最常见的随机过程或随机模型PPT学习教案

1、会计学1 最常见的随机过程或随机模型最常见的随机过程或随机模型 2 n1979年年Cox、Ross和和Rubinstein利用二项过程利用二项过程 提出了二叉树期权定价模型，用以构造股票价格提出了二叉树期权定价模型，用以构造股票价格 运动过程，进行股票期权定价分析。运动过程，进行股票期权定价分析。 n目前，二叉树模型已被广泛应用于金融资产定价目前，二叉树模型已被广泛应用于金融资产定价 领域，并为直观理解金融资产价格的复杂随机行领域，并为直观理解金融资产价格的复杂随机行 为提供了最佳认识工具，为金融计算提供了可行为提供了最佳认识工具，为金融计算提供了可行 的数值方法。的数值方法。 二项过程二项过

2、程 第1页/共17页 3 n二项分布是指随机变量满足概率分布二项分布是指随机变量满足概率分布 其中，其中，k=1,2, ，0p1)，要么，要么 以概率以概率q下降到下降到dS(d1)；时间为；时间为t+2 t时有三种可时有三种可 能：能：u2S、udS、d2S，以此类推，见树型结构，以此类推，见树型结构 第3页/共17页 5 显然，在显然，在t + t 时刻，股票的期望价格为时刻，股票的期望价格为 E(St+ t)=puS+(1-p)dS， 在在t +2 t 时刻，股票的期望价格为：时刻，股票的期望价格为： 在在t + n t 时刻，股票的期望价格为：时刻，股票的期望价格为： SdpudSpp

3、SupSE tt 2222 2 )1 ()1 (2)( 2 0 22 2 )1 ( i iiiii Sduppc ， )( tnt SE 0 (1) n iin iin i n i C ppudS - = =- 第4页/共17页 6 引言：引言： Brown运动是用以描述连续时间下金融资产价格运动是用以描述连续时间下金融资产价格 运动的，但金融资产价格并不都是随时间而连续运动的，但金融资产价格并不都是随时间而连续 变化的，有时会出现跳跃，变化的，有时会出现跳跃，Poission过程就是经过程就是经 常用以模拟跳跃的一类随机过程。常用以模拟跳跃的一类随机过程。 Poission过程过程 第5页/

4、共17页 7 计数过程：计数过程： 如果用如果用 t表示表示0,t内随机事件发生的总数，则随机内随机事件发生的总数，则随机 过程过程 t t0称为计数过程，且满足：称为计数过程，且满足： (a) t 0； (b) t是整数值；是整数值； (c) 对于任意两个时刻对于任意两个时刻0 st,有有 s t； (d) 对于任意两个时刻对于任意两个时刻0 st, t - s等于在区间等于在区间 中发生的事件的个数。中发生的事件的个数。 , s t 第6页/共17页 8 n 若在不相交的时间区间中发生的事件个数是独若在不相交的时间区间中发生的事件个数是独 立的，则称计数过程有独立增量。立的，则称计数过程有

5、独立增量。 n 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只 依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增 量。量。 显然，显然， t为一个正整数，为一个正整数， 0=0；对于任意的时刻；对于任意的时刻0 st, 有有 s t, t = t s表示表示s到到t时间段内出现时间段内出现 的事件数目。的事件数目。 第7页/共17页 9 设随机过程设随机过程 t t0是独立增量过程，如果满足是独立增量过程，如果满足 (a) 0=0; (b) t t0是独立增量过程（是独立增量过程（t= t s）；）； (c) 对任一长度为对

6、任一长度为t的区间中事件的个数服从均值的区间中事件的个数服从均值 为为 (t s)的的Poission分布，即对一切分布，即对一切s t0 ，有，有 则称则称 t t0为参数为为参数为 (t s)的的Poission过程。过程。 直接计算可知，直接计算可知，E t =V t = t，即，所以，即，所以 表示单表示单 位时间内事件出现的平均次数，因而位时间内事件出现的平均次数，因而 也常被称为也常被称为 发生率或强度。发生率或强度。 定义定义9 泊松过程泊松过程 0,2 , 1 , 0, ! )( )( )( k k est kP stkk st 第8页/共17页 10 随机过程随机过程 tt0

7、称为白噪声过程，若称为白噪声过程，若E t=0，且，且 显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程，在显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程，在 金融研究中主要用于模型无法解释的波动。金融研究中主要用于模型无法解释的波动。 白噪声过程白噪声过程 0, 0 0, )( 2 j j E jtt 第9页/共17页 11 按时间次序排列的随机过程按时间次序排列的随机过程 t( t=1，2，)称为时间序列称为时间序列 。 若时间序列是相互独立的，则说明事件后一刻的行为与前若时间序列是相互独立的，则说明事件后一刻的行为与前 一刻毫无关系，即系统无记忆性。一刻毫无关系，即系统无记忆性。 若情况相反，则前后时刻事

8、件之间就有一定的依存性。其若情况相反，则前后时刻事件之间就有一定的依存性。其 中最简单的关系就是事件后一刻的行为只与前一刻的行为中最简单的关系就是事件后一刻的行为只与前一刻的行为 有关，而与其前一刻以前的行为无直接联系，即有关，而与其前一刻以前的行为无直接联系，即t主要与主要与 t - 1相关。从记忆的角度理解，是最短的记忆，即一期记忆， 相关。从记忆的角度理解，是最短的记忆，即一期记忆， 描述这种关系的模型称为一阶自回归过程，记为描述这种关系的模型称为一阶自回归过程，记为AR（1） ，即，即 t=a t-1+ t，t=1,2, ， 其中，其中，a为常数，为常数， t为白噪声过程，称为扰动项。

9、当为白噪声过程，称为扰动项。当|a|1为非平稳过为非平稳过 程。程。 自回归过程自回归过程 第10页/共17页 12 更一般地，更一般地，m阶自回归过程阶自回归过程 t ( t=1，2，), 记记 为为AR（m）, 满足：满足： t =a1 t -1+ a2 t -2+am t -m+ t t=1，2， m阶自回归过程具有阶自回归过程具有m期记忆或者说期记忆或者说m阶动态性。阶动态性。 若滞后算子多项式若滞后算子多项式1 a1z -amzm=0的根在单位圆的根在单位圆 之外时，为平稳过程。否则，就是非平稳的。之外时，为平稳过程。否则，就是非平稳的。 第11页/共17页 13 自回归过程表示在自

10、回归过程表示在t时刻的事件时刻的事件 t 只与其以前的响只与其以前的响 应应 t -1， t -2， t -m 有关，而与以前时刻的扰有关，而与以前时刻的扰 动无关。若时间序列动无关。若时间序列 t 与其以前的冲击或扰动与其以前的冲击或扰动 t -1， t -2， t -n有关，而与以前时刻的响应无有关，而与以前时刻的响应无 关，那就是关，那就是n阶移动平均过程，记为阶移动平均过程，记为MA(n),即即 t = b0+ t +b1 t -1+ b2 t -2+ bn t n t=1，2， 当当|bj|1表示冲击将表示冲击将 放大，其中放大，其中i=1，2，,n。 移动平均过程移动平均过程 第1

11、2页/共17页 14 若时间序列若时间序列 t 在在t时刻，不仅与其以前的自身值时刻，不仅与其以前的自身值 有关，而且与以前时刻的冲击或扰动存在着一定有关，而且与以前时刻的冲击或扰动存在着一定 的依存关系，则称为混合自回归的依存关系，则称为混合自回归移动平均过程移动平均过程 ，其一般形式（记作，其一般形式（记作ARMA(m，n)）为）为 t =a1 t -1+ a2 t -2+ am t -m+ t +b1 t -1+ b2 t -2+ bn t n 混合自回归混合自回归移动平均过程移动平均过程 第13页/共17页 15 在金融市场中，许多情况下的金融资产价格的变化，随着在金融市场中，许多情况

12、下的金融资产价格的变化，随着 时间的推移常常趋于某个长期平均水平，称为均值回复现时间的推移常常趋于某个长期平均水平，称为均值回复现 象，例如利率的变化就常常如此。具体的利率期限结构或象，例如利率的变化就常常如此。具体的利率期限结构或 均值回复模型定义为均值回复模型定义为 其中其中0，服从标准正态分布。当股票价格服从标准正态分布。当股票价格S低于均值低于均值时时 ，-S取正值，即取正值，即S具有正的漂移率，具有正的漂移率，dS将会变为正值。反将会变为正值。反 之，当股票价格之，当股票价格S高于均值高于均值时，时，-S取负值，即取负值，即S具有负的具有负的 漂移率，漂移率，dS将会变为负值。尽管变

13、化过程中价格可能会偏将会变为负值。尽管变化过程中价格可能会偏 离均值离均值 ，但长期来看，但长期来看S都会向均值都会向均值靠近。过程中偏离的靠近。过程中偏离的 程度由参数程度由参数0决定的。注意：资产价格表现出来的某种长决定的。注意：资产价格表现出来的某种长 期可预测性，与市场有效性的假定是不符合的。期可预测性，与市场有效性的假定是不符合的。 利率期限结构或均值回复模型利率期限结构或均值回复模型 dtSdtSudS)( 第14页/共17页 16 事实上，现实中的金融资产的收益变化和分布主要呈现出事实上，现实中的金融资产的收益变化和分布主要呈现出 以下基本特征：以下基本特征： n 金融资产的收益

14、变化和分布表现出明显的非线性特点；金融资产的收益变化和分布表现出明显的非线性特点； n 与正态分布相比，金融资产的收益分布的尾部通常较厚与正态分布相比，金融资产的收益分布的尾部通常较厚 ，方差小的变量绝大多数集中在均值附近，而方差大的变，方差小的变量绝大多数集中在均值附近，而方差大的变 量则多集中于分布的尾部；量则多集中于分布的尾部； n 收益的波动性有时很大，有时却很小，而且有关波动性收益的波动性有时很大，有时却很小，而且有关波动性 的冲击常常要持续一段时间才会消失，即同时呈现出集聚的冲击常常要持续一段时间才会消失，即同时呈现出集聚 性和持久性，这表明资产收益序列具有条件异方差的特性性和持久

15、性，这表明资产收益序列具有条件异方差的特性 ； n 金融资产收益呈现出明显的自相关性；金融资产收益呈现出明显的自相关性； n 金融市场尤其是股票市场，价格运动与波动性是常为负金融市场尤其是股票市场，价格运动与波动性是常为负 相关的，也就是负的回报要比正的回报导致更大的条件方相关的，也就是负的回报要比正的回报导致更大的条件方 差，即具有非对称的杠杆效应。差，即具有非对称的杠杆效应。 ARCH类模型类模型 第15页/共17页 17 传统的随机过程和模型对金融资产收益的模拟和描述主要传统的随机过程和模型对金融资产收益的模拟和描述主要 是线性的，不能很好处理上述特征，因而也常常无法准确是线性的，不能很好处理上述特征，因而也常常无法准确 估计和预测金融资产的收益及其波动性。估计和预测金融资产的收益及其波动性。 ARCH类模型一般由条件均值方程和条件方差方程两个方类模型一般由条件均值方程和条件方差方程两个方 程组成。但由于此类方程主要用于估计波动性和相关性，程组成。但由于此类方程主要用于估计波动性和相关性， 所以重点在条件方差方程，而条件均值方程常常比较简单所以重点在条件方差方程，而条件均值方程常常比较简单. r