第七章空间解析几何.doc

1、第七章空间解析几何与向量代数内容概要主要内容(7-1 , 7-2 , 7-3)向量的加减法三角形法则平行四边形法则向量与数的乘法a :当，0时，a表示和a同向, 当九 0， Za表示和a反向，pa =吗a扎a的的向量;主要性质：（1） a单位化向量为 a(2)a/b= a=1；b向量的代数运算a = ax i + ay j + az k b= bxi +by j + bzkab = a 士bx)i土by) j + (atbz)ka =九a*i + 九aj * /_azk向量a的模、方向余弦：a = Ja； +a： +a；，cosa =ax,co =,cos了 =邑aaaM1（x力，乙），皿：区

2、皿乙）的距离：区-xj2 （y? - yj2 色-乙）2向量a在卩轴上的投影：Pr j用=|a| cos（a, 口）= 葺上数量积定义及运算：a b =a b cos(a, b) = axbx + ayby + azbz主要性质：（1）a a = a2a b；(2)a - b a b 二 0，( 3)cos(a, b)-a|b向量积定义运算ab的模为a汉b| = |a|b|sin(a,b)，方向为a指向b大拇指方向ax ay azbxbybz性质：（1）ab表示以a、b为邻边的平行四边形面积;（2）ab 丄 a , ab 丄 b混合积ax定义及运算：（a b） c二bxaybyazbzCxCy

3、Cz性质：(1)(a b) c = (b c) a = (c a) b(2)a, b, c共面的充要条件：(a汉b)c = 0习题7-1 1 .填空：(1) 要使a = a b成立，向量a , b应满足a丄b(2) 要使a +b = a + b成立，向量a, b应满足a / b ，且同向 2 设 u = a _ b 2c, v - a 3b _ c，试用 a , b , c 表示向量 2u - 3v知识点：向量的线性运算解：2u - 3v = 2a - 2b 4c 3a - 9b 3c = 5a -11b 7c 3 设P ,Q两点的向径分别为PR,r2，点R在线段PQ上，且RQm，证明点R的向

4、径为n 11 m r?rm n知识点：向量的线性运算证明：在=OPQ中，根据三角形法则OQ -OP = PQ，又PR = m PQ = (r2 - r1)， m + n m + n- OR =OP PR = r1ntmr2m n 4已知菱形ABCD的对角线AC =a ,BD = b，试用向量a , b表示AB , BC ,CD , DA知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则， AB BC=AC= a ,ADAB=BD= b，又ABCD为菱形,AD = BC (自由向量)，2AB =AC -BDCD 一 -DC二 a _b二 AB 二- ABb -aa亠bAD =BC =2DA 5把.ABC的

5、BC边五等分，设分点依次为Di , D2 , D3 , D4，再把各分点与点A连接，试以AB = c, BC = a 表示向量 Di A, D2 A, D3 A 和 DA。知识点：向量的线性运算D1D2D3D4解：见图7-1-5，图 7-1-5 * 1 “ - * 1根据三角形法则， AB BD AD1, BD1BC= D“A = -AD (c a)5 5一2 一3 一4同理：D2A=-(ca), D3A = -(ca), D4A =-(ca)555习题7-2 1在空间直角坐标系中，指岀下列各点在哪个卦限？A(2 , - 2,3) ;B(3,3,-5) ;C(3, -2,-4) ; D(-4,

6、-3,2)答：A(2 , -2,3)在第四卦限，B(3,3,-5)在第五卦限，C(3,-2,-4)在第八卦限，D( -4, -3,2)在第三卦限 2 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指岀下列各点的位置:A(2,3,0);B(0,3,2);C(2,0,0);D(0, -2,0)二点A在xoy坐标面上；B在yoz坐标面上；C在x轴上；D在y轴上。 3.求点（a, b, c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。答：（1）（a, b, c）关于xoy面的对称点的坐标为（a, b, -c）；关于xoz面的对称点的坐标为（a,b, c）；关于yoz面的对称点的坐

7、标为（一a,b,c）。（2） （ a, b, c）关于x轴的对称点的坐标为（a,_b,_c）;关于y轴的对称点的坐标为（_a, b,-c）；关于z轴的对称点的坐标为（_a,_b, c）（3） （ a, b, c）关于原点的对称点的坐标为（_a,-b, -c） 4.过点P0（x0, y0, z0）分别作平行于z轴的直线和平行于xoy坐标面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？答：过点F0（ x0,y0,z0）平行于z轴的直线上的点x、y坐标一定为x0,y0，因此坐标为（冷，y0,z）；过点P（ x0, y0, z0）平行于xoy坐标面的平面上的点的竖坐标一定为z0,因此坐标为（x, y,

8、z0） 5 求点M（5, -3,4）到各坐标轴的距离。解：丁 M （x, y, z）到x轴的距离为.z2y2 M（5, -3,4）到 x轴的距离为.z2 y2 = .916 =5；同理M（5, -3,4）到y轴的距离为.x2 z2 =25 - 16；M（5, -3,4）到 z 轴的距离为，x2y2 = 25 934 6在 yoz 面上，求与三点 A（3,1,2）,B（4, -2, -2）, C（0,5,1）等距离的点。知识点：空间两点的距离解：丁所求点在yoz面上，设所求点的坐标为（0, y,z），由条件可知：、9 (y -1)2 (z -2)2 二 16 (y 2)2 (z 2)2 二(y

9、-5)2 (z-1)23y + 4z = _54y -z =6y =1，二所求点为(0,1,-2)z = -2 7.已知两点M (0,1,2),M 2(1,1,0),试用坐标表示式表示向量 MrMz一ZMrM?。知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算解：M1M2 =1,-2,-2 ； -2M“M2 - -21,-2,-2 =-2,4,4) 8 .求平行于向量a = 6,7,-6的单位向量知识点：向量的坐标表示及代数运算解：平行于向量a =6,7, -6的单位向量有和a同向和反向两个,* I c .36 49 366,7,6疋, 書 9已知两点M&4, -.2,1), M,(3,0,2

10、)，计算向量M1m2的模、方向余弦、方向角。知识点：向量的坐标表示及代数运算解军：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得:MM =T, -V2,1= M1M| _ 1_ Q 2= 12 1=2, cos, cos -2 2cos：土匚2343 10.已知向量a的模为3,且其方向角=60、，：= 45，求向量a。知识点：向量的坐标表示及相关概念解：根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得:IRy兀JT兀a = a cos a, cos P, cos = 3cos , cos, cos343 3时2 33=?,2 11 设向量a的方向余弦分别满足(1)cos ：= 0,(2)cos： = 1

11、,(3)cos ：二 cos ：二 0问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何?知识点：向量的方向余弦TC解：（1）COS，- 0表示向量和x轴正向夹角为，因此该向量和x轴垂直，或平行于yoz面2（2） COS ： =1表示向量和y轴正向夹角为零，因此该向量和y轴平行且方向相同（3）COS y = COS - = 0表示向量和x、y轴正向夹角都为 一，说明该向量和x、y轴都垂直，因此平行2于z轴 12.已知r = 4, r与轴4的夹角是60，求Pr jpr。知识点：向量在轴上的投影A解：根据投影公式 Pr j戌=r cos（ r,山=2 13. 一向量的终点为 B（2, -1,7），它在x轴、y轴

12、和z轴上的投影依次为4, -4,7，求该向量的起点A的坐标。知识点：向量在坐标轴上的投影解：向量的坐标分量即为它在 x轴、y轴和z轴上的投影，设起点 A为A（x, y, z），则：AB 二2 - x, -1 - y, 7 - z = 4, - 4,乃=(x, y,z) = (-2,3,0) 14.求与向量a二16, -15,12平行，方向相反，且长度为 75的向量b知识点：向量的坐标表示及代数运算解：由条件可得：b 二a，b长度为75，.二162152 122= 75= -3b 和 a 反向， 3= b a = -48,45, 36，习题7-3 1设a= 3, b = 5，且两向量的夹角日=兀

13、/ 3，试求(a- 2b)(3a + 2b)解：根据数量积的运算规律：(a 2b) (3a + 2b) =3 a2+2 a b 6b a- 4 b2=3 a2 -4a b - 4 b2,/ a b= a|bcos(a :b)=号二(a-2b) .(3a + 2b) = 0 2已知 Mi（1,1,2）, M 2（3,3,1）, M3（3,1,3），求同时与垂直的单位向量解:V由向量积性质：a b_a, a b_b , M 1M 2 二2,4,-1 , M 2M 3 二0,-2, 2知识点：向量的向量积i j二 M 側2 汇M2M3 = 240 -2k一1 =6 i - 4 j - 4k为同时与M

14、1M 2 ,M2M3垂直的向量2.所求单位向量为1一3厂2厂223,-2,-2-3、172、17 3 设力f =2 i -3 j 5k作用在一质点上，质点由 ”,1,1,2）沿直线移动到M2（3,4,5），求此力所做的功（设力的单位为 n,位移的单位为 m知识点：数量积的物理意义解军：数量积的物理应用之一：力沿直线作功。位移为 M 1 M 2工2,3,3,-W 二 f M1M2 =(2i -3j 5k) (2i 3j 3k) =10(N m) 4.求向量a =4, -3,4)在向量b = 2,2,1上的投影。知识点：向量在轴上的投影解军：根据公式Pr j ba = a cos(a, b)= 5

15、.设a = 3,5, -2, b -2,1,4，问与）有怎样的关系能使a川丄b与z轴垂直?(ab) 0,0,1 = -2 -4 =0- - =2A 6.在杠杆上支点o的一侧与点O的距离为x1的点P处，有一与OR成角日1的力F1作用着，在0的另一侧与点0的距离为x2的点P2处，有一与0F2成角v2的力F2作用着，如图，问 宀，二2，x1,x2， F1，F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡?知识点：向量积的物理应用解：R处F1作用产生的力矩 Mj = OR F1，F2处F 2作用产生的力矩 M2二0P2 F2，要使杠杆平衡，只要 Mp =|M2 二 F1 sin =x2 F2 sinT2 7.设

16、a = 2i 3 j k, b = ij 3k , c=i -2 j，求(1) (ab) c- (a c) b ；(2)(ab)(b c) ；(3)(ab)c知识点：向量运算的坐标表示 解(1) (a b)c -(a c)b = 8c -8b = 0, -8, -24j k-44 = -j - k-331(2) (a +b) x(b + c)=3,Y,4 x2,3,3 = 32i jk(3) (a xb)，c = (2 -3 1 ) c = 8, 5,1，1,2, 0 = 21-1 3 &直线L通过点A( -2,1,3)和B(0,_1,2)求点C(10,5,10)到直线L的距离知识点：向量积思

17、路：在A,B,C为顶点组成的三角形中，AB边上的高即为所求距离。解 :设所求的距离值为 h,AB =3，又根据向量积的性质:SABCAB AC =2 -2-1=-10i -26 j 32k-AB 汉 AC =30血1241 In S必bc = AB 汉 AC =21-3h 二 h =10、. 22 9试证向量ab ba表示向量a与b夹角的平分角线向量的方向。思、路：按题意，只要证该向量在a方向上的投影和它在 b方向上的投影相同。解：设c二a b| b|a，Pr jaca c ba aababa b aa| 制+阳)|a| (| a| + |b|) |a|+|b|lb,b c而Pr jb c =

18、bb aabbba旧 忖(bl+IH) lb l(l a|+|bl)制+bb aPrjacab ba七(1 - k) b g bI Jc和a、b在同一平面上,|bc表示向量a与b夹角的平分角线向量的方向 10.设 m = 2a + b, n = ka +b，其中 a| = 1, b = 2，且 a 丄 b。知识点：向量的数量积、向量积及其性质(1)k为何值时，m_n?解：m _ n = m n 二 0，由 m n 二 0= (2a b) (ka b) = 2k (2 k)a b 4 = 0-a I b，ab = 0= k = -2(2)k为何值时， m与n为邻边的平行四边形面积为 6。解：m与

19、n为邻边的平行四边形面积 S = m汇n = (2a + b) (ka + b) = (2- k)a汇b丁 a 丄b，二 a 汶 b = a|b= 2二 S=22k=6二 k = 1 或 k=5 ii .设a, b, c均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但a亠b与c共线，c亠b与a共线，试证a b c = 0。证明：丁 a b与 c共线，c - b与 a 共线，可设 、(a - b) = c, c - b = - 2a ,( 1 = 0, 2 = 0)代入可推得=(2 - J a = (1 Jb，又丁其中任意两个向量不共线，则由a, b不共线且为非零向量，可得：九2 _ i = 1 亠-1

20、 = 0 = 2 -，i _ _1 = a b c = 0 12试证向量 a 二i 3 j 2 k , b = 2i 3 j 4k , c 二一3i T2 j 6k 在同一平面上，并沿 a和b分解c。知识点：向量的混合积及其几何意义解：根据向量混合积的几何意义：a, b, c共面(a b) c = 0，-132又(a 汉 b) c = 23 4 = 30 3汉0+2用15=0，. a, b, c 共面-3126设 c = ia ：；，2b，将 a, b, c 代入= 22 - i = _3, 3( i -勺)=12, 2 i - 4 工=6二 1=5, 2=1= c = 5a b 13设点 代

21、 B, C 的向径分别为 片=2i 十4j + k , r2 = 3i + 7 j + 5k , q = 4i +10j + 9k，试证：A, B, C三点在一直线上。思路：只要证：向量 AB和AC平行证明：AB =OB -OA =3,7,5 -2, 4,1 =1,3,4；T T TAC =OC -OA 二4,10,9 -2, 4,1二2,6,8/ 話=2二 AB/AC 已知 a =a1, a2, a3, b = b1,b2,b3 , c = c1,c2, c3,试利用行列式的性质证明:(a b) c = (b c) a = (c a) b证明：(a b)aia2a3bib2b3bib2b3,

22、(b xc) a =CiC2C3CiC2C3aia2a3cbib2b3aia2a3而行列式CiC2C3是行列式bib2b3交换两次两行得到,aia2a3CiC2C3 (a xb)c=(bxc)a。同理可证:(bxc)a = 3 a) b,-(a xb)c=(bxc)a = (exa)b i5.试用向量证明不等式：丫耳2 +a22 十 a32 Yb/ +b22 +b32 A aibi 十 a2b2 + a3b3。.bi2 b2 b32思路：a, a22 a32可看作向量a =a1, a2, a3的模;是向量b = bi,b2,d的模，而aibi azb 氏6是a b的值。证明：设 a = ai,

23、 a2，a3，b= bi,bz,b3，则 a = Jaj2 + a?2 十 a32, b = lb, +b?2 十2t a b =|a|b cos(a b) n |a| b 兰 a b即：a, +a22 +a32 Tb, + b22 +b32 Z|印0 +a2b2 + a3b3内容概要主要内容(7-4 , 7-5 , 7-8 )旋转曲面xoy面上曲线f (x, y) = 0绕x轴旋转的旋转曲面方程：f (x,Jy2 + z2 = 0yoz面上曲线f(y,z) = 0绕z轴旋转的旋转曲面方程：f (土Jx2 + y2 ,z) =0xoz面上曲线f(x,z) = 0绕z轴旋转的旋转曲面方程：f (

24、土Jx2 + y2, z) = 0曲 面 及 苴/、 方 程常见旋转曲面(1) 圆锥面：z =a (x + y ) (yoz面上曲线z = y绕z轴旋转而成)2* 2 222(2) 旋转单叶双曲面：xyz =1 (zox面上的曲线xz =1绕z2 222aca c轴旋转而成)柱面f (x, y) = 0表示准线为：f (x, y) =0母线平行于z轴的柱面z = 0f (y, Z) = 0表示准线为：-f(y Z) =0八丿母线平行于x轴的柱面ix = 0f(x, Z)=0表示准线为：f(x z) = 0、1母线平行于y轴的柱面y=0柱面方程特点：缺少某个变量常见柱面(1) 抛物柱面：y2 =

25、ax+b表示母线平行于z轴的抛物柱面X2 Z2一(2) 椭圆柱面：一+ =1表示母线平行于y轴的椭圆柱面ab2 2(3) 双曲柱面：y2 =1表示母线平行于x轴的双曲柱面ab二次曲面椭球面、抛物面、双曲面空 间 曲 线 及 苴/、 方 程L的一般方程L的参数方程；F (x, y,z) =0G(x,y,z) =0x=(t), y=(t),z =(o(t)L在坐标面上的投影消去L方程中的变量z得到的H (x, y) = 0即为L在xoy面上的投影柱面，H (x v) _ 0 丿V 77 - 就是L在xoy面上的投影曲线(以此类推)z = 0习题7-4 1 求以点0(1,-2, 2)为球心，且通过坐

26、标原点的球面方程。知识点：空间两点的距离解：设球面上点的坐标为(x, y,z)，则根据两点距离公式：(x-1)2 - (y 2)2 (z-2)2 =R2，原点在球面上， R= 19示准线为xoy面上的圆线 x y = 4，母线平行于z轴的圆柱面。 (_2)2 22 = 3, 球面方程：(x-1)2 (y 2)2 (z2)2=9。 2 .一动点与两定点(2, 3, 1 )和(4, 5, 6)等距离，求该动点的轨迹方程。角军：设动点的坐标为(x, y, z)，则根据等距离的条件：2 2 2 2 2 2(x-2) (y-3) (z-1) =(x-4) (y-5) (z-6)动点的轨迹方程为：4x 4

27、y10z_63 = 0 3方程x2 y2 z2 - 2x 4y 一 4z - 7 = 0表示什么曲面？解：方程可化为：(x 1)2 +(y+2)2 +(z2)2 =16二该方程表达的是以(1-2,2)为球心、半径为4的球面。2 4.将xoz坐标面上的抛物线 z =5X绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。知识点：旋转曲面2解：T xoz坐标面上的抛物线 z5x是绕x轴旋转.旋转曲面方程为(Uy2 - z2)2 =5x=y2 z2 = 5x一 2 2 5.将xoz坐标面上的抛物线 x - z =9绕z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。2 2解: T xoz坐标面上的抛物线 x z =9是绕z

28、轴旋转旋转曲面方程为(二x2亠y2)2亠z2 = 9=x2亠y2亠z2 = 9。 6指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？(1) X = 0 ；( 2) y = x 1 ;(3) x2 y2 =4 ；(4) X2 - y2 =1答 ：( 1) x=0在平面解析几何中表示 y轴，在空间解析几何中表示 yoz坐标面(2) y二X 1在平面解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示平行于 z轴，在xoy坐标面上投 影为y = x * 1的一个平面。2 2(3) x y = 4在平面解析几何中表示 xoy面上，原点为心、半径为 2的圆线，在空间解析几何中表双曲线X - y =

29、1，母线平行于z轴的双曲柱面。 7说明下列旋转曲面是怎样形成的：2(1) x2y2z 1;2(2) x 22x y(5) y _ 4y 3 = 0 ；(6)1 yZ2 -1 ;4994知识点：旋转曲面2 2 2xyz解军：方程1可变化为499.y2z2)2方程表达的是:xoy坐标面上的2 2曲线 0= 1绕X轴旋转一周所得的旋转曲面49222xyz注：方程1也可看作是:499xoz坐标面上的曲线2 2x z1绕x轴旋转一周所得的旋49转曲面 8指出下列各方程表示哪种曲面:2 2(1) xy -2z = 0 ；2(2) x2y =0 ；(3)x2y2(7)2 .(8) x 4y ；(9)答：(

30、1)方程表达开口向着z轴正向的圆抛物面(或旋转抛物面)2 2(2) x - y 0= x = y或x = -y，表达两个垂直于 xoy面的平面：x = y ； x = -y(916) x2y2 二 0= x = 0, y = 0 表示 z 轴(4)平行于x轴且经过yoz面上的直线y - 3z = 0的平面2 2X y(6) 准线为xoy坐标面上的椭圆1，母线平行于z轴的椭圆柱面9162(7) 准线为xoy坐标面上的双曲线x2 -匕 =1，母线平行于z轴的双曲柱面92(8) 准线为xoy坐标面上的抛物线 X =4y，母线平行于z轴的抛物柱面(9) yoz坐标面上的直线 y = Z绕z轴旋转一周所

31、得的圆锥面习题7-5 1画出下列曲线在第一象限内的图形：(1)丿x=2(2)丿z=(9-x2 _y2 ；y = 4-x - y = 0x2x2z2(2)7 (3) 2方程组5x+2在平面几何与空间解析几何中各表示什么? y =2x-5y=5x+2一亠 、一一答：方程组在平面几何中表示两条直线的交点，在空间解析几何中表示垂直于xoy坐标面y = 2x-5的两平面的交线。2 2 3 方程组49 - 1在平面几何与空间解析几何中各表示什么？x = 22 2答：方程组 49-1在平面几何中表示一个点（2, 0），在空间解析几何中表示椭圆柱面x 22 2= 1和平面x49x = 22的交线：丿。 4求曲

32、面x2 9y2 =10z与yoz平面的交线。解：yoz平面方程为X = 0，二交线为X2 9y2 =10z.- 29y2 =10zx = 0 5 分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线2x22Xy2 z z22-y二16的柱面方程。二 0知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线解:要求过曲线c 2 丄2 丄2A o2x + y +z =162 丄 22cx + z -y =0且母线平行于x轴的柱面方程，只要方程组消去变量所求柱面方程为 3y2 z2 =16要求过曲线2x22x22y z22z -y16且母线平行于y轴的柱面方程，只要方程组消去变量=0所求柱面方程为3x22z2 =166.求曲

33、线X Z =1X2 +y2 +z2 =9在xoy面上的投影方程。知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线解军：要求曲线x+z=1x2 十 y2 十 z2 = 9在xoy面上的投影方程,只需方程组消去变量所求柱面方程为：x2 y2 (1 -x)2 =9= 2x2 y2 -2x = 8解军：要求曲线在xoz面上的投影方程，只需方程组消去变量y _z+1 =02 2X + z +3yz 2x+3z-3 = 0所求投影方程为 8.将曲线x2 y2 z2 = 9化为参数方程。2 2 2 2 2思路：若将y = x代入x y - z =9，可得2x - z =9，因此可通过椭圆方程的参数式求出曲 线的参

34、数式。2 2 2 2 2角军：将y=x代入xy - z = 9，可得2x - z = 9，该方程可用参数式表达为：COST厂2x，二曲线丿y2z29的参数式为y =z =3sin j3 2 COST23J0 cos 丁2=3sinv 9.将曲线的一般方程化为参数方程。(x_1)2 +y2 +(z+1)2 =4z = 0解：将 z = 0代入(x 1)2 十y2 +(z +1)2 =4，二 可得：(x 1)2 + y2=3，该圆方程的参数式为:x = 13 cosvy = 一 3 sin二曲线2 2 2(x1) +y 十(z+1) =4z = 0x = 1 + J3 cos0的参数方程为：* y

35、=(3si n日z = 0x+2 = 0 2亠 2x + y +2z =20(1)丿(2)丿(3)丿)-3 = 0、z-2=0-(4)x2 _4y2 =4z(5) 2 ,2x -4y=8zl y = 2-z = 8 10指出下列各方程组表示什么曲线:答:两平面的交线,该直线平行于z轴(1)2 x2 2-4y 9z =36y = 1(2)表示球面x2 y22 z =20与平行于xoy面的平面z=2的交线，为一在 z=2平面上的圆线:x2 y2 =16z=2(4 )表示双曲抛物面(即马鞍面)2 2X -4y =4z与y - -2平面的交线，为一在 y - -2平面上的抛物线:-2x 一 16=4z

36、y = -2(5 )表示双曲抛物面(即马鞍面)2 2X 2(1 )由于旋转抛物面Z = X y (0空z乞4)投影到xoy面上时，它的边界线是 _4y2 =8z与z=8平面的交线，为一在 z = 8平面上的双曲线:2_4y =64z = 822 11 求旋转抛物面 z = x y (0 _ z _ 4)在三坐标面上的投影。知识点：曲面的投影和空间区域的投影角军：见图7-5-11 ,图 7-5-11二在Xoy面上的投影为:x2 +y2 4z =02 2z = x + y (0z4)在yoz面上的投影为:x = 02 2（3）同理，旋转抛物面z = x y （0岂z岂4）在xoz面上的投影为: 1

37、2.假定直线 L在yoz平面上的投影方程为2y 3z = 1，而在zox平面上的投影方程为x = 0X + z = 2，求直线L在xoy面上的投影方程。解：T直线L在yoz平面上的投影方程为 丿231直线L 一定在投影柱面2y 3z = 1 上,x =0同理，直线L也一定在投影柱面 x z = 2上，二直线L方程为切於1，消去z得到直线L在x z = 2xoy面上的投影方程:3x +2y = 7z = 0内容概要主要内容（7-6，7-7 ）空 间 平 面 及 苴/、 方 程平面的点法式方程过M 0(x, y0, z)，法矢为n = A, B,C的平面方程：A(x -X0)+B(y-y0)+C(

38、z-Z0)=0平面的一般方程Ax + By +Cz + D =0平面的截距式方程x+Y+z才a b c|Ax。+ By。+Cz0 + D点 M0(x0,y0,z0)到平面 Ax+By+Cz + D0的距离：d吋 A2 +B2 +C2A1A2B1B2 C1C2两平面的夹角 d : cosn =JA2 +B12(二1 : AixBiy Gz Di =0,二 2 : A2 X B2 y C2 Z D 0)空 间 直 线 及 苴/、 方 程对称式方程一般方程参数方程过M 0 (x0, y0, z0)，方向矢为s = m, n, p的直线方程:XX。 yy zzAx + Bry+Gz+Dr =0A2x

39、+ B2y+C2z + D2 =0x = mt Xo , y = nty , z = pt z两直线的夹角 v : cos v =si S2isjis2i强mn P1P22 丄 2 I 2 5 P1 . m2n2P2对称式方程和一般方程的 关系：A1B1AB2C1C2(L!的方向矢 Si 二mnp , L2 的方向矢 S2 二m?, n?, P2)直线和平面的夹角 0 : sin B =rn s|mA + nB + pC|,m2 n2 p2 . A2 B2 C2(直线L : 匸乞二y -y二彳兰,L的方向矢为s = m,n, p；mnp平面二：Ax By Cz D = 0),二的法矢为n =

40、代B,C 2 求过点M 0(2,9, -6)且与连接坐标原点及点 M 0的线段0M 0垂直的平面方程。知识点：平面及其方程解: V所求平面二与0M 0垂直，二二的法矢n =0Mo =2,9, -6，又二过点M。(2,9, -6),匸:2(x2) 9(y 一9) 6(z 6) =0= 2x 9y6z=121 3 求过点 M ,1,1,2), M2(3,2,3),M3(2,0,3)三点的平面方程。思、路：根据条件，平面过已知点，若能求岀平面的法矢就可得平面方程。*解：V所求平面二过三点M,(1,1,2),M2(3,2,3),M3(2,0,3)，二平面二的法矢n应满足：n_ MM?, n_ M!M3

41、，M!M2 工2,1,1,皿側3 工1,-1,1; ijk二可选择 n=M 側2 MM 3 =211=2ij 3k，1-11匸：2(x _1) _(y _1) _3(z_2) =0= 2x _ y _3z 5 二 0注：三点M 1(1,1,2),M2(3,2,3),M3(2,0,3) 组成的任意两个向量的向量积都可作为平面n的法矢n 4.平面过原点 O，且垂直于平面|1：x，2y3z_2=0，| 2: 6x-y，5z，2 = 0求此平面方程。思、路：根据条件，已知平面过原点，若能求岀平面的法矢就可得平面方程。解军：设所求平面二和已知平面1、12的法矢分别为n、厲、n2，j k23 =13i +

42、13 j -13k-15iI-F 4v 丄 n1，口丄 口2，二 n 丄 m，n 丄 n2 二 n = ni汽 n2 = 1可选择的法矢n二1,1, 一1 ,】：x y - z = 0(1) x =1;(2)3y -2 =0 ；(3)2x3y6 = 0 ；(4)x-w3y = 0 ；(5) y z =2 ； (6)x-2z =0 ；(7)6x 5y 一 z = 0。答：(1)该平面平行于 yoz面；(2)该平面平行于 xoz面；(3)该平面平行于 z轴；(4)该平面平行于z轴且过原点，即过z轴；(5)该平面平行于x轴；(6)该平面平行于y轴且过原点, 即过y轴(7)该平面过原点 6.求平面2x

43、 _2y - z 5 = 0和各坐标轴的夹角余弦知识点：平面及向量的方向余弦解：t平面2x-2y - z *5=0的法矢n=2,-2,1，二和x、y、z轴的夹角余弦分别为：cos ：, cos :二-32 1 7已知A(_5, -11,3), B(7,10, -6)和C(1,-3,-2)，求平行于.ABC所在的平面且与它的距解:设所求平面二的法矢为n , nAB) AC3离等于2的平面方程。思路：可先借鉴本单元的习题3,求出过 代B,C的平面的法矢，也是所求平面的法矢。(4 )与2x 3y - Z =0成.角；(5)与原点的距离等于3 ；(6)在y轴上的截距为34解：(1)平面x ky - 2

44、z二9经过点(5, -4 , - 6)，二点代入平面方程可得：k = 2(2)平面x ky _2z =9与平面2x 4y 3z = 3垂直，二两平面的法矢nt , n2垂直，m2 2 4k - 6 = 0 = k = 1(3)平面x + ky 2z =9与平面3x 7y 6z 1 = 0平行，两平面的法矢ni , n2平行5 / 山二 3=Zk Jk 23(4)平面 x ky -2z=9与平面2x3y + z = 0成一角，两平面的法矢 m n 2夹角为4，A二 cos(nt, n2)=2 - 3k - 25 k2142_-202=3= k2(5)平面x +ky -2z =9与原点的距离等于

45、3,二 195 + k299/k9/(-2)(6)平面x ky - 2z = 9在y轴上的截距为-3，根据平面的截距式方程:二 9/k = -3二 k 一3 9求点(1,2,1)到平面x 2y 2z -10 =0的距离。1 +2汇2 + 2_10角军：根据点到平面的距离公式：d1右+22 +22 10.求平行于平面x y z =100且与球面x2y2 z2 = 4相切的平面方程。思路：所求平面_/平面x y 100 ,所以可知一的法矢，由与球面相切的条件又可知球心 到平面的距离。=2- D = 2. 3二-:x y z=2_3=0 11 求平面x -2y 2z 21 =0与7x 24z-5 =

46、0的夹角的平分面的方程。知识点：平面与平面的夹角、点到平面的距离思路：两平面的夹角平分面上的点应满足到两平面的距离相等解：设所求平面二上的动点坐标（x, y,z） , v -是平面x - 2y 2z 2 0与平面7x - 24z -5 = 0的夹角的平分面，（x, y, z）到两平面的距离相等，于是：x2y+2z+21 7x+24z5=二 25（x 2y+2z+21） =3（7x + 24z 5）,3 25=2x-25y-11z-270 =0, or 23x-25y 61z 255 =0习题7-7x 3z 1 1 求过点（3, -1,2）且平行于直线y的直线方程。4 3知识点：直线的对称式方程

47、x 3z 1解：所求直线L/直线y，二L的方向矢s= 4,1,3，又已知L过点（3,-1,2）43 L : 口 _ 口4 13 2 求过两点M ,2,-1,5）和M2（T,0,6）的直线方程。知识点：直线的对称式方程解：V所求直线L过两点M2,-1,5）和M2（T,0,6） ,L的方向矢s可取为s 二 M 1M 2 =-3,1,1 , L :x - 2 y 1 z -5_3 _1 一 1 3 用对称式方程及参数方程表示直线2x y 3z + 2 =0x +2y z 6 = 0知识点：直线的各种表达式之间的转换解: 丁直线L表达为两平面交的一般方程形式:2x-y-3z + 2 = 0，则l的方向

48、矢s和两平面的法x 2y-z-6=0矢都垂直，i js= 2-11 2k一3 =7 ij+ 5k，取 L 上的一点：令 z=0二-12x - y 十 2 = 0x + 2y _ 6 = 0 2 14=(,0)，二L的对称式方程：5 5x2/5 y14/5L的参数方程：7-1x -2/5 _ y -14/5 _ z7-1- 5z2t= x = 7t , y = t5514,z = 5t 4 证明两直线丿x +2y _z = 7与乜厂 2x + y + z = 73x+6y-38 平行。I 2x _ y _z = 0证明：根据上一题解答可知直线*的方向矢si2x + y + z = 7=3ij 5k-2直线L23x +6y _3z = 8 2x _ y _z = 0的方向矢s2 =-1一 S2 ,-1-1-L1/L2 5.求过点(1,2,1)且与两直线x+2y-iX y + z_1 =02x _ y + z _ 0都平行的平面方程。i x _ y + z = 0思、路：所求平面二和两直线平行，则说明 -的法矢和两直线的方向矢都垂直。解军：