曲面及其方程27270PPT学习教案

1、会计学1 曲面及其方程曲面及其方程27270 求到两定点求到两定点A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距离的点等距离的点 的的 222 )3()2()1( zyx 07262 zyx化简得化简得 即即 说明说明: : 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的的垂直平分面垂直平分面. . 引例引例: : 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, , 满足此方程的坐标点都在此平面上满足此方程的坐标点都在此平面上. . 222 )4()1()2( zyx 解解: :设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为, ),(zyxM,BMAM 则则 轨迹轨迹方程方程. . 第1页

2、/共43页 0),(zyxF S z y x o 如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关有下述关 系系: (1) 曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程; 则则 F( x, y, z ) = 0 叫做叫做曲面曲面 S 的方程的方程, 曲面曲面 S 叫做叫做方程方程 F( x, y, z ) = 0 的图形的图形. 两个基本问题两个基本问题 : : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2)满足此方程的坐标点都在此平面上满足此方程的坐标点都在此平面上, 求曲面方程求曲面方程. (2) 已知方程

3、时已知方程时 , 研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图必要时需作图 ). 第2页/共43页 故所求方程为故所求方程为 ),(zyxM ),( 0000 zyxM 方程方程. 特别特别, ,当当M0在原点时在原点时, ,球面方程为球面方程为 解解: 设轨迹上动点为设轨迹上动点为RMM 0 即即 依题依题 意意 距离为距离为 R 的轨的轨 迹迹 x y z o M 0 M 222 yxRz 表示上表示上(下下)球面球面 . Rzzyyxx 2 0 2 0 2 0 )()()( 22 0 2 0 2 0 )()()(Rzzyyxx 2222 Rzyx 第3页/共43页 04

4、2 222 yxzyx 解解: : 配方得配方得 5 , )0, 2, 1( 0 M此方程表示此方程表示: 说明说明: : 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 ) 都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形. .其图形可能是其图形可能是 的曲面的曲面. . 表示表示怎样怎样 半径为半径为的球面的球面. . 0)( 222 GFzEyDxzyxA 球心为球心为 一个一个球面球面, , 或或点点 , , 或或虚轨迹虚轨迹. . 5)2()1( 222 zyx 第4页/共43页 x y z 引例引例. . 分析方程分析方程 表示怎样的曲面表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方

5、程的坐标也满足方程 222 Ryx 解解: :在在 xoy 面上面上，表示圆表示圆C, 222 Ryx 222 Ryx 沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线轴的一切直线所形成的曲面所形成的曲面称为称为圆圆 故在空间故在空间 222 Ryx 过此点作过此点作 柱面柱面. . 对任意对任意 z , 平行平行 z 轴的直线轴的直线 l , 表示表示圆柱面圆柱面 o C 在圆在圆C上上任取一点任取一点 , )0 ,( 1 yxM l M 1 M ),(zyxM点点 其上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程 , , 第5页/共43页 定义定义3. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并

6、沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . 第6页/共43页 定义定义3. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . 第7页/共43页 定义定义3. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . 第8页/共43页 定义定义3. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲

7、线 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . 第9页/共43页 定义定义3. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . 第10页/共43页 定义定义3. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . 第11页/共43页 定义定义3. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线

8、 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . 第12页/共43页 定义定义3. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . 第13页/共43页 定义定义3. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . 第14页/共43页 定义定义3. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线

9、 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . 第15页/共43页 定义定义3. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . 第16页/共43页 定义定义3. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . 第17页/共43页 定义定义3. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线

10、 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . 第18页/共43页 结束结束 定义定义3. 平行平行定直线定直线并沿并沿定曲线定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . 第19页/共43页 x y z x y z o l 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形形 成成 的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. 表示表示抛物柱面抛物柱面 , 母线平行于母线平行于 z 轴轴; 准线为准线为xoy 面上的抛物线

11、面上的抛物线 . z 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面 . xy2 2 1 2 2 2 2 b y a x z 轴的轴的平面平面. 0 yx 表示母线平行表示母线平行 于于 C (且且 z 轴在平面上轴在平面上) 表示母线平行于表示母线平行于 C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线 . x y z o o 第20页/共43页 x y z 3 l例例: :分析方程分析方程 表示怎样的曲面表示怎样的曲面 . 2 4xz 答答: 2 4xz 在空间直角坐标系中表示在空间直角坐标系中表示: y 轴的柱轴的柱 面面. 以以 xOz 上的抛物线上的抛物线 为准线为准线 , 2 4xz 而母线平行于而母线平行

12、于 称为称为抛物柱面抛物柱面. 第21页/共43页 x z y 2 l 柱面柱面, , 柱面柱面, , 平行于平行于 x 轴轴 ; ; 平行于平行于 y 轴轴; 平行于平行于 z 轴轴 ; ; 准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线 l3. 母线母线 柱面柱面, , 准线准线 xoy 面上的曲线面上的曲线 l1. 母线母线 准线准线 yoz 面上的曲线面上的曲线 l2. 母线母线 表示表示方程方程0),( yxF 表示表示方程方程0),( zyG 表示表示方程方程0),( xzH x y z 3 l x y z 1 l 第22页/共43页 定义定义2. . 一条一条平面曲平面曲 线线 绕其平面

13、上绕其平面上一条定直线一条定直线旋转旋转 一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面 . . 该定直线称为该定直线称为旋转旋转 轴轴 . . 例如例如 : 第23页/共43页 第24页/共43页 第25页/共43页 第26页/共43页 第27页/共43页 第28页/共43页 第29页/共43页 第30页/共43页 第31页/共43页 第32页/共43页 第33页/共43页 第34页/共43页 第35页/共43页 故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为 , ),(zyxM 当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时 , , 0),( 11 zyf ,), 0( 111 CzyM 若点若点 给定给定

14、yoz 面上曲线面上曲线 C: ), 0( 111 zyM , 1 zz 则有则有 0),( 22 zyxf 则有则有 该点转到该点转到 0),( zyf o z y x C ),(zyxM 1 22 yyx 的距离相同的距离相同 轴轴点到点到轴的距离与轴的距离与点到点到zMzM1 第36页/共43页 0),(: zyfC o y x z 0),( 22 zxyf 给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C: 0),( zyf绕绕 z 轴旋转所成轴旋转所成 曲面曲面的的方程方程: 1. 保持保持z不变不变; 2. 将方程中另一个变量将方程中另一个变量y 换成换成 22 yx 小结：小结： 第37页

15、/共43页 的圆锥面方程的圆锥面方程. 解解: 在在yoz面上直线面上直线L 的方程的方程 为为 cotyz 绕绕z z 轴旋转时轴旋转时, ,圆锥面的方程为圆锥面的方程为 cot 22 yxz )( 2222 yxaz cot a令令 x y z 两边平方两边平方 L ), 0(zyM 第38页/共43页 x y 1 2 2 2 2 c z a x 分别绕分别绕 x 轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕绕 x 轴旋转轴旋转 1 2 22 2 2 c zy a x 绕绕 z 轴旋转轴旋转 1 2 2 2 22 c z a yx 这两种曲面都

16、叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面. . 所成曲面方程所成曲面方程 为为 所成曲面方程为所成曲面方程为 z 又分别称为又分别称为双叶双曲面双叶双曲面和和单叶双曲面和单叶双曲面和. . 第39页/共43页 1 2 22 2 2 c zx a y 1 2 2 2 22 c z a yx 旋转椭球面旋转椭球面 pzyx2 22 旋转抛物面旋转抛物面 (2) (3) 第40页/共43页 1. 空间曲面空间曲面 三元方程三元方程0),( zyxF 球面球面 22 0 2 0 2 0 )()()(Rzzyyxx 旋转曲面旋转曲面 如如, 曲线曲线 0 0),( x zyf 绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面: 0),( 22 zyxf 柱面柱面 如如,曲面曲面0),( yxF表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱轴的柱 面面