弹性力学854607

1、Chap.5 弹性力学问题的建立 Establishment of elasticity problems 5.1 5.1 弹性力学基本方程弹性力学基本方程 前面通过几何、物理、静 力等分析建立了弹性力学 必须满足的关系，即 共15个：3个平衡微分方程，6个几何方程，6个物理方程 一、平衡微分方程 Navier方程（外力内力关系） 0 X zyx zx yx x 0 Y zyx zyyxy 0 Z zyx z yz xz 二、几何方程二、几何方程， 又称Guachy方程(应变位移关系) 三、物理方程三、物理方程 又称广义Hooke定律(应力应变关系) zxzxzx yzyzyz xyxyxy

2、yxzzz xzyyy zyxxx G G G E E E 1 211 2 1 211 2 1 211 2 或 四、基本未知量四、基本未知量(15个个) zxyzxyzyx , zxyzxyzyx , u, v, w 6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量 5.2 5.2 边界条件边界条件 弹性力学解除了必须满足基本方程外，还必须满足边界条件，包括应力边界 条件、位移边界条件和混合边界条件 1.应力边界条件 或或静力边界条件 或面力边界条件 或应力与面力关系 若物表面力X, Y, Z为已知，则边界条件应为 如果已知物体表面的位移 ，则边界条件应为 2.位移边界条件 u=u, v=v, w=w

3、 3.边界条件的意义 (1)实际中，不同问题边界条件不同，这往往 是解题中的主要困难 (2) 解题时，首先须搞清全部边界条件，建 立边界条件表达式 (3)以上边界条件表达式，有助于建立具体问 题的边界条件 除此以外还有混合边界条件 nmlX zxyxx nmlY zyyxy nmlZ zyzxz e.g.5-1 薄板悬臂梁。已知h,l,q 试建立该问题的边界条件。 l x y q O y z h 1 解：z向表面不受力，则 简化为 0, 0 zxyzz Z 为平面应力状态 1.应力边界条件mlX yxx mlY yxy (1)x=0; X=Y=0; l=-1,m=0; 0, 0 xyx 0 0

4、 x xy 0 0 x x 即 (2)y= -h/2; X=Y=0; m=-1,l=0; 0, 0 xyy 0 2 h y xy 0 2 h y y 即 (3)y= h/2; X=0, Y=-qx/l; m=1,l=0; 0, xyy l qx 0 2 hy xy l qx h y y 2 即 (4)x=l ; 力未知，位移可知;则有 即 2.位移边界条件 x=l ; u=0, v=00 lx u0 lx v0 lx y u 0 lx x v 这里没有考虑变形协调方程，原因作为基本未知量，任意单值连续的位移函数，若有三阶的连续导 数，则变形协调方程仅仅是几何方程微分的结果，自然地满足，不需要考

5、虑变形协调方程。 5.3 5.3 弹性力学问题的提法与解法弹性力学问题的提法与解法 一、弹性力学问题的提法一、弹性力学问题的提法 解决弹性力学问题的目的是求出物内各点应 力和位移，以便强度、刚度、稳定性计算 1.提法提法就是在给定物体的全部(边界和内部)外界作用(载荷、温变等)，求物内因此产 生的应力场和位移场 具体说，是就15个未知量求解边界条件下的15个基本方程。 2.问题的提法问题的提法应使弹性力学定解问题是适定的。即 (1)问题有解； (2)问题的解是唯一的； (3)问题的解是稳定的； 15方程求解15个 未知量应该有解 边界条件不能过多(找不到完全满足的解)或过少(多解)，无条件只有

6、泛解， 非问题特解，显示边界条件的重要性。只要条件适当即可得唯一解 3.弹性力学问题的构成弹性力学问题的构成 边界条件微小的变化只 引起解有微小的变化 实际上弹性力学问题就是数学上的偏微分方程的边值问题，故 基本方程与边界条件共同构成了弹性力学问题的严格完整提法 二、弹性力学三类边值问题二、弹性力学三类边值问题 三类边值问题代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。 按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题 第一类边值问题(应力边值问题)： 已知弹性体所受的体力和面力，求平衡状态的弹性体内各点 的应力分量和位移分量，即应力边界已知的问题。 第二类边值问

7、题(位移边值问题)：已知弹性体所受的体力分量及表面位移分量， 求平衡状态的 弹性体内各点的应力分量和位移分量，即位移边界已知的问题。 第三类边值问题(混合边值问题)：已知弹性体内的体力分量，及物体表面的部分位移分量和部 分面力分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量。这时在面力已知的部分，用面力边界条件， 位移已知的部分用位移边界条件。 三、弹性力学问题的解法三、弹性力学问题的解法 应力解法：以应力函数作为基本未知量求解弹性力学问题的方法。即用位移表示 基本方程，解方程得应力分量，由物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求位移分量，不过这时应变分 量必须满足一组补充方程，即变形协调

8、方程 具体求解弹性力学问题时，不需要同时求解15个基本未知量，而是做必 要的简化。由几何方程和本构方程知， 15个未知量间不是相互独立的。 基于此，为简化求解的难度，选取部分未知量作为基本未知量。 位移解法：以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题的方法。即用位移表示基 本方程，解方程得位移分量，由几何方程可得应变分量，再由物理方程可得应力分量。反之 混合解法：以部分位移分量和部分应力分量为基本未知量求解问题的方法。 以下主要研究前两种基本方法(一般应用可参考教材5.4 )。 不论哪种方法建立的微分方程直接积分求解都是相当困难的，而是用试算性的逆解法和半逆解法(后详) X X X X X X

9、Y Y Y Y Y Y Z Z Z Z Z Z 5.4 5.4 弹性力学问题的解法弹性力学问题的解法 一、应力解法 以应力分量函数为基本未知函数求解的方法 将物理方程代入变形协调方程，并用平衡微分方程整理可得 (Beltrami-Michell)相容方程 应力分量表达的 (变形协调方程) 解该方程并满足边 界条件可得应力分 量；然后由物理方 程求得应变分量， 再由几何方程求得 位移分量。但要满 足单值条件。因为 基本方程只满足协 调方程，而不一定 满足几何方程 常 体 力 情 况 下 1.应力解法的基本方程 基本方程 空间轴对称问题的Laplace算苻为 自然满足平衡微分方程 2.应力法解轴对

10、称问题 与上同样思路可得应力表达的3个基本方程，不计体力并引入应力函数(r,z)表达 应力分量 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1,2 1 , zrzz rrzrz rzz r 0 4 其中 双调和方程 只要解得应力函数，并满足边界条件，就 可解得一切未知量，显然简化了许多 其中 二、位移解法 将(1)代入平衡微分方 程整理后即可得到 以位移函数为基本未知函数求解的方法 先将几何方程代入物理方程，可以得到由位移分量表达的应力分量，即 （1） 1.位移解法的基本方程 X Y Z 是Laplace运算符号 即以位移表示的平衡微分方程，称为 拉梅（拉梅（Lam）方程）方程 可以表示为张量形式

11、 或表达为矢量形式 为拉普拉斯算符矢量拉普拉斯算符矢量 （2） 显然，给定面力边界条件时，位移法边界条件表达式很复杂，求解难度较大。 总之，位移法解弹性力学问题归结为求解在给定的边界条件下位移表示的平衡微分方程， 即拉梅方程。位移分量求解后，则由几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量 给定位移边界条件可直接用，若是应力边界条件， 将(1) 代入应力边界条件式，整理可得 2.位移分量表示的 应力边界条件： X Y Z 表达为张量形式 若引用位移函数(x,y,z)表达位移函数表达的各量与基本方程 位移分量为 zG w yG v xG u 2 1 , 2 1 , 2 1代入方程(1)(2)

12、并不计体力得 应力分量为 xzzyyxzyx zxyzxyzyx 222 2 2 2 2 2 2 , 基本方程为 c 2 任意常数，不妨取c=0即 0 2 只要解得应力函数，并满足边界条件，就可解得一切未知量，显然简化了许多 基本方程 空间轴对称问题 的Laplace算苻为 z w r u r u 将上式代入平衡微分方程 整理后即可得到 Kr Z r r Z Kr rr rr rr r rr 3.位移法解轴对称问题与上同样思路可得位移表达的未知分量和基本方程 应变分量 应力分量 r w z u z w r u r u rzzr , z u r wE z wE r uE r uE rzz r 1

13、2 , 211 211 , 211 若引用位移函数(r,z)表达并不计体力得位移函数表达的各量与基本方程 位移分量为 zG w rG u 2 1 , 2 1 应力分量为 zrzrrr rzzr 2 2 2 2 2 , 1 , 基本方程为 0 2 其中 应当指出，仅在体积应变在弹性内为 常数时才存在位移势函数，所以不一 定都能成功。实际上位移法可解得问 题不多 5.5 Saint-Venant5.5 Saint-Venant原理原理 圣维南原理圣维南原理主要内容为：物体表面某一小面积上作用的外力力系，如果被一个力 系静力等效替换，那么物体内部只能导致局部应力的改变。而在距离力的作 用点较远处，其

14、影响可以忽略不计。 解决弹性力学问题，使解满足基本方程并不难，但要完全满足给定的边界条件下往往很难。因为偏微分方程边值 问题的性质，弹性力学的解必然要求物体表面的外力或者位移是按一定的规律分布的。对于工程实际问题，构件 表面面力或者位移是很难满足这个要求的。这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。为此需要简化。 不同的边界有不同的解，改变边界，解也将改变。简化边界条件会带来多大的影响，何种情况如何简化才不违背实 际？为了放宽这种限制，又满足实际要求。圣维南提出的局部影响原理，给予了很好的回答。 圣维南局部影响原理意义在于：小边界上受力必要时进行等效替换，即可使 复杂问题简化，又可得到足够精确的

15、解答。 根据圣维南局部影响原理，用一静力等效力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的作用区域附近。 离此区域较远处，几乎不受影响。 局部影响原理是在实验中被多方证明的。例用一个钳子夹住铁杆，对铁杆作用相当于 一组平衡力系。实验证明，无论作用力多大，在距离力的作用区域比较远处，几乎没有应力产生。 例：拉压杆 集中力P 应力边界条件不好写，也难满足 等效为分布力P/A 应力边界条件好写易满足,问题大为简化 AP x x / 0 AP lx x / 等效为分布力P/A AP x x / 0 0 lx u 等效产生的误差仅在力作用区域附近较大(虚线内).离此区域较远处(虚线外) ,可忽略不计足够精确。 此可由有限元程序计算分析得到验证。计算数据表明：静力等效的力系只能导致弹性体局部应力的改变。 而在距离力的作用点较远处，其影响可以忽略不计。 Chap.4 小结 sum 1.基本方程15个(平衡3个；几何6个；物理6个) 3.边界条件的种类及意义 2.基本未知量15个(应力6个；应变6个；位移3个) 4.弹性力学问题的提法及其适定性 5.弹性力学问题的构成 6.弹性力学三类边值问题 7.弹性力学问题的解法 8.Saint