数值分析常微方程数值解法PPT学习教案

1、会计学1 数值分析常微方程数值解法数值分析常微方程数值解法 8-2 第1页/共81页 8-3 ),()( )1()()( nnn yyyxfyxfy或 ) 18( )( )(,()( 0 yay bxaxyxfxy yyLyxfyxf Lipschitzyxf ),(),( : )(),(条件李卜希兹满足只要 第2页/共81页 8-4 2 22 0 2 2 2 2 4 4 4 41 2 2 2 21 2 2 1)0( x y x y x y cy c x y xdx y dy xy dx dy y xyy x 第3页/共81页 8-5 n xxx 10 0 )( )(,()( yay bxax

2、yxfxy 第4页/共81页 8-6 0 )( )(,()( yay bxaxyxfxy 第5页/共81页 8-7 )(,( 0000 xxyxfyy） P1 P2 y(x) P0 x2x1x0 N ab hNnnhxxn ), 1 ,0( 0 对等距节点 )28(,2, 1 )( ),( 00 1 Nn yxy yxhfyy nnnn 第6页/共81页 8-8 ),( ),()(,(),( )(,(),(),( ),()(,( 1121 1111211122222 111111111 000010001 上在近似曲线而用 可得：相交于与 为斜率，可得切线：为切点，以再以 yxPP yxhfy

3、xxyxfyyyxPxx xxyxfyyyxfyxP yxhfyxxyxfyy ),( )(,(: )(,(:)(),( 111nnnnnnnnnn nnnnnnnn yxhfyxxyxfyyxx xxyxfyyxyyyx 相交得与 可作直线一般地假定已求出 ,.),.,2 , 1)()( , 10 10 Ni N yyyNixyxyy xxx 的近似值的初值问题的 与所对应的微分方程出在重复上述过程，即可求 10 PP ：时，可求，当近似以 1111 )(yxxxyy 第7页/共81页 8-9 )()( 2 ),( ),( ),(),( 2 1 1 局部的截断误差称为 nnn nnnn nn

4、nnn xy h hxE yxhfyy hxEyxhfyy 11 2 ),( 2 )(,)( )( ! 2 )(,()( )( ! 2 )()()( nnnn nnnn yxfy nnnn yxyyxyh xy h xyxhfxy xy h xyhxyhxy ，并以的线性部分作为近似式取 第8页/共81页 8-10 3)-(8),( ),()( ),(),()( 1 ),()()( 1 )( 2 )()( 1 )( )( 2 )()( 1 )( )( 2 )( 1 )( )( 2 )( 1 )( 111 1 111 ,1 11 1 011 010 nnnn nnnn nnnnn nnnnn n

5、nnn nnnn yxhfyy yxhfyxy yxfhxEyy h yxfhxEyy h y h xyxy h xf y h xyxy h xf f h yy h xf f h yy h xf )( 2 ),( 2 nn y h hxE 第9页/共81页 8-11 )( 3 )( )( 3 ),(2 )(,()( 6 )()( 2 1 )( )( )( 6 )( 2 1 )(: 3 3 11 2 11 2 021 nn nnnnn nnnnnn y h hxE y h yxhfyy xyxfy h xyxy h xy f h yy h xf ，去掉误差项 ， 也称为中点法公式 还可利用三点公

6、式 4)-(8 ),(2 11nnnn yxhfyy 第10页/共81页 8-12 1 111 )(,()()( )(,()()()(,()( 1 1 n n n n n n n n x x nn x x nn x x x x dxxyxfxyxy dxxyxfxyxydxxyxfdxxy 所以 1 )(,( n n x x dxxyxf )(,(),( nnn xyxfyxf 公式为 则有 Euleryxhfy yxfxxyy nnn nnnnnn ),( ),()( 11 yf(x, y) xn x xn+1 图8-2 第11页/共81页 8-13 y f(x, y) xn x xn+1图

7、8-3 y f(x, y) xn x xn+1 图8-4 ),(),(,(),( 1111111 nnnnnnnn yxhfyyxyxfyxf则有 5)-(8 ),(),( 2 )(,( 111 1 nnnnn x x nn yxfyxf h ydxxyxfyy n n 第12页/共81页 8-14 )( 2 ),( 2 nn y h hxE )( 2 ),( 2 nn y h hxE )(),( 1 p n hohxE 第13页/共81页 8-15 1 )(,( n n x x dxxyxf )(0)( 12 )( 12 ),( 3 33 hy h f h hxE n 第14页/共81页 8

8、-16 111 )(e nnn yxy 于是有记),(,()( ), 2 , 1 , 0( 2 )( 2 )(,()()( 1 22 11 nnnn nnnnn xyxhfxyy nM h y h xyxhfxyxyR 6)-(8 )( 2 1 )( 1 2 111 nn nnn xxyh yxyR 第15页/共81页 8-17 7)-(8 1 2 e )1()1(:)1( )( 1 )(1 abL n abL h ab n e L hM ehLhLabhn 所以： 从而有因为 n nnn nnnnnnn nnnnnnn nnnn nnn hLM h yxyhLR yxfxyxfhyxyR y

9、xhfyxyxhfxyR yyyxy yxy e)1( 2 )()1( ),()(,()( ),()(,()( )( )(e 2 1 1 1 1111 111 1)1( 2 1)1( 1)1( )1( 2 )1( 2 )1( 2 e 1 12 0 2 1 22 1 n n n k k nn hL L hM hL hLMh hLM h ehL Mh hLM h 第16页/共81页 8-18 )(lim 0 nn h xyy 第17页/共81页 8-19 第18页/共81页 8-20 8)-(8 ), 1 , 0( ),(),( 2 ),( )( 11 ) 1( 1 )0( 1 kyxfyxf h

10、 yy yxhfyy k nnnnn k n nnnn ) 1( 1 )( 1 ) 1( 11 )( 11 )( 1 ) 1( 1 2 ),(),( 2 k n k n k nn k nn k n k n yy hL yxfyxf h yy 第19页/共81页 8-21 法。改进由此导出一种新方法 代一次，求解时，每步可以只迭太高，用公式 要求不。如果实际计算时精度求再利用 。时，或小于预先给定的 ，当，对足够大的计算出 复迭代，然后由第二个式子反，首先算出 ，按较大，如给定收敛。但这样做计算量 时，迭代常数。因此，当为其中 Euler yyx yyyy yykyy y yx hL Lipsc

11、hitzL kkk kk )88( ),( , )88( ),( 1 2 0 211 )( 11 ) 1( 1 )( 1 ) 1( 1 )( 1 )2( 1 ) 1 ( 1 )0( 1 00 第20页/共81页 8-22 9)-(8 ),(),( 2 ),( 111 1 nnnnnn nnnn yxfyxf h yy yxhfyy 校正 预测 10)-(8 )( 2 ),( ),( 211 112 1 kk h yy hkyxfk yxfk nn nn nn 第21页/共81页 8-23 y y f x f xyyxfxy xyhxyhxyhxyxy nnnnn )(),()( )( 2 1

12、)()()()( 2 1 注意到 )()( : )()( 2 )()()( 2 : )()()( )(,( )(,(),( )()(,(),( 3 11 3 2 211 2 1 112 1 hOyxy hOxy h xhyxykk h yy hOxyhxy y f hk x f hxyxf hkxyhxfhkyhxfk xyxyxfyxfk nn nnnnn nn nn nnnn nnnnn 于是 因此 第22页/共81页 8-24 的数值解。求初值问题 1)0( ) 10( y xyy 1, 9 .0, 2 .0, 1 .0, 1 .0 2 2 )( 2 : , 12 )1 ( :r )1

13、( : 10921 111 11 011 111 1 xxxxh y h h yyy h yy Euleryy yhyyy h y yhyyyEule yhhyyyEuler nnnnnn nnn n nnnn nnnn 取 梯形法 法计算可以利用才能开始，还要 只给定了中点法： 法后退 法解 隐式 隐式 第23页/共81页 8-25 第24页/共81页 8-26 Y =-y, y(0)=1的解的解y(1)的近似值的近似值(y(1)=0.367879) h欧拉法欧拉法后退欧拉法后退欧拉法中点法中点法梯形法梯形法 0.1.348678.385543.374310.367573 0.01.3660

14、33.369711.367944.367877 0.001.367700.368052.367879.367876 0.0001.367800.367800.367881.368020 第25页/共81页 8-27 第26页/共81页 8-28 第27页/共81页 8-29 )(,(*:*, ,),()(,( 11)-(8 )(,()()( ),( ) 10( )( )()( , )()( 1 1 1 1 hxyhxfkk xxhxyhxf hxyhxhfxyxy yxfy hxy h xyxy h xyxy nn nnnn nnnn n nn nn 即记作 上的平均斜率）称作区间这里 ） 得

15、到解于是由微分方程 由微分中值定理开始我们从研究差商 第28页/共81页 8-30 )( 2 1 * 21 kkk 第29页/共81页 8-31 ) 10( llhxx nln ),( 1nn yxfk 1 lhkyy nln 第30页/共81页 8-32 12)-(8 ),( ),( )( 12 1 22111 lhkyxfk yxfk kckchyy nln nn nn )()( 3 11 hOyxy nn 13)-(8 )()( 2 )()()( 3 2 1 hOxy h xyhxyxy nnnn 第31页/共81页 8-33 )()()( )(),(),(),(),( ),( )(),

16、( 2 2 12 1 hOxylhxy hOyxfyxfyxflhyxf lhkyxfk xyyxfk nn nnnnynnxnn nln nnn 由： 14)-(8 )()()()()( 32 2211 hOxylhcxycchxyy nnnn 15)-(8 2 1 1 2 21 lc cc 第32页/共81页 8-34 16)-(8 2 , ),( 1 2 12 1 21 k h yxfk yxfk hkyy n n nn nn 第33页/共81页 8-35 第34页/共81页 8-36 )( 3322111 kckckchyy nn )( 2211 kbkbmhyy nmn )(,(),

17、( 22112 kbkbmhymhxfyxfk nnmnmn 第35页/共81页 8-37 17)-(8 )(,( ),( ),( )( 22113 12 1 3322111 kbkbmhymhxfk lhkylhxfk yxfk kckckchyy nn nn nn nn 第36页/共81页 8-38 18)-(8 6 1 3 1 2 1 1 1 23 2 3 2 2 32 321 21 lmbc mclc mclc ccc bb 19)-(8 )2,( 2 , 2 ),( )4( 6 213 12 1 3211 hkhkyhxfk k h y h xfk yxfk kkk h yy nn

18、nn nn nn 第37页/共81页 8-39 20)-(8 ),( ) 2 , 2 ( 2 , 2 ),( )22( 6 34 23 12 1 43211 hkyhxfk k h y h xfk k h y h xfk yxfk kkkk h yy ii ii ii ii nn 第38页/共81页 8-40 2 2 1 2 2 , 2 2 1 2 12 , 2 ) 2 , 2 ( ),( )22()22( 6 324 213 12 1 43211 hkhkyhxfk hkhky h xfk k h y h xfk yxfk kkkk h yy nn nn nn nn nn 第39页/共81页

19、 8-41 1) 0 ( 10 2 y x y x yy )( 2 2 2 211 1 1 12 1 kk h yy hky x hkyk y x yk nn n n n n n n 第40页/共81页 8-42 1 12 1 2 ) 2 (2 ) 2 ( 2 k h y h x k h yk y x yk n n n n n n )(2( 6 )(2 )( 2 ) 2 (2 ) 2 ( 43211 3 34 2 23 kkkk h yy hky hx hkyk k h y h x k h yk nn n n n n n n 第41页/共81页 8-43 第42页/共81页 8-44 第43页

20、/共81页 8-45 第44页/共81页 8-46 5 11) (chyxy h nn 第45页/共81页 8-47 ， 2 1 h n y )( 15 1 )( 16 1 )( )( 2 2)( 1 2 1 2 11 2 1 11 2 11 5 2 11 h n h n h nn h n h nn h nn h nn yyyxy y yxy yxyh cyxy 的事后误差估计式：由此得 故： 第46页/共81页 8-48 否合适。具体做法是：，从而判断所选步长是 ，检查偏差：半前后两次计算的结果这样，可以通过步长折 1 2 1 h n h n yy )( 11) ( h nn yxy 2 /

21、 1 2 / 1 1 kk h n h nk yy 2/ 11 k h nn yy 即可取 第47页/共81页 8-49 0)0( 10 , 2 y xey KR yx 法解初值问题：用变步长四阶标准 2 1e ln 2 x y 第48页/共81页 8-50 第49页/共81页 8-51 21)-(8 )( 011 1101 rnrnn rnrnnn fffh yyyy 第50页/共81页 8-52 )(,()(xyxfxy 22)-(8 d)(,()()( 1 1 n n x x nn xxyxfxyxy )()( 2 1 )( ! 2 1 )( 11 2 2 nnnnn x xxxxyxx

22、xx dx fd xR n )()(,( 1 11 1 xRf xx xx f xx xx xyxf n nn n n nn n ） 第51页/共81页 8-53 于是得差分公式表示近似值并仍用截去误差 ，则得：将上式代入式 ),(d)( d)()3( 2 )()()228( 1 1 11 nnn x x x x nnnn yxffxxR xxRff h xyxy n n n n 示公式。为一个二阶阿当姆斯显可见公式 据积分中值定理可得： 其局部截断误差为： )238( ),( ),( 12 5 d)()( 2 1 d)()( 2 1 d)( 23)-(8 )3( 2 11 3 11 11 1

23、1 1 11 nnnn x x nnnn x x nnn x x n nnnn xxyhxxxxxyR xxxxxyxxRR ff h yy n n n n n n 第52页/共81页 8-54 24)-(8 ),( )( )( 1 )2(2 1 1101 nrnnn rr r rnrrnrnr r nn xxyhT fBfBfB A h yy 第53页/共81页 8-55 25)-(8 ),( )( )( 11 ) 2(2 1 * 1 1 * 0 * 1 1 * 1 nrnnn rr r rn rr n r n r r nn xxyhT fBfBfB A h yy 第54页/共81页 8-5

24、6 第55页/共81页 8-57 26)-(8 ),( ),( 720 251 )9375955( 24 13 55 1 3211 nnnnn nnnnnn xxyhR ffff h yy 第56页/共81页 8-58 27)-(8 ),( )( 720 19 )5199( 24 12 55 2111 nnnn nnnnnn xxyhT ffff h yy 28)-(8 ),( )5199( 24 ),( )9375955( 24 111 2111 111 3211 nnn nnnnnn nnn nnnnnn yxff ffff h yy yxff ffff h yy 校正 预测 第57页/共

25、81页 8-59 第58页/共81页 8-60 )( 720 19 )( 720 251 )5(5)5(5 nn yhyh和 19 251 )( )( )( 720 19 )( )( 720 251 )( 11 11 )5(5 11 )5(5 11 nn nn nnn nnn cxy pxy xyhcxy xyhpxy 所以： 第59页/共81页 8-61 )( 270 19 )( )( 270 251 )( 1111 1111 nnnn nnnn cpcxy cppxy )( 270 19 )( 270 251 : 111 111 nnn nnn cpc cpp 和 因此，可以期望用 第60

26、页/共81页 8-62 29)-(8 ),( )( 270 19 )5199 ( 24 ),( )( 270 251 )9375955( 24 111 1111 2111 111 11 3211 nnn nnnn nnnnnn nnn nnnn nnnnnn yxff cpcy fffm h yc mxfm cppm fff h yp 计算 修正校正值 校正 计算 修正预测值 预测 第61页/共81页 8-63 )( 11011221101 nnnnnnn yyyhyyayy 2 0 1 1 1 )()()( jj jnjjnjn xyhxyxyT 5) 5 ( 112 5 1 4) 4( 1

27、12 4 1 3) 3 ( 112 3 1 2 112 2 1 10121210 )( ! 5 1 )( 5)21()( ! 4 1 )( 4)21( )( ! 3 1 )( 3)21()( ! 2 1 )( 2)21( )()()21()()1 ( hxyhxy hxyhxy hxyxyT nn nn nn 第62页/共81页 8-64 14416 1338 1224 12 1 1121 1121 1121 10121 210 )179( 24 1 )1418( 24 1 )9( 24 1 )1 ( 24 3 )1 ( 24 27 11 1011 1210 第63页/共81页 8-65 30

28、)-(8 )( 40 1 )2(39 8 1 ) 5(5 1121 n nnnnnn xyhT yyyhyyy )( 2211033221101 nnnnnnnn yyyhyyyayy 31)-(8 )( 45 14 )2( 3 4 )5(5 2131 n nnnnn xyhT yyy h yy 第64页/共81页 8-66 32)-(8 ),( )2(39 8 1 ),( )22( 3 4 111 1121 111 2131 nnn nnnnnn nnn nnnnn yxfy yyyhyyy yxfy yyy h yy 计算 校正 计算 预测 第65页/共81页 8-67 33)-(8 ),

29、( )( 121 9 )2(39( 8 1 ),( )( 121 112 )22( 3 4 111 1111 1121 111 11 211 nnn nnnn nnnnnn nnn nnnn nnnnn yxfy pccy yymhyyc mxfm cppm yyy h yp 计算 修正校正值 校正 计算 修正预测值 预测 第66页/共81页 8-68 34)-(8 )( ),( )( ),( 00 00 vxvvuxv uxuvuxu TTT vuyyxfvuxy),( ),(),( ,),()( 000 35)-(8 , )( ),( 00 yxyyxfy 第67页/共81页 8-69 )

30、,( ),( 1 1 nnn nnn n n n n vux vux h v u v u ),( ),( 1 1 nnnnn nnnnn vuxhvv vuxhuu 22 6 , 2 , 2 2 , 2 ),( 43211 4 4 34 3 3 23 2 2 12 1 1 1 KKKK h yy l k hKyhxfK l k K h y h xfK l k K h y h xfK l k yxfK nn nn nn nnnn ),( 1nnnn yxhfyy 第68页/共81页 8-70 )368 ( 22 6 22 6 ),( ),( 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 2 , 2 , 2 ),( ),( 4321143211 334334 223223 112222 11 llll h vvkkkk h uu hlvhkuhxlhlvhkuhxk l h vk h u h xll h vk h u h xk l h vk h u h xll h vk h u h xk vuxlvuxk nnnn nnnnnn