Dijkstra算法详细讲解.doc

1、最短路径之 Dijkstra算法详细讲解最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返 A 地区和 B地区之间，我们最希望知道的可能是从 A 地区到 B 地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：（）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。（）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。（）确定起点终点的最短路径问

2、题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。（）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。用于解决最短路径问题的算法被称做 “最短路径算法 ”， 有时被简称作 “路径算法 ”。 最常用的路径算法有： Dijkstra 算法、 A*算法、 Bellman-Ford 算法、 Floyd-Warshall 算法、 Johnson 算法。本文主要研究 Dijkstra算法的单源算法。 Dijkstra 算法2.1Dijkstra算法Dijkstra 算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。 Dijkstra 算法能得出最

3、短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。Dijkstra 算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。2.2Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用 S 表示，初始时 S 中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将 加入到集合 S 中，直到全部顶点都加入到 S 中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S 中。在加入的过程中，总保持从源点

4、 v 到 S 中各顶点的最短路径长度不大于从源点 v 到 U 中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离， S 中的顶点的距离就是从 v 到此顶点的最短路径长度， U 中的顶点的距离，是从 v 到此顶点只包括 S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。2.3Dijkstra算法具体步骤。（1）初始时， S 只包含源点，即 S， v 的距离为 0。U 包含除 v 外的其他顶点， U 中顶点 u 距离为边上的权（若 v 与 u 有边）或 ）（若 u 不是 v 的出边邻接点）。（2）从 U 中选取一个距离 v 最小的顶点 k，把 k，加入 S 中（该选定的距离就是 v 到 k 的最短路径长

5、度）。（3）以 k 为新考虑的中间点，修改 U 中各顶点的距离；若从源点 v 到顶点u（u U）的距离（经过顶点 k）比原来距离（不经过顶点 k）短，则修改顶点 u 的距离值，修改后的距离值的顶点 k 的距离加上边上的权。（4）重复步骤（ 2）和（ 3）直到所有顶点都包含在S 中。2.4Dijkstra算法举例说明如下图，设 A 为源点，求 A 到其他各顶点（ B、C、D、E、 F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。 （注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）图一： Dijkstra无向图算法执行步骤如下表：【注：图片要是看不到请到“相册 - 日志

6、相册 ”中，名为 “Dijkstra算法过程 ”的图就是了】错误 !步骤S 集合中U 集合中1选入 A，此时 S=U=此时最短路径 AA=0A B=6，A C=3，以 A 为中间点，从 A 开始找A 其它 U中的顶点 =，发现 A C=3权值为最短2选入 C，此时 S=U=此时最短路径 AA=0，A C=3以 C 为中间。- 4 -。点，A C B=5(比上面第一步的 A B=6要短 )从 A C=3这条最短路径开始找此时到 D权值更改为 A C B=5，A C D=6，A C E=7，A C 其它 U 中的顶点 =，发现 A C B=5权值为最短3选入 B，此时 S=U=此时最短路径 AA=

7、0，A C=3，A C B=5A C BD=10( 比上面第二步的以 B 为中间点A C D=6要长 )从 A CB=5这条最短路径开始找此时到 D权值更改为 A C D=6，A C B其它 U 中的顶点 =，发现A C D=6权值为最短4选入 D，此时 S=U=此时最短路径 AA=0， AC=3，A C DE=8( 比上面第二步的 A C E=7A C B=5， A CD=6要长 ) 此时到 E 权值更改为 A C E=7，以 D 为中间点，A C DF=9从 A CD=6这条最短路径开始找发现 A C E=7权值为最短5选入 E，此时 S=U=此时最短路径 AA=0， AC=3，A C EF=12( 比上面第四步的A C B=5，AC D=6，A C E=7，以 EA C DF=9要长 ) 此时到 F 权值更改为为中间点，A C DF=9从 A CE=7这条最短路径开始找发现 A C D F=9权值为最短6选入 F，此时 S=U 集合已空，查找完毕