法向量“法力无边”

1、法向量“法力无边”平行、垂直的证明，空间角和距离的计算是立体几何中“青春永葆”的话题，也是“亘古不变”的难题。难点在于解决这些问题时，需要作图。特别是角和距离的计算需要作出垂线段和角，令其“有形”，方可操作。应用法向量可以突破这一难点。如果一个非零向量与平面垂直，则称向量为平面的法向量。求法向量的步骤：（1） 设此面的法向量为（x，y，z）（2） 因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线（如：（x1，y1，z1）, （x2，y2，z2）则有：（3） 因为上面是建立了两个方程，但是有三个未知量，所以必须设一个量，在设的时候除了求二面角时（下面有介绍）需要来考虑方向，别

2、的情况都可以随便设，通过上面解出的相对关系，确定那两个量，这样，法向量便解出来了。一、线面角A.法向量向上时(所求的角)+=90图1sin=cosB.法向量向下时=(所求的角)+ 90图2sin=sin（-90）=-cos0综上有：sin=例1 如图3，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G。求与平面ABD所成角的正弦。【分析及解】本题按传统方法，需要作 在平面ABD上的射影，比较复杂，若用法向量来解，则可简化问题：以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则， 点E在平面ABD上的射影

3、是的重心G， 平面ABD，解得 ，图3 平面ABD，为平面ABD的一个法向量；由二、二面角设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 的夹角为，则有（图4）或 （图5）图4 图5 例2.如图6，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且。求二面角的大小。解 取BC的中点O，连AO。 图6由题意 平面平面，平面，以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系， 则 ， ， ， ，由题意 平面ABD， 为平面ABD的法向量。设 平面的法向量为 ，则 ， ， ，即 。 不妨设 ，由 ， 得。 故所求二面角的大小为。三、点面距离 设 为平面的法向量，A，B分别为平面内，外的点，则点B到平面的距

4、离 。 略证： 图7 例3 如图8，已知正四棱柱，点E为中点，点F为中点。求点到平面BDE的距离。解 以D为原点，建立如图8所示的直角坐标系，则 ， ，设 平面BDE的法向量为 ，则， 图8 ， ， 即 ， 不妨设 ，则点到平面BDE的距离为 ， 即为所求。四、异面直线间距离是两条异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离，则。例4已知M，N分别是棱长为1的正方体的棱和的中点，求：异面直线MN与间的距离。【分析及解】本题需要找出异面直线与的公垂线段,比较麻烦,可以考虑用法向量来解答：以D为原点,DA,DC,DD1分别为X、Y、Z轴建立如图1的空间直角坐标系，则，由于M、N是的中点，则，

5、从而，设与都垂直的方向向量为，则即即，不妨设，所以异面直线MN与间的距离为。 图91.（本小题满分12分）如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（）证明：平面ABM平面A1B1M12.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.()证明：EF平面PAD；()求三棱锥EABC的体积V.解()在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.()连接A

6、E,AC,EC,过E作EGPA交AB于点G,则BG平面ABCD,且EG=PA.在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.3. 已知三棱锥PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）.4分（）,因为，所以

7、CMSN 6分（）,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则 9分因为所以SN与片面CMN所成角为45。 12分4.如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB （）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线； （）设异面直线AB与CD的夹角为45,求二面角A-AC-B的大小5.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H为BC的中点，()求证：FH平面EDB;（）求证：AC平面EDB; （）求四面体BDEF的体积；【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.【解题指导】（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EGFH，得平面；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH平面ABCD，得FHBC，FHAC，进而得EGAC，平面；（3）证明BF平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.6.在如图所示的几何体中，四边形是正方