理论力学-平衡问题矢量法

1、1 3.1 力系的平衡方程和应用力系的平衡方程和应用 1平衡方程平衡方程 由第二章知，力系向一点简化可以得到一力和一力 偶，分别等于力系主矢和对该点的主矩。主矢和主矩同 时为零是力系平衡的充分和必要条件，即 0 FFR 0)( FmM oo ， 将矢量式(3.1.1)向互不平行且不在同一平面上的三个坐标轴 x, y, z投影，可以得到等价的标量方程组 (3.1.1) 2 0, 0, 0 0, 0, 0 zyx zyx mmm FFF 通常取坐标轴x, y, z互相垂直而成直角坐标系。方程 (3.1.2)称为力系的平衡方程，是平衡方程的一般形式。习 惯上，称式(3.1.2)中前三个方程为投影式，

2、后三个方程为 力矩式。 作为上述平衡方程的应用，讨论几类特殊力系平衡 方程的形式。 (3.1.2) 3 (1) 平面力系平面力系 若力系中各力的作用线在同一平面内，该力系称为平面平面 力系力系。不失一般性，设xy平面为力系所在平面，此时力系 中各力在z轴上的投影恒零，且对x和y轴的力矩也为零。 因此，方程(3.1.2)中第三、四和五方程自然成立，不论该 力系是否平衡。式(3.1.2)中对z轴的 力矩可以理解为是对 z 轴与 此时，方程(3.1.2) xy平面交点，即xy平面上任意一点A的力矩。 退化为 0, 0, 0 Ayx mFF(3.1.3) 式(3.1.3)为平面力系的平衡方程。 x y

3、 z F A 0, 0, 0 0, 0, 0 zyx zyx mmm FFF (3.1.2) 4 除式(3.1.3)外，平面力系还存在不同形式的平衡方程。平面 力系向一点简化的结果是一力和一力偶，平衡方程是要确保 这两者均为零，除称为一矩式的(3.1.3)外，还可以写作二矩 式 0 x F0 A m0 B m (3.1.4) x AB 其中要求轴与两矩心的连线 力系可能满足方程(3.1.4)但不平衡，如图3.1所示。 不垂直。倘若不满足该条件， 图3.1二矩式失效：AB 连线与 轴垂直 x 三矩式失效：A、B、C三点共线 x 5 0 A m 0 B m0 C m (3.1.5) 其中要求CBA

4、, (3.1.4)但不平衡，如图3.1所示。在具体应用中，以方便为原则， 选择合适的方程形式，以利于解题。 三点不在一直线上。否则，力系可能满足方程 (2) 汇交力系汇交力系 不失一般性，设力系中各力的作用线汇交点为坐标原点。 则不论该力系是否平衡，力系中各力对x, y, z轴的力矩都为 零。方程(3.1.2)中后三个方程恒成立。此时，方程(3.1.2)退 化为 0, 0, 0 zyx FFF (3.1.6) 平衡方程还可以写作三矩式 0, 0, 0 0, 0, 0 zyx zyx mmm FFF (3.1.2) 6 式(3.1.6)为汇交力系的平衡方程汇交力系的平衡方程。对于平面汇交力系，力

5、系在 与所在平面垂直的轴上的投影恒为零，记该轴为z轴，则平面 汇交力系的平衡方程为 0, 0 yx FF (3.1.7) (3) 平行力系平行力系 不失一般性，设力系中各力作用线均与z轴平行而与x, y轴垂 直。则不论该力系是否平衡，力系中各力对x, y轴的投影和对z 轴的力矩恒为零。此时，方程(3.1.2)退化为 0 z F0, 0 yx mm(3.1.8) 0, 0, 0 0, 0, 0 zyx zyx mmm FFF (3.1.2) 7 式(3.1.8)为平行力系的平衡方程。式(3.1.8)中对x轴的力矩等同 于对y, z平面中的点的矩。对于平面平行力系，进一步设力系在 y, z平面内，

6、则对y轴的矩恒为零，而与力系平衡与否无关。因 此，平面平行力系的平衡方程为 0 z F0 x m (3.1.9) (4) 力偶系力偶系 由于力偶在任意轴上的投影为零，因此，式(3.1.2)中前三 个方程成为恒等式而与力系平衡与否无关。此时，方程 (3.1.2)退化为 0, 0, 0 zyx mmm (3.1.10) 0 z F0, 0 yx mm(3.1.8) 0, 0, 0 0, 0, 0 zyx zyx mmm FFF (3.1.2) 8 式(3.1.10)为力偶系的平衡方程力偶系的平衡方程。对于平面力偶系，设力偶 作用平面均为xy平面，则力偶矩矢均与x, y轴垂直而投影为 零。因此，平面

7、力偶系的平衡方程为 0 z m (3.1.11) 9 基本形式基本形式 A、B连线不得连线不得x 轴轴A、B、C不得共线不得共线 平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 A、B 连线不得与各力平行连线不得与各力平行 二力矩形式二力矩形式 三力矩形式三力矩形式 0)( 0 0 O i iy ix FM F F )0(0 0)( 0)( B A iyix i i FF FM FM 或或 0)( 0)( 0)( C B A i i i FM FM FM 0)( 0 O i iy FM F 0)( 0)( B A i i FM FM 二力矩形式二力矩

8、形式若若力系各力平于力系各力平于 y 轴：轴： 10 例例1 支架的横梁支架的横梁AB与斜杆与斜杆DC彼此以铰链彼此以铰链C连接，并各以铰链连接，并各以铰链A、 D连接于铅直墙上，如图所示。已知杆连接于铅直墙上，如图所示。已知杆AC=CB，杆，杆DC与与 水平线成水平线成45角；载荷角；载荷F=10kN，作用于，作用于B处。设梁和杆的处。设梁和杆的 重量忽略不计，求铰链重量忽略不计，求铰链A的约束力和杆的约束力和杆DC所受的力。所受的力。 A B D C F A B C 1. 取取AB杆为研究对象；杆为研究对象； 3. 选坐标系，选坐标系，列平衡方程列平衡方程 解：解： 2. 作受力图；作受力

9、图； Fx= 0 FAx +FC cos45 = 0 Fy= 0 FAy +FC sin45 F = 0 MA(F)= 0 FC cos45l F2l = 0 4. 求解求解FC = 28.28kN FAx = 20kN FAy = 10kN F FC FAy FAx ll 45 11 例例2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重重P =2200 N，吊车，吊车 D、E连同吊起重物各重连同吊起重物各重F1= F2=4000 N。已知：。已知：l =4.3 m， a = 1.5 m，b = 0.9 m，c = 0.15 m， a a = 25。 试求试求A处的处的

10、约束力，以及拉索约束力，以及拉索 BH 的拉力。的拉力。 DE a a c b B H A C F1F2 l P 解：解：1. .取伸臂取伸臂AB为研究对象为研究对象 2. .受力分析如图受力分析如图 y x B A FB P F2F1 E C D FAyFAx a a 12 y x B A FB P F2F1 E C D FAyFAx a a 0sin cos 2 BB21 lFcFblF l PaFaa 3. .选如图坐标系，列平衡方程选如图坐标系，列平衡方程 Fx= 0 FAx FB cosa a = 0 Fy= 0 FAyF1P F2+FB sina a = 0 MA(F)= 0 4.

11、 .联立求解联立求解 FB = 12456 N FAx = 11290 N FAy = 4936 N 13 例例3 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2 kN，F2=1.5 kN， M =1.2 kNm，l1=1.5 m，l2=2.5 m。 试求支座试求支座A及支座及支座B的约束力。的约束力。 F1 A B l2 l1 ll F2 M 60 1. 取梁为研究对象取梁为研究对象解：解： 2. 受力分析如图受力分析如图 3. 选坐标系，选坐标系，列平衡方程列平衡方程 AB x y FAx FAy F1 FB F2 M 60 Fx= 0 FAx F2 cos60 = 0

12、Fy= 0 FAy+ FB F1F2 sin60= 0 MA(F)= 0 FBl2M F1l1F2 sin60(l1+l2) = 0 4. 求解求解 FB = 3.56 kN FAx = 0.75 kN FAy = 0.261k N 14 A B 例例4 如图所示为一悬臂梁，如图所示为一悬臂梁，A 为固定端，设梁上受分布集度为为固定端，设梁上受分布集度为 q 的均布载荷作用，在自由端的均布载荷作用，在自由端 B 受一集中力受一集中力F 和一力偶和一力偶 M 作用，梁的跨度为作用，梁的跨度为 l。试求固定端的约束力。试求固定端的约束力。 A B l q F M 45 2.受力分析如图受力分析如图

13、 1. 取梁为研究对象取梁为研究对象解：解： 3. 选坐标系，选坐标系，列平衡方程列平衡方程 q A B x y M F FAy MA l FAx 45 Fx= 0 FAx F cos45 = 0 Fy= 0 FAy ql F sin45= 0 MA(F)= 0 MA qll/2 F cos45l + M = 0 707. 0 2 1 2 A MFlqlM 4. 求解求解 FAx = 0.707 F FAy = ql+ 0.707F 15 B A D 1 m q 2 m M 解：解：1. .取梁取梁AB为研究对象为研究对象 2. .受力分析如图受力分析如图 B A 其中其中F=qAB=300

14、N，作用在，作用在AB的的 中点中点C处处。 3. .选坐标系，列平衡方程。选坐标系，列平衡方程。 y x Fx= 0 FAx = 0 Fy= 0 FAy F +FD = 0 MA(F)= 0 0 2 2 AB D MFF D FFAy FAx FD C M 例例5 梁梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度 (即梁的每单位长度上所受的力即梁的每单位长度上所受的力)q = 100 N/m，力偶矩，力偶矩 M = 500 Nm。长度。长度AB =3m，DB =1m。 试求活动铰支座试求活动铰支座 D 和固定铰支座和固定铰支座A的约束力。的

15、约束力。 16 例例5 梁梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度 (即梁的每单位长度上所受的力即梁的每单位长度上所受的力)q = 100 N/m，力偶矩，力偶矩 M = 500 Nm。长度。长度AB =3m，DB =1m。 试求活动铰支座试求活动铰支座 D 和固定铰支座和固定铰支座A的约束力。的约束力。 3. .选坐标系，列平衡方程。选坐标系，列平衡方程。 Fx= 0 FAx = 0 Fy= 0 FAy F +FD = 0 MA(F)= 0 0 2 2 AB D MFF 4. .联立求解联立求解 FD= 475 N FAx= 0 FA

16、y= 175 N B A D 1 m q 2 m M B A y x D FFAy FAx FD C M 17 例例6 某飞机的单支机翼重某飞机的单支机翼重 G=7.8 kN。飞机水平匀速直线飞行时，。飞机水平匀速直线飞行时， 作用在机翼上的升力作用在机翼上的升力 F = 27 kN，力的作用线位置如图示，力的作用线位置如图示， 其中尺寸单位是其中尺寸单位是mm。试求机翼与机身连接处的约束力。试求机翼与机身连接处的约束力。 2580 2083 770 A BC F G 解：解：1. .取机翼为研究对象取机翼为研究对象 2. .受力分析如图受力分析如图 B A G FAy FAx MA C F

17、3. .选坐标系，列平衡方程。选坐标系，列平衡方程。 Fx= 0 FAx = 0 Fy= 0 FAy G +F = 0 MA(F)= 0 0ABAC A FGM 4. .联立求解联立求解 FAx= =0 N FAy=-=-19.2 kN MA=-=-38.6 kNm (顺时针）顺时针） 18 例例7 塔式起重机如图所示。机架重塔式起重机如图所示。机架重G1=700 kN，作用线通过塔架的中心。，作用线通过塔架的中心。 最大起重量最大起重量G2=200 kN，最大悬臂长为，最大悬臂长为12 m，轨道，轨道AB的间距为的间距为4 m。 平衡荷重平衡荷重G3到机身中心线距离为到机身中心线距离为6 m

18、。试问：。试问： (1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重G3应为多少应为多少? (2)若平衡荷重若平衡荷重G3=180kN，求满载时轨道，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力？给起重机轮子的约束力？ AB 2m 2m 6 m12 m G1 G2 G3 FB FA 19 AB 6 m12 m G1 G2 G3 2m 2m FB FA 解：解：1. .取起重机为研究对象取起重机为研究对象 2. .受力分析如图受力分析如图 4 1028 213 A GGG F MB(F)= 0 3. .列平衡方程列平衡方程 MA(F)= 0 G3(6+2)+

19、G12G 2(12-2) FA4 = 0 G3(6 2) G12G 2(12+2)+FB4= 0 4 4214 312 B GGG F 20 AB 6 m12 m G1 G2 G3 2m 2m FB FA 4 1028 213 A GGG F 4 4214 312 B GGG F 4. . 起重机不翻倒时起重机不翻倒时平衡荷重平衡荷重G3 (1) 满载时满载时(G2=200 kN)不绕不绕B点翻倒点翻倒 应有应有FA0，即，即0 4 1028 213 A GGG F 临界情况下为临界情况下为FA=0，可得，可得G3min 8G3min+2G110G 2= 0 G3min= 75 kN (2)

20、空载时空载时(G2=0)不绕不绕A点翻倒点翻倒 应有应有FB0，即，即0 4 42 31 B GG F 临界情况下为临界情况下为FB=0，可得，可得G3max 2G1 4G3max= 0 G3max= 350 kN 有有 75 kN G3 350 kN 21 AB 6 m12 m G1 G2 G3 2m 2m FB FA 5. .取取G3=180kN，求满载，求满载(G2=200 kN) 时轨道时轨道A，B对起重机的约束力对起重机的约束力FA、 FB。 4 1028 213 A GGG F =210 kN = 870 kN 4 4214 312 B GGG F 4 1028 213 A GGG

21、 F 4 4214 312 B GGG F 22 3 静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念 1 A 2 F 汇交力系汇交力系 未知力数：未知力数： 平衡方程：平衡方程： 0 0 iy ix F F F1 A B F2 平行力系平行力系 未知力数：未知力数： 平衡方程：平衡方程： 0)( 0 A i iy FM F F1、F2 FA、FB 任意力系任意力系 未知力数：未知力数： 平衡方程：平衡方程： FAx、Fay、MA 0)( 0 0 O i iy ix FM F F F A x FA y FA MA 静定问题：静定问题： 未知力数未知力数 静力静力平衡方程数平衡方程数 23 F A

22、3 1 A 2 F 汇交力系汇交力系 未知力数：未知力数： 平衡方程：平衡方程： 0 0 iy ix F F F1 A B F2 平行力系平行力系 未知力数：未知力数： 平衡方程：平衡方程： 0)( 0 A i iy FM F 、F3 、FC B F1、F2 FA、FB 任意力系任意力系 未知力数：未知力数： 平衡方程：平衡方程： FAx、FAy、MA 0)( 0 0 O i iy ix FM F F C 、FB x FA y FA MA 在静定问题上再加上多余约束，则成为静不定问题。在静定问题上再加上多余约束，则成为静不定问题。 24 此时仅由此时仅由静力静力平衡方程不能求解全部未知量。平衡

23、方程不能求解全部未知量。 静不定问题静不定问题(超静定问题超静定问题)： 未知力数未知力数 静力静力平衡方程数平衡方程数 须建立补充方程求解，在材料力学中研究。须建立补充方程求解，在材料力学中研究。 注意：实际中多余约束可提高结构的强度、刚度、稳定性，并注意：实际中多余约束可提高结构的强度、刚度、稳定性，并 不多余。多余约束只是针对结构平衡而言是多余的。不多余。多余约束只是针对结构平衡而言是多余的。 F A 3 1 A 2 F F1 A B F2 B C x FA y FA MA 25 表表3.1 力系形式与平衡方程的个数力系形式与平衡方程的个数 力系形 式 独立方程 数 力系形式 独立方程

24、数 一般力 系 6平面力系3 汇交力 系 3 平面汇交 力系 2 平行力 系 3 平面平行 力系 2 力偶系3 平面力偶 系 1 26 如果系统约束力的未知分量的数目正好等于系统平衡方程 的数目，这类平衡问题称为静定问题。 在某些问题中，未知约束力分量的数目大于独立平衡方程 的数目，因此，仅由平衡方程不能无法求得全部未知约束力 分量。这类平衡问题称为静不定问题。 对于静不定问题，由于未知量的数目大于独立的平衡方程 的数目而使问题不能在静力学范围内完全解决。为确定所有 未知量，还必须增加补充方程，即变形协调方程，这将在材 料力学或结构力学中讨论。 例例3.1-1：分析四脚凳的静不定性。 解解：四

25、脚凳受到人的重力W 和地面对四个脚的约束力作用，这5个力组成空间平行力系。 平衡方程数为3，但约束数为4，所以是1次静不定。 27 （a） （b） （c） 例例3.2-2：判定图示平衡问题静定与否。 A处未 知约束 力分量 数 B处未 知约束 力分量 数 C处未 知约束 力分量 数 总未知 约束力 分量数 约束力构成的力系及其独立方程 数 图a2114平面一般力系，3 图b224平面一般力系，3 图c314平面一般力系，3 因此均为静不定问题。 28 如：如： 物系外力：物系外其他物体对物系的作用力叫物系外力。物系外力：物系外其他物体对物系的作用力叫物系外力。 刚体系：由若干个刚体通过约束所组

26、成的系统刚体系：由若干个刚体通过约束所组成的系统。又称为物系。又称为物系。 4 刚体系的平衡刚体系的平衡 q B AD M F CH E 物系内力：物系内部各物体之间的相互作用力叫物系内力。物系内力：物系内部各物体之间的相互作用力叫物系内力。 如：主动力、约束力。如：主动力、约束力。 如：左图中如：左图中AC杆与杆与CE杆在杆在C铰链处的相互作用力。铰链处的相互作用力。 29 物系平衡的特点：物系平衡的特点： 物系静止物系静止 物系平衡时，其中每一物体也处于平衡状态，满足各自的物系平衡时，其中每一物体也处于平衡状态，满足各自的 平衡条件。平衡条件。 对每一物体都可列出相应的独立平衡方程，其总和

27、即为物对每一物体都可列出相应的独立平衡方程，其总和即为物 系具有的独立平衡方程的数目。系具有的独立平衡方程的数目。 设物系由设物系由 n 个物体组成，每个物体均受平面任意力系作用，个物体组成，每个物体均受平面任意力系作用， 其平衡方程数为其平衡方程数为 3，则物系的独立平衡方程数为，则物系的独立平衡方程数为 3n 个，可求个，可求 解解 3n 个未知量。个未知量。 当物系中某些物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时，其当物系中某些物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时，其 平衡方程数应相应减少。平衡方程数应相应减少。 若物系若物系未知量数不多于物系的独立平衡方程数时，为静定问题，未知量数不多于

28、物系的独立平衡方程数时，为静定问题， 否则为静不定问题。否则为静不定问题。 30 未知力数：未知力数： 平衡方程数：平衡方程数：32=6 FAx、FAy、MA、 FCx、FCy、FB 未知力数：未知力数： 为静定问题。为静定问题。 FAx、FAy、MA、 FCx、FCy、 FBx、FBy 平衡方程数：平衡方程数：32=6 q A M F1 C B F2 B q A M F1 C F2 为静不定问题。为静不定问题。 对静定问题，可列出每一物体的平衡方程，再组成方程组联立对静定问题，可列出每一物体的平衡方程，再组成方程组联立 求解，但常要进行较繁的数学运算。求解，但常要进行较繁的数学运算。 在解题

29、时，若能选取适当的研究对象，列出必须足够的平衡方在解题时，若能选取适当的研究对象，列出必须足够的平衡方 程，可使运算过程简便。程，可使运算过程简便。 31 求解物系平衡问题的一般方法：求解物系平衡问题的一般方法： q A M F1 C B F2 由整体由整体 局部局部 或：由局部或：由局部 整体整体 32 例例7 如图所示为曲轴冲床简图，由轮如图所示为曲轴冲床简图，由轮I，连杆，连杆AB和冲头和冲头B组成。组成。 A，B两处为铰链连接。两处为铰链连接。OA=R，AB=l。如忽略摩擦和物体如忽略摩擦和物体 的自重，当的自重，当OA在水平位置，冲压力为在水平位置，冲压力为 F 时系统处于平衡状时系

30、统处于平衡状 态。求态。求(1)作用在轮作用在轮I 上的力偶矩上的力偶矩 M 的大小；的大小；(2)轴承轴承O处的处的 约束反力；约束反力；(3)连杆连杆AB受的力；受的力；(4)冲头给导轨的侧压力。冲头给导轨的侧压力。 A B O M F I a 解：解：1. .取取冲头冲头为研究对象为研究对象 受力分析如图受力分析如图 列平衡方程列平衡方程 B x FB FN F a a 0 cos0 0 sin0 B BN a a FFF FFF y x a cos B F F 22 N tan Rl R FFF a 求解得：求解得： 33 O A A B O M F I a a 2. .取取轮轮 I

31、为研究对象为研究对象 受力分析如图受力分析如图 列平衡方程列平衡方程 求解得：求解得： y x FOx FOy FA M 0 cos0 0 sin0 0 cos0 AO AO AO a a a FFF FFF MRFFM yy xx FRM FFF Rl R FFF y x a a cos sin AO 22 AO 34 例例8 三铰拱桥及尺寸如图所示，由左右两段用铰链三铰拱桥及尺寸如图所示，由左右两段用铰链C连接，又用连接，又用 铰链铰链A，B与基础相连接。已知每段重与基础相连接。已知每段重G = 40 kN，重心分别，重心分别 在在D，E处，且桥面受一集中载荷处，且桥面受一集中载荷F =1

32、0 kN。 设各铰链都是光滑的，试求平衡时各铰链中的力。设各铰链都是光滑的，试求平衡时各铰链中的力。 A B C DE G F 3m G 1m 6m6m 6m 35 解：解： DC A E B C y x FAx FAy FCx FCy G G F FCx FCy FBx FBy 1. .取取为研究对象为研究对象 受力分析如图受力分析如图 列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FAx FCx = 0 Fy= 0 FAy G FCy = 0 MC(F)= 0 FAx6 FAy 6 +G5 = 0 2. .取取为研究对象为研究对象 受力分析如图受力分析如图 列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FBx +

33、 FCx = 0 Fy= 0 FBy +FCy G F = 0 MC(F)= 0 FBx6 +FBy6 F3 G5 =0 36 DC A E B C y x FAx FAy FCx FCy G G F FCx FCy FBx FBy 列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FAx FCx = 0 Fy= 0 FAy G FCy = 0 MC(F)= 0 FAx6 FAy 6 +G5 = 0 列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FBx + FCx = 0 Fy= 0 FBy +FCy G F = 0 MC(F)= 0 FBx6 +FBy 6 F3 G5 =0 联立求解得：联立求解得： FAx = - -

34、FBx =FCx = 9.17 kN FAy= 42.5 kN FBy= 47.5 kN FCy= 2.5 kN 此时求解过程较繁。此时求解过程较繁。 37 D A E B C G G F y x FAx FAy FBx FBy 若先若先取取为研究对象为研究对象 受力分析如图受力分析如图 列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FAx + FBx = 0 Fy= 0 FAy +FBy G G F= 0 MA(F)= 0 FBy12 F9 G1 G11= 0 再取再取为研究对象为研究对象 受力分析如图受力分析如图 列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FBx + FCx = 0 Fy= 0 FBy +FC

35、y G F = 0 MC(F)= 0 FBx6 +FBy6 F3 G5 =0 E B C FCx FCyG F FBx FBy FBy= 47.5 kNFAy= 42.5 kN FBx= - -9.17 kN FCx= 9.17 kN FCy= 2.5 kNFAx= 9.17 kN 38 l/8 q B AD M F CH E l/4l/8l/4l/4 例例9 组合梁组合梁AC和和CE用铰链用铰链C相连，相连，A端为固定端，端为固定端，E端为活动铰端为活动铰 链支座。受力如图所示。已知：链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，F=5 kN，均布载荷，均布载荷 集度集度q=2.5 kN/m，

36、力偶矩的大小，力偶矩的大小M= 5 kNm。 试求固定端试求固定端A，铰链，铰链C和支座和支座E处的约束力。处的约束力。 解：解：1. .取取CE段为研究对象段为研究对象 2. .受力分析如图受力分析如图 3. .列平衡方程列平衡方程 DC E M l/4l/8 F1 G FC FE 4 1 l qF Fy= 0 MC(F)= 0 0 4 EC F l qF 0 284 E l FM ll q 4. .联立求解联立求解 FE=2.5 kN， FC=2.5 kN 39 6. .列平衡方程列平衡方程 Fy= 0 MA(F)= 0 7. .联立求解联立求解 FA= 12.5 kN，MA= 30 kN

37、m AC 4 2 l qF H l/8l/8l/4 I FF2 FA MA 5. .取取AC段为研究对象，段为研究对象， 受力分析如图受力分析如图 0 4 CA l qFFF 0 28 3 48 CA l F ll q l FM l/8 q B AD M F CH E l/4l/8l/4l/4 40 例例10 刚架结构的尺寸和载荷如图所示。刚架结构的尺寸和载荷如图所示。 试求试求A，B支座及支座及C铰链处的约束力。铰链处的约束力。 G q A B C b a a/2 a/2 M A B C 解：解：1. .取取刚架整体刚架整体为研究对象为研究对象 受力分析如图受力分析如图 列平衡方程列平衡方程

38、 FAx FAy FBx FBy y x Fx= 0 FAx + FBx + qb = 0 Fy= 0 FAy +FBy G = 0 MB(F)= 0 0 2 2 2 A b qbaF a GM y 求解得：求解得： ) 2 1 2 1 ( 2 1 2 A qbpaM a F y ) 2 1 2 3 ( 2 1 2 AB qbMpa a FGF yy G q M 41 A C 2. .取取刚架左半部刚架左半部为研究对象为研究对象 受力分析如图受力分析如图 列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FAx + FCx + qb = 0 Fy= 0 FAy +FCy= 0 MC(F)= 0 求解得：求解得

39、： y x FAx FAy FCx FCy 0 2 AA aF b qbbF yx ) 2 3 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 1 22 AA qbpaM b qbaF b F yx ) 2 1 2 1 ( 2 1 2 AC qbpaM b qbFF xx ) 2 1 2 1 ( 2 1 2 AC paMqb a FF yy ) 2 1 2 1 ( 2 1 2 AB qbpaM b qbFF xx G q A B C b a a/2 a/2 M q 42 解题步骤与技巧解题步骤与技巧 1. 解题步骤解题步骤 选研究对象选研究对象 画受力图（受力分析）画受力图（受力分析） 选坐标、取矩心、列

40、平衡方程选坐标、取矩心、列平衡方程 求解未知数求解未知数 2. 解题技巧与注意事项解题技巧与注意事项 选研究对象应能应联系已知力和未知力；选研究对象应能应联系已知力和未知力； 不要漏掉固定端约束处的不要漏掉固定端约束处的约束力偶约束力偶； 选坐标轴最好与未知力选坐标轴最好与未知力或或，取矩心最好选在未知力，取矩心最好选在未知力 的汇交点上；的汇交点上； 充分发挥二力杆的直观性；充分发挥二力杆的直观性； 灵活使用合力矩定理；灵活使用合力矩定理； 力偶矩力偶矩M =常数，它对任一点之矩都相等。常数，它对任一点之矩都相等。 43 G2 FA G1 G3 G FB AB 3.0 m2.5 m1.8 m

41、2.0 m 例例11 一车载式起重机，车重一车载式起重机，车重G1=26kN，起重机伸臂重，起重机伸臂重G2=4.5 kN， 起重机的旋转与固定部分共重起重机的旋转与固定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如图所示。尺寸如图所示。 设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置。 试求车子不致翻倒的最大起吊重量试求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。 八、例题分析八、例题分析 44 0) 2 8 . 1 (25 . 2) 3 5 . 2( 12 A FGGG G G2 FA G1 G3 FB AB 3.0 m2.5 m1.8 m2.0 m 解：解：1. .取汽车及

42、起重机为研究对象取汽车及起重机为研究对象 2. .受力分析如图受力分析如图 3. .选坐标系，列平衡方程选坐标系，列平衡方程 Fy= 0 FA +FB G G1 G 2 G3 = 0 MB(F)= 0 4. .联立求解联立求解 GGGF5 .55 .22 8 .3 1 21A 5. .由不翻倒的条件：由不翻倒的条件：FA0 得：得： kN 7.52.52 5 . 5 1 21 GGG 最大起吊重量为最大起吊重量为 Gmax= 7.5 kN 45 例例12 A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为处均为光滑铰链，物块重为G，通过绳子绕，通过绳子绕 过滑轮水平地连接于杆过滑轮水平地连接于杆AB的的E

43、点，各构件自重不计。点，各构件自重不计。 试求试求B处的约束力。处的约束力。 46 FBx FAy FAx FBy FE FCx FCy G FAx FAy 解：解：1. .取取整体整体为研究对象为研究对象 受力分析如图受力分析如图 列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FAx + FBx FE = 0 求解得：求解得： FAx= 2.5G FBx = 1.5G FBy= 2G MC(F)= 0 G5r FAx2r = 0 2. .取杆取杆AB为研究对象为研究对象 受力分析如图受力分析如图 列平衡方程列平衡方程 MA(F)= 0 FBx2r FBy2r FEr = 0 联立求解，得：联立求解，得：

44、 47 求解得：求解得： 例例13 已知各杆均铰接，已知各杆均铰接，B端插入地内，端插入地内，F=1000N， AE=BE=CE=DE=1m，各杆重不计。，各杆重不计。 求求B点的约束力？点的约束力？ AC 杆所受的力？杆所受的力？ 解：解： 1. .取取整体整体为研究对象为研究对象 受力分析如图受力分析如图 选坐标选坐标如图如图，取矩心，取矩心B点，点，列平衡方程列平衡方程 Fx= 0 FBx = 0 Fy= 0 FBy F = 0 MB(F)= 0 MB FBy1= 0 MB = 1000 Nm 48 2. 再研究再研究CD杆杆 受力如图受力如图 取取E为矩心，列平衡方程为矩心，列平衡方程

45、 求解得：求解得： N1414 1707. 0 11000 145sin 1 o CA F F ME(F)= 0 FCAsin451 F1 = 0 49 例例15 已知：连续梁上，已知：连续梁上，F=10kN，Q=50kN，CE 铅垂，不计梁重铅垂，不计梁重 求：求：A、B和和D处的约束力。处的约束力。 （看出未知数多余三个，不能先整 体求出，要拆开） 解：解： 1. 研究起重机研究起重机 画受力图画受力图 列平衡方程列平衡方程 MH(F)= 0 FG2 Q 1F 5 = 0 求解得：求解得： FG = 50 kN 50 3. 再研究整体再研究整体 2. 再研究梁再研究梁CD MC(F)= 0

46、 FD6 FG 1 = 0 FD = 8.33 kN MA(F)= 0 FB3 + FD12 F10 Q6 = 0 FB = 100 kN Fy= 0 FAy +FB +FD F Q = 0 FAy = 48.33 kN 51 平面一般力系习题课平面一般力系习题课 一、力线平移定理是力系简化的理论基础一、力线平移定理是力系简化的理论基础 力 力+力偶 平衡 ; 0, 0 O MR 合力矩定理合力矩定理)()( 1 i n i OO FmRm ; 0, 0; 0, 0 OO MRMR或合力（主矢） ; 0, 0 O MR合力偶（主矩） 二、平面一般力系的合成结果二、平面一般力系的合成结果 本章小结：本章小结： 52 解解： 选整体研究 受力如图 选坐标、取矩点、Bxy,B点 列方程为: 解方程得 0X; 0BX 0 B m0DEPM B )mN(100011000 B M 0Y; 0 P