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1、LOGO 论文讲解 论文作者：Bo Zhang Yi Zhang Tiankun Lu LOGO 纲要 01 摘要 模型假设 04四种模型 05模型分析06 参考文献 建立模型02 比赛题目 03 论文摘要 LOGO 比赛题目 问题A：一棵树的叶子“一棵树上的叶子有多重？”如何估计叶子的实际 重量（或树的其他部分）的实际重量？如何对叶子进行分类？建立一个数 学模型来描述和分类叶子。考虑并回答以下问题： 为什么叶片有现在的各种形状？树叶的形状会“最小 化”他们之间的 阴影重叠，来让他们接受阳光照射达到最大吗？叶子在树和分支上“体积” 的分布影响叶子的形状吗？说到轮廓，叶子的形状（一般特征）与树的

2、轮 廓和枝干结构有关联吗？ 你将如何估计树的叶重？叶质量和树（由轮廓定义的高度，质量，体积） 的大小特征之间有无联系？ 除了总结，你还需要准备一篇给科技期刊编辑的信来说明你的主要发现。 LOGO 论文摘要 建模解决原题中四个问题： “如何对叶子进行分类？” “树叶的形状会“最小 化”他们之间的阴影重叠，来让他们接受阳光照射达到最大吗？” “说到轮廓，叶子的形状（一般特征）与树的轮 廓和枝干结构有关联吗？” “一棵树的叶子“一棵树上的叶子有多重？” 作者通过做出八个适当的假设，构建出四个模型分别解决上述四个问题 模型一：叶片分类 解决了树叶分类的问题 模型二：叶片分布和叶片形状 研究了树叶形状与

3、分布之间的关系 模型三：树型与叶型 讨论了树形与叶形之间可能存在的相关性 模型四：叶片质量 估计了一棵树的总叶片质量特征 而且作出适当模型测试来验证模型，最后分别分析四个模型的优缺点。 LOGO 模型假设 假设八 LOGO 模型一：叶片分类 模型二：叶片分布和形状模型三：树形和叶形 模型四：叶片的质量 四种模型 LOGO 四种模型 模型一：叶片分类 模型二：叶片分布和形状 主要关注树叶最明显的特征，也就是说，树叶的形状，并设立了7个几何参数来量化叶片形状。然后，选择6中 常用的叶片的类型来建立一个数据库。通过计算这样类型的样本树叶的参量误差，可以把树叶进行分类。为了 说明这个分类的过程，采用枫

4、叶来作为此次测试方案。 首先把树简化成一种理想化模型，然后介绍太阳高度角的概念。在不同的太阳高度角下，考虑到叶的长度好节 间长度，通过分析个别树片重叠的阴影，可以发现树叶的形状和分布发现叶子的形状和分布进行优化，最大限 度地暴露在阳光下的太阳高度。这个模型应用了3中类型的树来测试。 LOGO 四种模型 模型四：叶片的质量 模型三：树形和叶形 基于也买和树枝结构的相似度，作者提出了叶形是树形的一个二维模型。然后采用模型1的方法来设定几个参数 来反映每棵树的基本形状，并用树的参数和叶子的参数作比较。在统计工具的帮助下，证明了树形和叶形之前存 在着粗略的关联。 二氧化碳（二氧化碳）封存率和树龄是用来

5、建立叶子质量和树的大小之间的联系。因为在恒定的速率中，一个叶 片单位封存CO2，封存CO2的速率与树龄具有二次关系，和树的大小经验成逻辑斯蒂（Logistic）增长。 LOGO 模型一：叶片分类 决定性参数决定性参数 在本模型中，作者用了七个参数将叶片分类。矩形，高宽比，圆率，形状因子， 边缘面积规律指数，边缘周长规律指数，比例指数。 矩形矩形最小边缘矩形面积与叶片面积之比为叶片矩形 LOGO 模型一：叶片分类 上图的叶片式转载原作者knight et al。【2010】改论文得作者许可 LOGO 模型一：叶片分类 高宽比是矩形的高度与最小边缘宽度之比（图1）高宽比高宽比 圆率圆率 内圆和外圆

6、之比（图2） 形状因子形状因子 著名的形状描述参数。公式如下（A为叶片面积，P为其周长） 2 4 P A FF 边缘面积规律指边缘面积规律指 数数 虽然高宽比和两叶片的矩形性会比较相似，但是两叶片的轮廓 或者形状可能差别很大。要考虑到不同轮廓的叶片，沿着边缘 加入凸点然后成为作者定义的边界多边形区域。叶片面积和边 界多边形面积之比为边缘面积规律指数。比例越接近1，那么 叶片轮廓就越少锯齿状和更加平滑。 LOGO 模型一：叶片分类 边缘周长规律指边缘周长规律指 数数 叶片加入凸点后的多边形周长。作者定义多边形周长和边缘多 边形周长之比为边缘周长规律指数。这个指数越小，叶片就越 岑差不齐和轮廓越不

7、规则。 比例指数比例指数 因为比例指数高度决定了叶片上不同部分沿纵轴的不同空间分 布，把最小边界矩形分成同一高度下的4个水平的区域，然后计 算出一个特定区域下的叶片面积和总叶片面积之比，称之为该 区域的比例指数（PI）（图4）。因此，PI是长度为4的矢量。 LOGO 模型一：叶片分类 决定性参数决定性参数 常见叶片类型 通过使用上面讨论的7个参数，作者建立了一个北美最常见的6中叶片类 型的数据库。表2给出了每种叶片类型的参数的值，在Knight et al 2010的论文中的图片测量得到的。 定性参数定性参数 LOGO 模型一：叶片分类 LOGO 模型一：叶片分类 决定性参数决定性参数 表中参

8、数（从上往下）：矩形，高宽比，圆率，形状因子，边缘面 积规律指数，边缘周长规律指数，比例指数 LOGO 模型一：叶片分类 决定性参数决定性参数 对比 计算出给定的叶片的7个特性，将他们和相应的每个类别的标准参数 来计算给定叶片的的每个参数的平方差的数据库进行比较。为了使 模型更加精确可靠，作者引入了加权指数偏差 ： D I 7 1i iiD II i I 4 1 2 ,7 )( 4 1 j inewj PIPII 其中每个 是平方差，除了： LOGO 模型一：叶片分类 决定性参数决定性参数 作者确定权重通过层次分析法(AHP)Saaty1982。建立一个77对比矩 阵逆阵: LOGO 模型一：

9、叶片分类 决定性参数决定性参数 值的强度解释 1i的值等于j的值 3i比j稍微大一点 5i比j大 7i比j较大 9i远远大于j 2，4，6，8两个相邻值比较的中间尺度 倒数i的值比j的值小 LOGO 模型一：叶片分类 将矩阵输入到MATLAB程序中计算表3给出的每个加权因子 性参数性参数 测试了这个AHP的例子的偏好一致性。良好的一致性Alonso 和Lamata 2006, 446-447 *矩阵的主特征值 、 应该接近于可替代的数量n，7. 得到 *一致性指数 应该接近于0；我们得到CR=0.006,CI=0.009 *一致性比例 (RI是CI为随机矩阵的平均值)应该小于0.01，得到CR

10、=0.006。 因此，该决策方法完美地展示了可接受一致性和合理的权重。 max 05. 7max ) 1/( max nnCI）（ RICICR/ LOGO 模型一：叶片分类 决定性参数决定性参数 用图6的枫叶来测试分类模型，它看起来像类型4.定性参数定性参数 模型测试模型测试 现在测试这个假设的模型。首先，除了了叶片的图像计算出他的矩 形性，高宽比，圆率，形状因子，边缘面积规律指数，边缘周长规 律指数和比例指数，如表2所示。这7个参数的值如表4所示。 LOGO 模型一：叶片分类 最后，使用的权重计算之前所考虑6类枫叶中每类枫叶的偏差系数数。在表5 中显示的结果。D I 由于给定的枫叶和类型4

11、之间的偏差最小，所以这个模型预测枫叶可以分为4类，结论和最初的 假设是一致的。模型是合理的，在合理的条件下，可以看出，从上面的测试。然而，由于作者 的数据库中仅包含六种常见的类型，在北美国，在数据库有改进的空间。 LOGO 模型二：叶片分布和叶片形状 假设简介： 遗传和环境因素导致了叶脉和组织的形式，从而确定叶片形状。在这个模型 中，作者探讨叶形如何影响叶片的分布。 树是由垂直于地表的树干和两片生长在 树枝的同侧（同侧）和水平的完全相同 的叶片组成。叶向上指向天空中的太阳。 假设树是在北纬L (北半球)上.在春分的中 午时候，一年中的平均太阳高度角达到 最大。 LOGO 模型二：叶片分布和叶片

12、形状 重点是图7中的部分阴影部分。模型的输出是阴影部分 的叶（光）的比例。根据PL角的影响，分为三种情况。 太阳高度角接近90 太阳高度角接近0 在正常范围内的太阳高度角 重叠区域分析 LOGO 模型二：叶片分布和叶片形状 通常发生在热带地区，通常是宽的叶型和树冠通常只包含一层的 树叶。这可以解释图7：接近90时，下层叶阴影部分如果提供 供过多的太阳能进行光合作用，和最大的能量吸收可以变成宽叶 形叶片。 太阳高度角接近90 LOGO 模型二：叶片分布和叶片形状 通常发生在寒带地区，那里的树叶是典型的针状（针状），树冠含有致密层紧 密生长的叶片。如图7：当接近 0时，下层叶阴影部分会接近零，比起

13、其他 情况，这允许叶片更加集中分布。此外，通过针状的叶片可以实现最大化地吸 收太阳能。 太阳高度角接近0 LOGO 模型二：叶片分布和叶片形状 在正常范围内的太阳高度角 这种情况出现在地球的温带地区, 阳光斜照树。这也是这个理 想化模型最适合的情况。 在这种情况下，另一个不能控制的重 要因素是链接树叶两点和树枝之间的距离h。我们假设一棵树 的叶片分布是尽量使叶片之间的重叠区域最小化。所以，我们 的模型是研究重叠面积和形状的叶子之间的定量关系。 LOGO 模型二：叶片分布和叶片形状 为了简化模型，作者模拟叶片是菱 形的，其长轴的长度和短轴长度。 同时，把叶片的面积定为A以保证在 太阳下恒定的曝光

14、面积。随着面积 的固定，只需要改变长轴的长度来 改变叶片的形状（见图8） 在正常范围内的太阳高度角 同时，已经固定了叶片的面积，只要 调整叶片的形状，下层叶片的阴影的 最小比例为： 其中，是最小重叠面积。 LOGO 模型二：叶片分布和叶片形状 在正常范围内的太阳高度角 最有效的情况是两边的叶子都完全是 暴露在阳光下，如图9. 令 0 hh ，得到0E ，如图9b 对于一个给定 了固定太阳高度角，可以很容易地 给出h major L和的关系。 对于给定的和，重叠区域面积随着叶片长度的增长而增长。 。 ， 如果 LOGO 模型二：叶片分布和叶片形状 模型测试模型测试 检验树叶的分布与叶的形状这一关

15、系的相关性。 使用与叶片长度和主要几类树节间距离 的数据和公式计算出的树各自的太阳高度。通过 将太阳高度转换为纬度，可以预测一棵树的起源。 小叶女贞，四季桂（中国杭州的市花。甜橄 榄，橄榄茶，或香橄榄，常绿灌木或小乔 木），油茶（日本油茶） LOGO 模型二：叶片分布和叶片形状 作为试验的树，结果如表6所示。 原来预测的纬度接近真实的纬度，就证实了假设叶子的分 布和叶片形状之间的关系。 LOGO 模型三：树型和叶型 决定性参数决定性参数 假设假设 由于静脉结构决定叶形状、分支结构决定树型和在一定程度上，叶脉类似枝。 所以假设叶状是树形的二维模型。 决定性参数决定性参数 叶型和树型的比较叶型和树

16、型的比较 叶片的形状是二维的，所以要研究其参数是比较容易的。然而，树的轮廓是三维的，所以找到 树的一个二维特征用于比较是重要的。由于特定的树的纵剖面反映了它的一般尺寸特性，作者 专注于研究它 LOGO 模型三：树型和叶型 决定性参数决定性参数 决定性参数决定性参数 叶型和树型的比较叶型和树型的比较 在叶片的分类模型中，有6个一般类型的叶片。因为作者只比较叶片和树之间的总的相似性，将第5类（椭圆叶 与锯齿缘）和第2类（椭圆形叶，光滑边缘）并为一类。结果，得到了5个类别的树叶和5种不同类型的树： 类型1：心形（德克萨斯紫荆花） 类型2和 类型5：椭圆（樟脑） 类型3：钻形（松） 类型4：掌状（橡木

17、） 类型6：倒卵形（柔毛栎 山核桃） LOGO 模型三：树型和叶型 决定性参数决定性参数 决定性参数决定性参数 树的参数树的参数 指定纵断面的三个参数，它们能够与树型相比较，也就是在矩形性，高宽比，圆率。 表7显示了树木和叶片的测量结果 LOGO 模型三：树型和叶型 决定性参数决定性参数 决定性参数决定性参数 结论结论 测试得到的高宽比和圆率支持叶子形状是一个二维模拟的树轮廓的理论。因此，叶片的形状在一定程度上类似 于树的形状。 对于每一种参数类型画一个散点图，计算其相关性，并研究所得到最合适的线的统计学意义。 从统计角度看，高宽比和圆率明显倾向于线性关系，而矩形性则没有。 LOGO 模型四：

18、叶片质量 估算一棵树叶片总质量的三个变量 *树龄 *生长速率 *普遍性 决定性参数决定性参数 决定性参数决定性参数 简简 介介 LOGO 模型四：叶片质量 一棵树吸收CO2的能力是用一克叶片中含有CO2的质量来测量的。 一颗树封存的CO2含量和吸收CO2的含量是不同的 现在我们只需要估计CO2的重量，然后计算树叶总质量为CO2质量与每片 叶片的CO2质量的比值。 releaseabsorptionionsequestrat COCOCO 222 决定性参数决定性参数 叶片质量和二氧化碳封存量 LOGO 模型四：叶片质量 生长速率分成3种：快，中，慢。对于每个增长率， 我们把每年的固碳率与树龄的

19、关系作出一个图表和 建立了一个二次模型（参见图10针叶树的例子） 决定性参数决定性参数 CO2的封存量和树龄 LOGO 固碳率与树龄的关系 模型四：叶片质量 根据曲线，可以很容易地估 算出一个给定的年龄和生长 速率的树的CO2封存量，从 而计算出叶子的质量。 LOGO 树为逻辑斯蒂（Logistic）增长 模型四：叶片质量 P （高度，质量，直径）为 32 1 kAk i ekP）（ 因此)1ln( 6 54 k PkkA 决定性参数决定性参数 树龄和树的大小 LOGO 模型四：叶片质量 通过整合前面的模型，分析其结果。，就可以确定叶片质量和树的大小是否存在 关系。 根据之前得到结果，通过二氧

20、化碳封量，叶片质量和树龄之间是相关的，从而确 定了一个树龄和树的大小之间的函数关系式 决定性参数决定性参数 叶片质量和树的大小 LOGO 模型四：叶片质量 LOGO 模型分析 决定性参数决定性参数 决定性参数决定性参数 模型模型 一一 优点： 模型是基于定量分析，所以分类过程是客观和有效的。 模型是基于叶片类型的分类，是最典型的和常见的。 缺点： 叶子分为六类，不包括所有的叶子类型。 LOGO 模型分析 决定性参数决定性参数 决定性参数决定性参数 模型模型 二二 优点： 在讨论叶片分布和叶片形状之间的关系，我们已经考虑了三个气候条件（热带区，温带，和寒带） 模型的结果符合我们发现的数据。 缺点

21、：考虑了一个分支上的叶分布，但没考虑不同枝叶之间的内在影响。 LOGO 模型分析 决定性参数决定性参数 决定性参数决定性参数 模型模型 三三 优点： 整个过程以数据和定量分析为基础，结果是客观、合理的。 缺点： 有有限的树型。 LOGO 模型分析 决定性参数决定性参数 决定性参数决定性参数 模型模型 四四 优点： 用碳的封存率和年龄作为媒介来计算叶片的总质量，这更好地估算的叶片数量和每片叶片质量 缺点： 数据的来源是没有提及到获取的方法。 LOGO 参考文献 决定性参数决定性参数 给科学杂志编辑的一封信 亲爱的编辑： 我们向你介绍我们的主要发现。 我们首先关注树的分布对叶片形状的潜在影响。一棵

22、树应该具有最理想的叶片分布和将原来的区域适应到特定的区域的形态 模式，从而在光合作用下最大化曝光面积来得到最多的营养物。我们证明了一个在太阳高度角，叶片形状和叶片分布之间的 关系。基于这一发现，我们可以通过观察叶片分布来确定最佳的移植地点或协助迁徙的树种。 我们第二个重要的发现是树形和叶形之间有粗略的关系。我们假设树叶是树的一个二维模型。我们比较了几棵树的叶形和树 型，发现了某些特性间的相似性。这一发现是自然世界里自相似性的另一实例，一个类似于本身某些部分的数学概念。如科 赫的雪花和曼德尔布罗特集的数学对象的情况。 我们第三部分的研究解决了树的大小特性和叶片总质量之间的关系。两者是CO2的封存

23、量和树龄存在关联的。因此，我们可 以估算出给定树型的参数，例如高度，直径，体积，树龄和类型。这个发现可能有潜在的农业和环境用途，比如用一个新的 方法估计茶叶或者木材的产量，又或者估计一个森林的二氧化碳封存效果来作为一个全球变暖的缓冲剂。 我们附上我们的研究论文，希望能在贵社的杂志上发表以作检查和判断。我们确信我们对树叶的研究一定有助于其他领域。 真诚的祝福 14990队伍 LOGO 参考文献 决定性参数决定性参数 鸣谢 论文作者感谢大卫奈特，詹姆斯佩恩特和斯坦福大学电气工程系的马修波特，允许转载奈特等人论文上的树叶照片 2010 。 参考文献 Alonso, Jose Antonio, and

24、 Ma Mar a Teresa Lamata. 2006. Consistency in the analytic hierarchy process: A new approach. International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems 14 (4): 445459. http:/hera.ugr.es/doi/16515833.pdf. Du,Ji-Xiang, Xiao-FengWang,and Guo-JunZhang. 2007. Leaf shape based plant spec

25、ies recognition. Applied Mathematics and Computation 185 (2) (February 2007): 883893. Energy Information Administration, U.S. Department of Energy. 1998. Method for calculating carbon sequestration by trees in urban and suburban settings. /pub/oiaf/1605/cdrom/pdf/ sequester.pdf . Im, C., H. Nishida, and T.L. Kunil. 1998. Recognizing plant species by leaf shapesa case study of the Acer family. In Proceedingsof 1998IEEE Inter