理论力学-动量定理

1、第三篇第三篇 动力学动力学 理论力学理论力学 第第10章章 动量定理动量定理 第第10章章 动量定理动量定理 从本章开始研究适用于从本章开始研究适用于质点系的动力学普遍定理质点系的动力学普遍定理， 即动量定理、动量矩定理和动能定理。在大学物理中即动量定理、动量矩定理和动能定理。在大学物理中 我们已研究过我们已研究过质点的动力学普遍定理质点的动力学普遍定理。 质点系动力学普遍定理，建立了度量质点系整体运质点系动力学普遍定理，建立了度量质点系整体运 动状态的物理量（质点系的动量、动量矩和动能）与动状态的物理量（质点系的动量、动量矩和动能）与 其上作用的力系特征量（主矢、主矩）和功之间的关其上作用的

2、力系特征量（主矢、主矩）和功之间的关 系，每个定理都具有明显的物理意义。系，每个定理都具有明显的物理意义。 与物理学相比，本章着重讲述定理在工程中的应用。与物理学相比，本章着重讲述定理在工程中的应用。 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负地面拔河与太空拔河，谁胜谁负 偏心转子电动机工作时为什么会左右运动？偏心转子电动机工作时为什么会左右运动？ 这种运动有什么规律？这种运动有什么规律？ 会不会上下跳动？会不会上下跳动？ 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 蹲在磅秤上的人站起来时，蹲在磅秤上的人站起来时， 磅秤磅秤 指示数会不会发生的变化？指示数会不会发生的

3、变化？ 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时， 会发生什么现象？会发生什么现象？ 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 水池水池 隔板隔板 光滑台面光滑台面 抽去隔板后，将会抽去隔板后，将会 发生什么现象？发生什么现象？ 水水 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 第第10章章 动量定理动量定理 返回返回 返回总目录返回总目录 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 质点系的动量质点系的动量 质点系的动量定理质点系的动量定理 质点系的动量定理的守恒形式质点系的

4、动量定理的守恒形式 质点的动量质点的动量 质点质量与质点速度的乘积质点质量与质点速度的乘积 mpv 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 动量具有明显的物理意义，它是力的作用效应的一种动量具有明显的物理意义，它是力的作用效应的一种 量度。量度。 质点系的动量质点系的动量 质点系中所有质点动量的矢量和，称质点系中所有质点动量的矢量和，称 为质点系的动量。为质点系的动量。 ii i mPv 质点系的动量是质点系整体运动的基本特征之一。具体计算 时可采用其在直角坐标系的投影形式。 xiixyiiyziiz iii pmvpmvpmv , 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 注意到物理学中，质点系质

5、心位矢 公式对时间的一阶导数： ii i C m m r r v v ii i C m m 式中，rC为质点系质心的位矢； vC为质心的速度；m为质点 系的总质量。据此，质点系的动量可改写为： C mvp 质点系的动量质点系的动量 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 这一结果表明，质点系的动量等于质点系的总质量与质心 速度的乘积。这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的 动量，这也表明，质点系的动量描述了质点系质心的运动。 C mvp 动量所描述的并不是质点系运动的全部，因为它不能描述 质点系的转动效应。 质点系的动量质点系的动量 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 例例: : 求下例图所

6、示物体的动量求下例图所示物体的动量 p=mv m v m w p=0 p=0 w W v p=mvc 对质点系中第对质点系中第i个质点应用牛顿第二定律有：个质点应用牛顿第二定律有： ei )( d d iiiii m t FFFv 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 对于由对于由 n 个质点所组成的质点系可列出个质点所组成的质点系可列出 n 个这样的方程，个这样的方程， 将方程两侧的项分别相加，得到将方程两侧的项分别相加，得到 i i i ii i i m t ei )( d d FFv 注意到质点系内质点间的相互作用力总是成对出现，因此质注意到质点系内质点

7、间的相互作用力总是成对出现，因此质 点系的内力的矢量和等于零，于是上式变为点系的内力的矢量和等于零，于是上式变为 e d () d vF iii ii m t 质点系的动量定理质点系的动量定理 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 e d () d vF iii ii m t e dp F d i i t 这就是动量定理动量定理(theorem of the momentum of the system of particles) )，即：，即：质点系的质点系的 动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。 质点系的动量定理质点系的动量定理

8、动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 e dp F d i i t i i i t t e i t e 12 2 1 dIFpp 质点系动量在某个时间间隔内的改变量等于质点系所受外质点系动量在某个时间间隔内的改变量等于质点系所受外 力冲量力冲量。 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 2 1 t t dt IF 称为力 F 在时间间隔t1-t2内的冲量冲量 ddtIF 称为力 F 的元冲量元冲量 实际应用质点系的动量定理时，常采用投影式 eee d dd , ddd y xz ixiyiz iii p pp FFF ttt 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 电动机的外壳和定 子的总质量为

9、m1 , 质 心C1与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为 m2 ，质心 O2 与转轴 不重合 ，偏心距 O1O2 = e 。若转子以 等角速度旋转 电动机底座所受 的水平和铅垂约束力。 e d , d i i t p F i i i t t e i t e 12 2 1 dIFpp 如果作用在质点系上的外力主矢恒等于零，质点系的动量保持不变。如果作用在质点系上的外力主矢恒等于零，质点系的动量保持不变。 112 Cpp 这就是质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律(theorem of the conservation of momentum of a system of particles)。

10、式中 C1 为常矢量，由运动的初始条件决定。 质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 实际应用质点系的动量定理时，常采用投影式 eee d dd , ddd y xz ixiyiz iii p pp FFF ttt 若作用在质点系上的外力主矢不恒为零，但在某个坐标轴上的 投影恒为零，由上式可知，质点系的动量在该坐标轴上守恒质点系的动量在该坐标轴上守恒。例 如 e 2 0, Rxx FpC 式中C2为常量，由运动初始条件决定。 质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒 质心运动定理质心运动定理 第第10章章 动量定理动量定理

11、是质点系动量定理的另一种形式。是质点系动量定理的另一种形式。 i i ic mmvvp e d d i i t p F e dd dd C i i m tt vp F d d v a C C t e Ci i m aF 质心运动定理质心运动定理 质心运动定理质心运动定理质点系的总质量与质心加速度的质点系的总质量与质心加速度的 乘积等于作用在质点系上外力的矢量和乘积等于作用在质点系上外力的矢量和。 e Ci i m aF 质心运动定理 在直角坐标系中的投影式为： e e e Cix i Ciy i Ciz i mxF myF mzF 质心加速度在直角坐标轴上的投影 CCC zyx , 质心运动定

12、理质心运动定理 守恒形式守恒形式 如果作用于质点系上的外力主矢恒等于零，则有 e 0 i i F 0 C a C vC 这表明：质点系质点系的的质心作匀速直线运动。质心作匀速直线运动。 如果系统初始为静止状态如果系统初始为静止状态则质心的位矢为常则质心的位矢为常 矢量，矢量， ，质心，质心位置位置保持保持不变不变，即，即质心守恒质心守恒。 0 C v 1 C C r 质心运动定理质心运动定理 e Ci i m aF i izC i iyC i ixC Fzm Fym Fxm e e e ee R 0 xix i FF 0 Cx a 2Cx vC 质心速度在某一坐标轴（例如 x 轴）上的投影为常

13、量。 如果质心初始为静止状态，即 vCx=0 ,则质心在 x 轴上的坐标 保持不变，即 。 3C xC 例 题 图示系统中，三个重物的质量分别为 m1、m2、m3，由一绕过两个定滑轮的绳 子相连接，四棱柱体的质量为m4 。如略 去一切摩擦和绳子的重量。 3若将上述系统放在有凸起的地面上， 如图所示，当物块1下降s时，系统对凸起 部分的水平压力。 1系统动量的表达式； 2系统初始静止，当物块1下降s时， 假设物体相对四棱柱体的速度已知，四 棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位 移。 动量定理动量定理应用举例应用举例 解：1. 确定系统的动量表达式。建立坐 标系如图示。根据 jivp)()( iy

14、i iix i ii i i vmvmm 取四棱柱为动系，四棱柱体的速度为v， 各物块相对四棱柱体的速度为vr，则 vmvmvvmvvmpx 43r2r1 )()cos( 0)(0sin 4r32r1 mvmmvmpy jip)sin()cos()( 31r214321 mmvmmvmmmm 动量定理动量定理应用举例应用举例 2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱体 相对地面的位移。 因不计一切摩擦，系统在水平方向上 动量守恒，即 1r2r34 ( cos)()0 x pm vvm vvm vm v 123412r ()(cos)0mmmm vmm v 由此解得 r 4321 21cos v mmm

15、m mm v 动量定理动量定理应用举例应用举例 2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱体 相对地面的位移。 又因系统初始静止，故在水平方向上质心守恒。对上式积分， 得到四棱柱体的位移。 r 4321 21cos v mmmm mm v s mmmm mm x 4321 21cos 动量定理动量定理应用举例应用举例 3.确定对凸起部分的作用力，可以 采用质心运动定理。 设物块相对四棱柱体的加速度为ar， 由于凸起部分的作用，四棱柱体不动， 根据质心运动定理，并注意到 故，四棱柱体的加速度a极易由牛顿定律 求出。 aa re4 0aa iixcx mama 得到四棱柱体对于地面凸起部分的水平作用力 12

16、 cos cx mam am aF 动量定理动量定理应用举例应用举例 动量定理动量定理应用举例应用举例 电动机的外壳和定子的 总质量为 m1 , 质心C1与转 子转轴 O1 重合 ；转子质 量为 m2 ，质心 O2 与转轴 不重合 ，偏心距 O1O2 = e 。 若转子以等角速度旋转 电动机底座所受的水 平和铅垂约束力。 例 题 1、选择包括外、 壳、定子、转子的电 动机作为研究对象。 2、系统所受的外力： 定子所受重力m1g; 转子所受重力m2g; 底座所受约束力 Fx、Fy、M。 m1g m2g Fx Fy M 3、各刚体质心的加速度 aC1 aO1=0 ; aC2 aO2e2 (向心加速

17、度) m1g m2g Fx Fy M 2C a , e Rx i Cixi Fam e Ry i Ciyi Fam 4、应用质心运动定理 , e Rx i Cixi Fam e Ry i Ciyi Fam 2 12 0cos x mmetFww 2 1212 0sin y mmetFm gm gww 2 2 cos x Fm etww 2 122 sin y Fm gm gm etww 5、关于计算结果的分析 * 动约束力与轴承动反力 temFywwsin 2 2d temFxwwcos 2 2d * 约束力何时取最大值与最小值 2 2 cos x Fm etww 2 122 sin y Fm

18、 gm gm etww 电动机的外壳和定子的总质量为 m1, 质心 C1与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为 m2 ，质心 O2 与转轴不重合 ，偏心 距 O1O2 = e。转子以等角速度旋转。如果底座与基础之间 没有螺栓固定，初始条件为 ： ?0，vO2x = 0, vO2y=e 电动机跳起的条件；外壳在水平方向的运动规律。 1、选择包括外、壳、定 子、转子的电动机作为研究对 象，分析系统的受力： 定子所受重力m1g; 转子所受重力m2g; 由于底座与基础之间没有螺 栓固定，所以没有水平方向约 束力，只有约束力Fy、M。 Fy M Fy M 2、分析运动，确定各个刚 体质心的加速度 定系Oxy固结于地面； x