概率论第五章-大数定律及中心极限定理PPT课件

1、2021/6/71 第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 大数定律大数定律 中心极限定理中心极限定理 2021/6/72 “概率是频率的稳定值”。 前面已经提到，当随机试验的次数无限增大 时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。 大数定理就是从理论上说明这一结果。 正态分布是概率论中的一个重要分布，它有 着非常广泛的应用。中心极限定理阐明，原本不 是正态分布的一般随机变量总和的分布，在一定 条件下可以渐近服从正态分布。 这两类定理是概率统计中的基本理论，在概 率统计中具有重要地位。 2021/6/73 一、依概率收敛 定义定义5.1.1 (依概率收敛依概率收敛) P n

2、 YY 大数定律讨论的就是依概率收敛大数定律讨论的就是依概率收敛. lim1 n n P YY 若对任意的若对任意的 0，有，有 则称随机变量序列则称随机变量序列Yn依概率收敛于依概率收敛于Y, 记为记为 5.1 大数定理 2021/6/74 依概率收敛（续） P n Yb (多变量函数多变量函数) P n Xa 设设 g(x,y)在点在点(a,b)连续，则连续，则 ， ，又设函数，又设函数 , ()( , ) P nn g X Yg a b 2021/6/75 2 2 | XP 定理（切比雪夫定理（切比雪夫(Chebyshev)不等式）不等式）:设随机变 量X具有数学期望E(X)=,方差D(

3、X)=2 ,则对于任 意正数,有 2 2 1 XP 二、 切比雪夫(Chebyshev)不等式 2021/6/76 | )(| x dxxpXP | | k x k xXPXP 证明证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有 (2)设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk,则有 | 2 2 )( | x dxxp x 2 2 2 2 )()( 1 dxxpx | 2 2 k x k k xXP x 2 2 2 2 1 k k k px 2021/6/77 例：例：已知随机变量 X 的数学期望为 E(X)=，方 差 2 )(XD ，当 2 和 3 时，试用切比雪夫 不等式求概率 XP 的近似

4、值. 解解 时当2 4 1 2 2 2 2 XP 时当3 9 1 3 3 2 2 XP 2021/6/78 1| 1 | 1 lim n k k n X n P 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律:设Xk是相互独立的随机变 量序列,具有相同的数学期望E(Xk)=和方差 D(Xk)=2(k=1,2,),则对于任意给定的0,恒有 注注: n k k n k k XE n X n E 11 )( 1 ) 1 ( 1 1 n P k k X n 2021/6/79 ), 2 , 1( ni 解解 所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理. 2021/6/710 伯努里伯努里大数定律大数定律: 设

5、进行设进行n次独立重复试验，事次独立重复试验，事 件件A发生的次数为发生的次数为 每次试验中事件每次试验中事件A发生的概发生的概 率为率为p，则对任意的，则对任意的 证明证明:设设 0 1 i X 第第i次试验事件次试验事件A发生发生 第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生 则则 )1 ()(,)(ppXDpXE ii 由切由切比雪夫大数定律比雪夫大数定律 i XiX , A n 0,有： |1 lim A n n Pp n |1 lim A n n Pp n 2021/6/711 辛钦大数定律辛钦大数定律 若若Xk，k=1,2,.为独立同分布随机变量序列为独立同分布随机变量序列, E(Xk

6、)= ，k=1,2,，则，则 P n k kn X n Y 1 1 2021/6/712 二、几个常用的大数定律二、几个常用的大数定律 1、切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立，每一个相互独立，每一个 随机变量都有相同的数学期望随机变量都有相同的数学期望E(Xk)=和方差和方差D(X1)=2 ，则任意正数，则任意正数 ， 1 1 lim1 n k n k PX n 即即 1 1 n P k k X n 2021/6/713 证明证明 因为因为X1,X2,Xn,相互独立，相互独立， n c nc n XD n X n D n k k n k k

7、 2 1 2 1 1 )( 11 n k k n k k XE n X n E 11 )( 11 由切比雪夫不等式可得由切比雪夫不等式可得 22 1 11 1 )( 11 n c X n D XE n X n P n k k n k k n k k 0)( 11 lim 11 n k k n k k n XE n X n P 该定理表明：相互独立的随机变量的算数平均值该定理表明：相互独立的随机变量的算数平均值 n i i X n X 1 1 与数学期望的算数平均值的差在与数学期望的算数平均值的差在n充分大时是一个无穷小充分大时是一个无穷小 量，这也意味着在量，这也意味着在n充分大时，经算术平均

8、后得到的随机充分大时，经算术平均后得到的随机 变量变量 的值将比较紧密地聚集在它的数学期望的值将比较紧密地聚集在它的数学期望 的附的附 近。近。 X )(XE 2021/6/714 2、切比雪夫大数定律的特殊情况切比雪夫大数定律的特殊情况 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立，且具有相相互独立，且具有相 同的数学期望同的数学期望和相同的方差和相同的方差2，记前，记前n个随机变量的算个随机变量的算 术平均为术平均为Yn， n i in X n Y 1 1 则随机变量序列则随机变量序列Y1,Y2,Yn,依概率收敛于依概率收敛于，即，即 P n Y0 0lim n n YP 证明证

9、明 n n XE n n i i 1 )( 1 1 2 )( i XD n i i n i i n XE n X n P 11 )( 11 lim 0lim n n YP 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 2021/6/715 3、贝努里贝努里大数定律大数定律 设进行设进行n次独立重复试验，每次试验中事件次独立重复试验，每次试验中事件A发生发生 的概率为的概率为p，记，记nA为为n次试验中事件次试验中事件A发生的次数，则发生的次数，则 证明（由切比雪夫不等式可直接证明）证明（由切比雪夫不等式可直接证明） 00lim p n n P A n 即即p n n PA ),(pnBnA pnp n n

10、E nn n E A A 1 )( 1 )( n pq npq n nD nn n D A A 22 1 )( 1 )( 0 22 n pqn n D p n n P A A 0lim p n n P A n 2021/6/716 4、 辛钦大数定律辛钦大数定律 若若Xk，k=1,2,.为独立同分布随机变量序列为独立同分布随机变量序列, EXk= 0)(i=1,2,)，记前，记前n个变量的和个变量的和 的标准化变量为的标准化变量为 一、独立同分布的中心极限定理一、独立同分布的中心极限定理(Lindeberg- Levy 林德贝格林德贝格-列维列维) n nX Y n i i n 1 则则Yn的

11、分布函数的分布函数Fn(x)对任意的对任意的x(- -,+)都有都有 x n nX PxYPxF n i i n n n n n 1 lim)(lim)(lim dte t x 2 2 2 1 2021/6/719 该定理说明，当该定理说明，当n充分大时，充分大时， Yn近似地服从标准正近似地服从标准正 态分布，态分布，YnN(0,1)，)(n 随机变量随机变量近似地服从于正态分布近似地服从于正态分布nYnX n n i i 1 ),( 2 nnN 中心极限定理可以解释如下：中心极限定理可以解释如下： 假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随 机变量

12、的和，其中每个随机变量对于总和的作用都很机变量的和，其中每个随机变量对于总和的作用都很 微小，则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分微小，则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分 布的。布的。 在实际工作中，只要在实际工作中，只要n足够大，便可把独立同分布足够大，便可把独立同分布 的随机变量之和当作正态变量。的随机变量之和当作正态变量。 2021/6/720 例例4.19 将一颗骰子连掷将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于次，则点数之和不少于500 的概率是多少？的概率是多少？ 解解 设设Xk为第为第k 次掷出的点数，次掷出的点数，k=1,2,100，则，则 X1,X2,X100独立同分

13、布，而且独立同分布，而且 2 7 )( i XE 由中心极限定理由中心极限定理 12 35 10 2 7 100500 1500 100 1i i XP0)78. 8(1 12 35 4 49 6 1 )( 6 1 2 i i kXD 2021/6/721 二、德莫佛二、德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理(De Moivre-Laplace) 在在n重贝努里试验中，每次试验中事件重贝努里试验中，每次试验中事件A发生的概发生的概 率为率为p(0p75)；(2)p=0.7时，时，P(X75)。 P(X75) pq p pq pX pXP 100 10075 100 100 1)75(1 pq p 1

14、00 10075 1 8944. 0)25. 1 ( 4 5 1)75( XP(1) (2)1379. 0)09. 1 (1 58. 4 5 1)75( XP 当厂方宣传符合实际时，接受这一宣传的概率约为当厂方宣传符合实际时，接受这一宣传的概率约为0.8944，而当，而当 厂方宣传不符合实际时厂方宣传不符合实际时(言过其实言过其实)实际上治愈率为实际上治愈率为0.7时，接受时，接受 其虚假宣传的概率仅有其虚假宣传的概率仅有0.1379。 2021/6/730 4、D(X)=0的充分必要条件是的充分必要条件是X以概率以概率1为常数，即为常数，即 P(X=C)=1 5、切比雪夫、切比雪夫(Chebyshev,俄罗斯俄罗斯)不等式不等式 设随机变量设随机变量X，E(X)=， D(X)=2，则对任意的，则对任意的0， 必有必有 2 2 XP 或或 2 )( )( XD XEXP 或等价于或等价于 2 )( 1)( XD XEXP 2021/6/731 2 )( 1)( XD XEXP 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 给出了在随机变量给出了在随机变量X的分布未知时，概率的分布未知时，概率 P(|X- -E(X)|)的一个上限，的一个上限， 当当分别取时分别取时2，3，4时，有时，有 P(|X- -E(X)|2)