个向下的电场,称为霍尔电场。 霍尔电场和霍尔效应的起源霍尔电场和霍尔效应的起源 - - + x J y x z h E B FeB + 当洛仑兹力与霍尔力平衡时,达到稳态: xh eBeE + 电流密度为: xx JNe + 霍尔电场为: 1 hx EJ B Ne 霍尔场与电流密度及磁感应强度的乘积成正比霍尔场与电流密度及磁感应强度的乘积成正比, 比例常数通称为霍尔

23、系数比例常数通称为霍尔系数,用用 表示 表示 1 H R Ne 霍尔系数与电子浓度成反比霍尔系数与电子浓度成反比,因此可以通过测量霍而电场来确定因此可以通过测量霍而电场来确定,已成为确定电已成为确定电 子浓度的权威方法。子浓度的权威方法。 霍尔系数的符号能确定载流子的种类。霍尔系数的符号能确定载流子的种类。 2021/3/2646 3.11 热电子发射热电子发射 p基本原理基本原理 -热电子发射:加热金属时,电子从金属表面被发射的现象。 -T=0K时,费米能级EF以下所有能级均被填 满,EF以上是空的。由于表面势垒的存在,EF能 级以上的电子是不能从金属逸出的。势垒的 高度,用表示,通称为功函

24、数,功函数随金属的 不同而不同,在1.55eV。 -T0K时,有些电子会从EF下面向上转移,使EF 以上的能级开始被占据。依照自由电子气模 型,电子在深度为E0的势阱内,电子要离开金属 至少要从外界得到能量为: F E 热电子发射热电子发射 该图是按自由电子模型画该图是按自由电子模型画 出的金属电子能级示意图出的金属电子能级示意图 金属 真空 0 E 0F EE -为逸出功或功函数。当金属丝被加热到很高温度时,有一部分电子获得 的能量多于,它们就可能逸出金属,产生热电子发射电流。 2021/3/2647 p阴极射线管阴极射线管里查逊里查逊-杜师曼方程杜师曼方程 -对自由电子而言,电子的能量为:

25、 -将表面的法向取为x方向,电子能量E应满足以 下条件才能发射: -对于 F E 热电子发射热电子发射 该图是按自由电子模型画该图是按自由电子模型画 出的金属电子能级示意图出的金属电子能级示意图 金属 真空 0 E 22 2 1 22 k Em m ()mk 2 0 1 2 x mE y z , xxx d , xxxyz djedn -电流密度表示为: , xxxyzxxyz Jdjednedn 2021/3/2648 -利用 -远离费米能级EF的区域有 ,并利用 dNdNdkdk gg k dvdkdvdv mk 0 exp1 EE kT 1 , xyzxyz dnf v gddd V 3

26、 xyzxyz dk dk dkddd m 3 3 3 11 22 28 m gV Vm 考虑自旋考虑自旋 0 3 / 3 / 11 ,2 2 1 2 2 F xyzxyz E EkT E EkT xyz m dnVddd V e m eddd 2 ax edx a 2021/3/2649 222 1/2 0 0 3 / 3 111 / / 222 2 2 / 22/ 3 2 2 2 2 4 2 F yzx F F E EkT xxxyz mkTmkTmkT EkT E yzxx m EEkT kT m Jdjeeddd m eeededed m ek T eAT e + ,其数值为120A/

27、cm2K2 2 23 2 m ek A + 上述方程称为里查逊杜师曼方程,与实验符合很好。表明电流密度随温度增加 很快。在通常温度范围内由于kT,其电流密度基本上岁温度指数增加。 + 采用热电子发射可以测定金属的功函数,见下表: WTaNiAgCaPt 4.54.24.64.81.85.3 Richardson-Dushman公式公式 2021/3/2650 p接触电势差（接触电势差（contact potential） -两块不同的金属I和II相接触,或者用导线联结起来,产生不同的电势VI和VII, 这称为接触电势。 -设两块金属的温度都是T,当它们接触时,每秒内从金属I、II单位表面积 所

28、逸出的电子数（n=J/e）分别为: -当III时,则从金属I逸出的电 子数比金属II逸出的多,于是, 两者接触时金属I带正电荷,金 属II带负电荷,它们产生的静电 势分别为: 2 / 3 4 2 I kTI I mkTJ ne e 2 / 3 4 2 II kTII II mkTJ ne e 1F E 两块金属中电子两块金属中电子 气的势阱气的势阱 I II F II E 1F E I II F II E III VV 两块金属中的接触两块金属中的接触 电势差的形成电势差的形成 0,0 III VV 2021/3/2651 -这样,两块金属中的电子分别具有附加的静电势能为-eVI和-eVII。它们发 射的电子数分别变为: -平衡时, ,得到: 2 / 3 4 2 II eVkT I I mkTJ ne e 2 / 3 4 2 IIII eVkT II II mkTJ ne e 1F E 两块金属中电子两块金属中电子 气的势阱气的势阱 I II F II E 1F E I II F II E III VV 两块金属中的接触两块金属中的接触 电势差的形成电势差的形成 III nn IIIIII eVeV -接触电势差为: 1 IIIIII VV e 接触电势差来源于两块金属的费米能级不一样高。电子从费米能级高的 金属I流到较低的金属II,接触电势差正好补偿了EFI-EFII,达