[公开课课件]2.6.1第6节 应用一元二次方程

1、第第6节节 应用一元二次方程应用一元二次方程 第二章一元二次方程第二章一元二次方程 （北师大版）（北师大版） 第第1课时课时 教学目标教学目标 1.掌握利用勾股定理建立数学模型的方法，并利用它掌握利用勾股定理建立数学模型的方法，并利用它 解决一些具体问题解决一些具体问题. 2.掌握用面积法建立一元二次方程的数学模型并运用掌握用面积法建立一元二次方程的数学模型并运用 它解决实际问题它解决实际问题. 教学重难点教学重难点 重点：利用勾股定理或图形的面积建立数学模型重点：利用勾股定理或图形的面积建立数学模型. 难点：点的运动带来的图形的变化难点：点的运动带来的图形的变化. 情景导入情景导入 1.直角

2、三角形的面积公式是什么？一般三角形的直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的 面积公式是什么呢？面积公式是什么呢？ 2.正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公 式又是什么？式又是什么？ 3.勾股定理的内容是什么？勾股定理的内容是什么？ 本节课，我们根据刚才所复习的公式来建立一些本节课，我们根据刚才所复习的公式来建立一些 数学模型，解决一些实际问题数学模型，解决一些实际问题. 1.列一元二次方程解应用题的步骤可归结为列一元二次方程解应用题的步骤可归结为 、 、 、 、 、 、 . 2.在在RtABC中，中，C=90，a、b、c分别为分别为A、B 、C的对

3、边，则有的对边，则有 . 审审设设 列列解解验验答答 a2+b2=c2 新识探究新识探究 x 8m 10m10m (8-x)m 6m 【解析解析】由勾股定理可知，滑由勾股定理可知，滑 动前梯子底端距墙动前梯子底端距墙 m m ； 如果设梯子底端滑动如果设梯子底端滑动x mx m，那么滑，那么滑 动后梯子底端距墙动后梯子底端距墙m m； 根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： (8-x)(8-x)2 2(x(x6)6)2 210102 2 6 6 x x6 6 1. 1. 如图，一个长为如图，一个长为10m10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 面的垂直距离为面

4、的垂直距离为8m8m如果梯子的顶端下滑如果梯子的顶端下滑1m1m，梯子的底端滑动，梯子的底端滑动 的距离大于的距离大于1m,1m,那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距 离和它相等？离和它相等？ 10m10m 数数 学学 化化 x 新识探究新识探究 解：解： 设梯子顶端下滑设梯子顶端下滑x m， 那么滑动后梯子底端距墙（那么滑动后梯子底端距墙（x+6）m； 根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： (8-x)(8-x)2 2(x(x6)6)2 210102 2 解得：解得： x1=0, x2=2 x0 x=2 答：梯子顶端下滑答：梯子顶端下滑2米时，梯

5、子底端滑动的米时，梯子底端滑动的 距离和它相等距离和它相等 新识探究新识探究 x 12m 13m13m (12-x)m 【解析解析】由勾股定理可知，滑由勾股定理可知，滑 动前梯子底端距墙动前梯子底端距墙 m m ； 如果设梯子底端滑动如果设梯子底端滑动x mx m，那么滑，那么滑 动后梯子底端距墙动后梯子底端距墙m m； 根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： (12-x)(12-x)2 2(x(x5)5)2 213132 2 5 5 x x5 5 2. 2. 如果梯子的长度是如果梯子的长度是13m13m，梯子顶端与地面的垂直距离为，梯子顶端与地面的垂直距离为 12m12m，那么梯子顶端下滑

6、的距离与梯子的底端滑动的距离相等，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离相等 吗？如果相等，那么这个距离是多少？吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 13m13m 数数 学学 化化 x 5m 新识探究新识探究 解：解： 设梯子底端滑动设梯子底端滑动x m， 那么滑动后梯子底端距墙（那么滑动后梯子底端距墙（x+5）m； 根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： (12-x)(12-x)2 2(x(x5)5)2 213132 2 解得：解得： x1=0, x2=7 x0 x=7 答：梯子顶端下滑答：梯子顶端下滑7米时，梯子底端滑动的米时，梯子底端滑动的 距离和它相等距离和它相等 新识探究新识探

7、究 （1）分析题意，找出等量关系，用字母 表示问题里的未知数。 （2）用字母的代表式表示有关的量。 （3）根据等量关系列出方程。 （4）解方程，求出未知数的值。 （5）检查求得的值是否正确和符合实际 情况，并写出答案。 知识点一知识点一 1.直角三角形的两条直角边之比为直角三角形的两条直角边之比为3 4，其斜边长为，其斜边长为10， 则两直角边的长分别是则两直角边的长分别是 . 2.(2014,连云港中考模拟）某直角三角形，一条直角边比连云港中考模拟）某直角三角形，一条直角边比 另一条直角边长另一条直角边长2cm,斜边长斜边长6cm,则这个直角三角形的面则这个直角三角形的面 积为积为 cm2.

8、 6、8 12 知识点二知识点二 3.两小组人数的积为两小组人数的积为24，乙小组人数是甲小组人数的，乙小组人数是甲小组人数的 13多多2，设甲组为，设甲组为x人，则乙组人数为，由题意可得方程人，则乙组人数为，由题意可得方程 为为 . 4.一小球以一小球以15m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高的速度竖直向上弹出，它在空中的高 度度h(m)与时间与时间t(s)满足关系满足关系h=15t-5t2,则小球经过则小球经过 s 达到达到10m高高. 5.把一根长把一根长14cm的铁丝弯成一个矩形，这个矩形的面的铁丝弯成一个矩形，这个矩形的面 积为积为12cm2,则这个矩形的对角线长是则这个矩形的对角

9、线长是 . 13x+2x(13x+2)=24 1或或2 5cm 点点对接点点对接 例例1：要制作一个容积为：要制作一个容积为756cm3，高为，高为6cm，底面长比，底面长比 宽多宽多5cm的无盖的长方体铁盒，应选用多大尺寸的矩形的无盖的长方体铁盒，应选用多大尺寸的矩形 铁片？铁片？ 解析：根据题意画出长方体的平面展开图，以便更直观地解解析：根据题意画出长方体的平面展开图，以便更直观地解 答此问题答此问题.此题可设底面宽为此题可设底面宽为xcm，则长为（，则长为（x+5）cm，盒，盒 子的底面积应是图中虚线围成的矩形的面积，由矩形的面积子的底面积应是图中虚线围成的矩形的面积，由矩形的面积 公式

10、得其面积为公式得其面积为x(x+5)cm2.根据长方体的体积公式，可列方根据长方体的体积公式，可列方 程解题程解题. 点点对接点点对接 解：解：设长方体的底面宽为设长方体的底面宽为xcm， 则长为（则长为（x+5）cm. 根据题意，根据题意， 得得6x(x+5)=756， 整理，得整理，得x2+5x-126=0， 解方程，得解方程，得x1=9，x2=-14， 而而x2=-140，不合题意，舍去，不合题意，舍去， 故故x=9. 当当x=9时，时，x+5+12=26，x+12=21. 答：选用长为答：选用长为26cm，宽为，宽为21cm的矩形铁片的矩形铁片. 点点对接点点对接 例例2：如图，某海军

11、基地位于：如图，某海军基地位于A处，在其正南方向处，在其正南方向200海里处有一海里处有一 重要目标重要目标B，在，在B的正东方向的正东方向200海里处有一重要目标海里处有一重要目标C，小岛，小岛D位位 于于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于位于BC上且恰好处于小上且恰好处于小 岛岛D的正南方向，一艘军舰从的正南方向，一艘军舰从A出发，经出发，经B到到C匀速巡航，一艘补匀速巡航，一艘补 给船同时从给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品 送达军舰送达军舰.（1）小岛）小岛D和小岛和小岛F相距多少海里

12、？（相距多少海里？（2）已知军舰的）已知军舰的 速度是补给船的速度是补给船的2倍，军舰在由倍，军舰在由B到到C的途中与补给船相遇于的途中与补给船相遇于E处，处， 那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）海里） 解析：（解析：（1）因为依题意可知）因为依题意可知ABC是等是等 腰直角三角形，腰直角三角形，DFC也是等腰直角三角也是等腰直角三角 形，形，AC可求，可求，CD就可求，因此由勾股定就可求，因此由勾股定 理可求理可求DF的长；（的长；（2）要求补给船航行的）要求补给船航行的 距离就是求距离就是求DE的长度，的长度，DF已求，因此

13、，已求，因此， 只要在只要在RtDEF中，由勾股定理即可求中，由勾股定理即可求. 点点对接点点对接 解：解： （1）连结）连结DF，则，则DFBC， ABBC，AB=BC=200海里，海里， AC=2AB=200 海里，海里，C=45， CD= AC=100 海里，海里，DF=CF， DF=CD， DF=CF= CD= 100 =100（海里），（海里）， 所以，小岛所以，小岛D和小岛和小岛F相距相距100海里；海里； 2 22 2 2 1 2 2 2 2 点点对接点点对接 （2）设相遇时补给船航行了）设相遇时补给船航行了x海里，海里， 那么那么DE=x海里，海里，AB+BE=2x海里，海里，

14、 EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里，）海里， 在在RtDEF中，根据勾股定理可得方程，中，根据勾股定理可得方程， x2=1002+(300-2x)2， 整理，得整理，得3x2-1200 x+100000=0， 解这个方程，得：解这个方程，得： x1=200- 118.4,x2=200+ (舍去舍去)， 所以，相遇时补给船大约航行了所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里海里. 3 6100 3 6100 6.三个连续正整数中，前两个数的平方和等于第三个三个连续正整数中，前两个数的平方和等于第三个 数的平方，则这三个数从小到大依次是数的平方，则这三个数从小到大依次是

15、 . 7.为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的 长比宽多长比宽多14m,而面积是而面积是3200m2,则操场的长为则操场的长为 m,宽宽 为为 m. 8.要用一根长要用一根长24cm的铁丝围成一个斜边长为的铁丝围成一个斜边长为10cm的的 直角三角形，则两直角边的长分别为（直角三角形，则两直角边的长分别为（ ） A.7cm和和7cm B.6cm和和8cm C.4cm和和10cm D.2cm和和12cm 3、4、5 64 50 B 9.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4， 且个位数字与十位数字的平

16、方和比这个两位数小且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设，设 个位数字为个位数字为x,则方程为（则方程为（ ） A.x2+(x-4)2=10(x-4)+x-4 B.x2+(x+4)2=10 x+x+4-4 C.x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4 D.x2+(x-4)2=10 x+(x-4)-4 C 10.A、B两港口恰好位于东西方向（两港口恰好位于东西方向（B在在A的正东方的正东方 向上），相距向上），相距100海里，甲船从海里，甲船从A港口出发沿北偏东港口出发沿北偏东 506方向航行，乙船同时从方向航行，乙船同时从B港口出发，沿北偏西港口出发，沿北偏西 3654方向航行，已知甲船每小时比乙船快方向航行，已知甲船每小时比乙船快4海里，海里，5 小时后同时到达小岛小时后同时到达小岛C，求甲、乙两船的速度各是多少，求甲、乙两船的速度各是多少 ？ 解：解： 设乙船每小时行驶设乙船每小时行驶x海里，海里， 则甲船每小时行驶则甲船每小时行驶(x+4)海里，海里， 根据题意