第六章样本及抽样分布.doc

1、第六章 样本及抽样分布授课对象】理工类本科二年级授课时数】4 学时授课方法】课堂讲授与提问相结合基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；2、了解经验分布函数和直方图的作法， 知道格林汶科定理；3、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算； 4、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论； 5、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。本章重点】 样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布2分布， t 分布，F 分布；分位数的理解和计算。本章难点】 对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。 授课内容及学时分配】6. 0 前 言前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知

2、：概率论是研究随机现象统计规律性 的一门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计 规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应 用十分广泛的一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现 象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象） 。其研究方法是归纳法（部分到整 体）。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提 供理论依据和建议。数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点 研究参数估计和假设检验。6.1 随机样本、总体与样本1.总体、个体在

3、数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个 元素称为个体。例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡 就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总 体，而每个男大学生就是个体。但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X（可以是向量）和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中X是表示 灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标 X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总

4、 体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们 以后就把总体和 数量指标X可能取值的全体组成的集合 等同起来。定义1 :把研究对象的全体（通常为数量指标 X可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。我们对总体的研究，就是对相应的随机变量 X的分布的研究，所谓总体的分布也就是数 量指标X的分布，因此，X的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今 后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体 X。根据总体中所包括个体的总数，将总 体分为：有限总体和无限总体。例1：考察一块试验田中小麦穗的重量：=所有小麦穗重量的全体（无限总体）；

5、个体一一每个麦穗重X对应的分布：F(x) Px总麦穗数重量 x的麦穗数2)0 x例2:考察一位射手的射击情况:=此射手反复地无限次射下去所有射击结果全体;每次射击结果都是一个个体（对应于靶上的一点）个体数量化x1射中0未中1在总体中的比例p为命中率0在总体中的比例1 p为非命中率总体由无数个0, 1构成，其分布为两点分布B(1,p) PX 1p, PX 0 1 p2.样本与样本空间为了对总体的分布进行各种研究，就必需对总体进行抽样观察。抽样一一从总体中按照一定的规则抽出一部分个体的行动。一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据观察所得数据来推断总 体的性质。按照一定规则从总体中

6、抽取的一组个体(Xi，X2，,Xn)称为总体的一个样本，显然，样本为一随机向量。为了能更多更好的得到总体的信息，需要进行多次重复、独立的抽样观察(一般进行n次)，若对抽样要求代表性：每个个体被抽到的机会一样，保证了 X1,X2, , Xn的分布相同, 与总体一样。独立性：X1,X2, ,Xn相互独立。那么，符合“代表性”和“独立性”要求 的样本(X1，X2， ,Xn)称为简单随机样本。易知，对有限总体而言，有放回的随机样本为简 单随机样本，无放回的抽样不能保证 X1,X2, ,Xn的独立性；但对无限总体而言，无放回随 机抽样也得到简单随机样本，我们本书则主要研究简单随机样本。对每一次观察都得到

7、一组数据(X1,X2, ,Xn)，由于抽样是随机的，所以观察值(X1,X2, Xn )也是随机的。为此，给出如下定义：定义2:设总体X的分布函数为F(x)，若X1,X2, ,Xn是具有同一分布函数F(x)的相互独立 的随机变量，则称(X1,X2, ,Xn)为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，简称样 本。把它们的观察值(X1,X2, ,Xn )称为样本值。定义3：把样本(X1, X2, , Xn)的所有可能取值构成的集合称为 样本空间,显然一个样本值(X1,X2, Xn)是样本空间的一个点。二、样本的分布：设总体X的分布函数为F(x)，( X1, X2, ,Xn )是X的一个样本，则其联合

8、分布函数为：nF*( X1，X2， ,Xn )= F(Xi)。i 1例3：设总体X B(1, p), (X1，X2， Xn)为其一个简单随机样本，则样本空间(X1，X2， ,Xn)Xi 0,1 ; i 1,2, ,n，因为 PX x pX (1 p)1 X,x 0,1所以样本的联合分布列为：PX1X1,X2X2 丄，XnXnPX1X1 P X 2X2 LPXnXnXi / / 1X1X2 / / 1X2Xn/ 1Xnc A/ cp (1 p) .p (1 p) p (1 p)Xi0,1 I 1,2, ,n 6.2分布函数与概率密度函数的近似解在概率论中，我们介绍了几种常用的分布函数以及它们的性

9、质，当时我们总假定它们都 是先给定的，而在实际中，所遇到的用于描述随机现象的随机变量，事先并不知道其分布函 数，甚至连其分布类型也一无所知，那么，怎么样才能确定它的分布函数 F (x)呢？一般地，利用样本及样本值，建立一定的概率模型，用由此获得的概率统计信息来对总 体X的F(x)进行估计和推断，这就是：一、经验分布函数1.定义：设(X1,X2, ,Xn)是来自总体X的样本，用S(X)表示：X R，X1,X2,L ,Xn 中不大于X的随机变量的个数，定义经验分布函数为1Fn(x)S(x) X R。n设(X1,X2, , Xn)是样本的一个观察值，令这n个数值由小到大的顺序排列后为：X； X； *

10、 *X3 30时，t分布与N(0,1)非常接近。V、当n较小时，t分布与N(0,1)有较大的差异，且对t。P |T | t0 P | X | t0 ，其中 X N(0,1)。即t分布的尾部比N(0,1)的尾部具有更大的概率。VI、若 T t(n)，则 n 1 时，E(T )0; n 2时，D (T )3) 结论:I)设(X1,X2, ,Xn)是来自总体X N( , 2)的一个样本，则统计量1)，2X N(0,1)，又(n 12)S2(n 1)，且X与S2相互独立，则Xn与(n 21) S2相互独立，由t分布的定义，所以x n(X), n t(n 1)T(n 1)S221 n 1II)设(Xi,

11、X2,Xm)是来自总体X N( 1, 12)的一个样本，(第上，,Yn)是来自总；)的一个样本，且X与Y相互独立，当122时，则统计量(X Y) ( 11)Sm2 )(n 1)Snmn(m n 2) t(m m n2),其中，X1mXim i 1smm(Xi X)2m 1 i 1(YiY)2事实上,N(21,)mN(2,2)，且x与Y相互独立, n所以：X Y N(2-)，即:n(XY)(12)N(0,1)；2又(m 1)Sm2(m1),2(n 1)Sn2(n 1)，且它们相互独立，由2分布的可加性，则2(m 1)Sm22(n 1)Sn(X Y) ( 12)1n(m 1居(n 1)sf2 4、

12、F -分布1)定义：设X 2(m)(m, n)的F分布，记作:(m n(X2)Y)J(m 1应由t分布的定义:(1 2)(n 1)S：2(n)，F F(m,n),mn(m n 2)t(m m n且X与Y相互独立，则称统计量n 2)F宁服从自由度为n其中：m为第一自由度，n为第二自由度。由定义，若 T t( n )，则 T2 F(1, n)。F(m, n)的概率密度函数为:(m2n)m)m2nn ，/m、/m 1 m 、()(X)(1 X)f(x;m, n) (；)(；) n八 n)0说明：先求出(X,Y)的联合密度函数f (x, y)，再令U X Y,V X m，求出(U ,V )的联合f (

13、u,v)，注意到U ,V独立，所以V的边缘密度函数，也即F的密度函数。2) F分布的性质(特点)I.密度曲线不对称(偏态)II.若 FF(m,n)，则 rF(n,m)III.当n 2时，Ef当n 4时，Efn2(m 2)，Df(n 2)(n4)n2(2m 2n 4) m(n 2)2 *(n 4)注:(利用 (1) ( 1)3) 结论:设(X1,X2, ,Xm)是来自总体X N (2 )的一个样本，(丫1,丫2, ，丫n)是来自总体F(m 1,n 1) o1sYN( 2,；)的一个样本，且X与丫相互独立，则F事实上，(m 1)S2(m 1)，(n 用2(n 1)，由F分布的定义，可得讣/(m 1

14、)1咋/(n21)2s22S1专1 2F(m 1,n1),2(Yi Y)设随机变量X的分布函数为F(x)，对于给定的正数(01)，若有x满足F(x ) PX x ，则称x为X的(下侧) 分位数(或 分位点)。2.表示方法:.N(0,1)的分位数 满足:1 弓e dx 。由标准正态分布的对称性可知:.2(n)分布的 分位数2(n)满足:2 (n)2(x,n)dx，由附表6查其值:当 n 45时，2 (n)丄(u . 2n 1)2或 n . 2n u 。2t (n) .t(n)分布的 分位数t(n)满足： t(x,n)dx ，由附表5可查出其值。由于n 30时,t(n)分布接近于N(0,1)，所以当n 45时，可查N(0,1)分布分位数表。由t分布的对称性可知:t X 0.F(m, n)分布的分位数F(m,n)满足：F (m,n)0f (x; m, n)dx，由 F (m, n)分布性质,1有：F (m, n)=F1 (n,m)事实上，PF (m, n)P1 111P21 1F ( m,n )F ( m,n )1P- t (n,m)1 o.分位数的其它表示法。1)若 使pX ，则 称为X的上侧 分位数，显然：为原分布的1