第四章 轮廓加工的数学基础A

1、第四章第四章 轮廓加工的数学基础轮廓加工的数学基础 第一节第一节 概述概述 一、插补的概念一、插补的概念 轮廓的形状是由各种线形构成的，用户在零件加工程序中，一般只轮廓的形状是由各种线形构成的，用户在零件加工程序中，一般只 提供描述该线形所必须的相关参数。为了实现轨迹控制，在运动过程中提供描述该线形所必须的相关参数。为了实现轨迹控制，在运动过程中 要要实时实时计算出满足线形和进给速度要求的若干中间点。计算出满足线形和进给速度要求的若干中间点。 插补插补就是根据给定进给速度和轮廓线形的要求，在轮廓的起点和终就是根据给定进给速度和轮廓线形的要求，在轮廓的起点和终 点之间，确定一些中间的方法。点之间

2、，确定一些中间的方法。 对于轮廓控制系统来说，最重要的功能就是插补功能。因为插补运对于轮廓控制系统来说，最重要的功能就是插补功能。因为插补运 算是在机床运动过程中实时进行的，即在有限的时间内，必须对各坐标算是在机床运动过程中实时进行的，即在有限的时间内，必须对各坐标 轴实时地分配相应的位置控制信息和速度控制信息。轴实时地分配相应的位置控制信息和速度控制信息。 插补算法的优劣，将直接影响插补算法的优劣，将直接影响CNC系统的性能指标。系统的性能指标。 插补的实质插补的实质 数控装置向各坐标提供相互协调的数控装置向各坐标提供相互协调的进给脉冲进给脉冲，伺服系统根据，伺服系统根据进给脉冲进给脉冲 驱

3、动机床各坐标轴运动驱动机床各坐标轴运动。 数控装置的关键问题：根据控制指令和数据进行数控装置的关键问题：根据控制指令和数据进行脉冲数目分配的运算脉冲数目分配的运算 （即插补计算），产生机床各坐标的进给脉冲。（即插补计算），产生机床各坐标的进给脉冲。 插补计算就是数控装置根据输入的基本数据，通过计算，把工件轮廓插补计算就是数控装置根据输入的基本数据，通过计算，把工件轮廓 的形状描述出来，的形状描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给脉冲边计算边根据计算结果向各坐标发出进给脉冲，对，对 应每个脉冲，机床在响应的坐标方向上移动一个脉冲当量的距离，从应每个脉冲，机床在响应的坐标方向上移动一个脉冲

4、当量的距离，从 而将工件加工出所需要轮廓的形状。而将工件加工出所需要轮廓的形状。 插补的实质：在一个线段的起点和终点之间进行插补的实质：在一个线段的起点和终点之间进行数据点的密化。数据点的密化。 由于插补方法的重要性，不少学者都致力于插补算法的研究，使由于插补方法的重要性，不少学者都致力于插补算法的研究，使 之不断有新的、更有效的插补方法应用于之不断有新的、更有效的插补方法应用于CNC系统。系统。 目前，常用的插补算法大致可以分为两大类：目前，常用的插补算法大致可以分为两大类：脉冲增量插补和数脉冲增量插补和数 据采样插补。据采样插补。 1、脉冲增量插补、脉冲增量插补 脉冲增量插补是控制单个脉冲

5、输出规律的插补方法。每输出一个脉冲增量插补是控制单个脉冲输出规律的插补方法。每输出一个 脉冲，移动部件都要相应的移动一定距离，这个距离称为脉冲当量脉冲，移动部件都要相应的移动一定距离，这个距离称为脉冲当量 （0.01mm0.1um）。）。 通常用于步进电机控制系统。通常用于步进电机控制系统。 2、数据采样插补、数据采样插补 数据采样插补法是在规定的时间（插补时间）内，计算出各坐标数据采样插补法是在规定的时间（插补时间）内，计算出各坐标 方向的增量值（方向的增量值（X、Y 、 Z）。）。 这些数据严格的限制在一个插补时间内（如这些数据严格的限制在一个插补时间内（如4ms)计算完毕，送给计算完毕，

6、送给 伺服系统，再由伺服系统控制移动部件运动。伺服系统，再由伺服系统控制移动部件运动。 移动部件也必须在下一个插补时间内走完插补计算给出的行程，移动部件也必须在下一个插补时间内走完插补计算给出的行程， 因此数据采样插补也称为时间标量插补，因此数据采样插补也称为时间标量插补， 插补时间采用插补时间采用12ms、8ms、4ms、2ms等，对于运行速度较快的计等，对于运行速度较快的计 算机，有的选用的更小。插补时间越短，机床的进给速度越快。现代算机，有的选用的更小。插补时间越短，机床的进给速度越快。现代 数据机床的进给速度已超过数据机床的进给速度已超过15m/min30m/min，有些达到，有些达到

7、60m/min。 它适用于直流伺服电动机和交流伺服电动机的闭环或半闭环控制系统。它适用于直流伺服电动机和交流伺服电动机的闭环或半闭环控制系统。 第二节第二节 脉冲增量插补脉冲增量插补 主要介绍：主要介绍： 逐点比较法逐点比较法 数字积分法数字积分法 脉冲增量插补就是分配脉冲的计算，在插补过得中不断向各坐标轴脉冲增量插补就是分配脉冲的计算，在插补过得中不断向各坐标轴 发出相互协调的进给脉冲，控制机床坐标作相应的移动。发出相互协调的进给脉冲，控制机床坐标作相应的移动。 一、逐点比较法插补原理一、逐点比较法插补原理 基本原理：基本原理：数控装置在控制刀具按要求的轨迹移动过程中，不断比数控装置在控制刀

8、具按要求的轨迹移动过程中，不断比 较刀具与给定轮廓误差，由此误差决定下一步刀具移动方向，使刀较刀具与给定轮廓误差，由此误差决定下一步刀具移动方向，使刀 具向减少误差的方向移动，且只有一个方向移动。具向减少误差的方向移动，且只有一个方向移动。 一、逐点比较法插补原理一、逐点比较法插补原理 逐点比较法插补过程可按以下逐点比较法插补过程可按以下4 4个步骤个步骤( (节拍节拍) )进行：进行： 第第1 1节拍节拍: :偏差判别：偏差判别： 判别刀具当前位置相对给定判别刀具当前位置相对给定 轮廓的偏差情况轮廓的偏差情况, , 以此确定进以此确定进 给方向。给方向。 第第2 2节拍节拍: :进给进给:

9、: 使刀具向给定轮廓进给一步使刀具向给定轮廓进给一步, , 即向减少误差方向移动。即向减少误差方向移动。 第第3 3节拍节拍: : 偏差计算：偏差计算： 由于进给由于进给, , 刀具改变了位置刀具改变了位置, , 计算新位置与计算新位置与 给定轮廓之间的偏差，作为下一步判别依据。给定轮廓之间的偏差，作为下一步判别依据。 第第4 4节拍节拍: : 终点判别终点判别: : 判断是否到达被加工轮廓终点判断是否到达被加工轮廓终点, ,若到达，结若到达，结 束插补；否则，继续插补。束插补；否则，继续插补。 逐点比较法既可作为直线插补，又可作圆弧插补。这种算法的特点逐点比较法既可作为直线插补，又可作圆弧插

10、补。这种算法的特点 是：运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀，而且是：运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀，而且 输出脉冲的速度变化小，调节方便。因此，在两坐标联动的数控机输出脉冲的速度变化小，调节方便。因此，在两坐标联动的数控机 床中应用较为广泛。床中应用较为广泛。 1.1.直线插补直线插补 (1)偏差计算 第一象限直线OE，起点O为坐标原点，直线的终点坐标 E（Xe，Ye），直线方程为： 动点动点P P与直线的位置关系有三种情况：与直线的位置关系有三种情况： 动点在直线上动点在直线上; ; 动点在直线上方动点在直线上方; ; 动点在直线下方。动点在直线下方。 YXe

11、XYe0 若P点在直线上，则有 YXeXYe0 若P1点在直线上方，则有 Y1XeX1Ye0 若P2点在直线下方，则有 Y2XeX2Ye00时时，表示刀具在，表示刀具在OEOE上方，如点上方，如点P P1 1，应向，应向X X向进给向进给. . F F 000的情况一同考虑的情况一同考虑. . 下面将下面将F F 的运算采用递推算法予以简化，动点的运算采用递推算法予以简化，动点 P Pi i( (X Xi i，Y Yi i) )的的F Fi i值为值为 ei eeiei eiei eieii YF YYXXY YXXY YXXYF ) 1( 111 若若F Fi i0,0,表明表明P Pi i

12、( (X Xi i，Y Yi i) )点在点在OEOE直线上方或在直线上，应沿直线上方或在直线上，应沿X X 向走一步向走一步, ,假设坐标值的单位为脉冲当量，进给后新的坐标值为（假设坐标值的单位为脉冲当量，进给后新的坐标值为（X Xi+1 i+1， ， Y Yi+1 i+1） ）, ,且且X Xi+1 i+1= =X Xi i+1 +1，Y Yi+1 i+1= =Y Yi i , , 新点偏差为新点偏差为: : 即即 Fi+1=Fi-Ye 若若F Fi i00，表明，表明P Pi i（X Xi i，Y Yi i）点在）点在OEOE 的下方，应向的下方，应向Y Y 方向进给一方向进给一 步，新

13、点坐标值为步，新点坐标值为( (X Xi+1 i+1， ，Y Yi+1 i+1) )，且 ，且X Xi+1 i+1= =X Xi i , ,Y Yi+1 i+1 Y Yi i1 1，新点的偏差，新点的偏差 为为: : ei eeiei eiei eieii XF XYXXY YXXY YXXYF ) 1( 111 即即 Fi+1=Fi+Xe (2)(2)进进 给给 第一象限直线偏差与进给方向的关系如下第一象限直线偏差与进给方向的关系如下: : F0 F0时时, , 沿沿+X+X方向走一步方向走一步, FF-Y, FF-Ye e F F0时时, , 沿沿+Y+Y方向走一步方向走一步, FF+X,

14、 FF+Xe e (3)(3)终点判断终点判断 判别方法判别方法: : 设置一个长度计数器设置一个长度计数器, , 刀具沿刀具沿X X轴应走的步数为轴应走的步数为X X e e , ,沿 沿Y Y 轴走的步数为轴走的步数为Y Ye e , ,计数器中存入 计数器中存入X X和和Y Y两坐标进给步数总和两坐标进给步数总和=X Xe e Y Ye e,当当X X或或Y Y坐标进给时坐标进给时, ,计数器做减计数器做减1 1运算运算, ,当计数器减到零时当计数器减到零时, ,即即 0 0时时, ,到达终点到达终点, ,停止插补停止插补 . . Y Y N N N N Y Y F0F0 +X进给一步进

15、给一步 +Y进给一步进给一步 FF-Ye 开始开始 FF+Xe -1=0？ 结束结束 Xe , Ye , F0, = Xe + Ye （4）直线插补软件流程图 第一象限直线插补结论：第一象限直线插补结论： (1) (1) 开始时开始时, ,刀具位于直线起点上刀具位于直线起点上, ,偏差为零偏差为零F F0, 0, (2) (2) 每一新加工点的偏差都可由每一新加工点的偏差都可由前一点偏差前一点偏差和和终点终点坐标相加或相坐标相加或相 减得到。减得到。 (3) (3) 终点判别终点判别 计数器中存入计数器中存入X X和和Y Y两坐标进给步数总和两坐标进给步数总和=X Xe eY Ye e, ,

16、进进 给时给时, ,计数器做减计数器做减1 1运算运算, ,当计数器减到零时当计数器减到零时, ,即即0 0时时, ,到达终点到达终点, ,停停 止插补止插补 。 例例4-14-1 加工第一象限直线加工第一象限直线OEOE，起点为坐标原点，终点坐标为，起点为坐标原点，终点坐标为E E（4 4， 3 3）。试用逐点比较法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。）。试用逐点比较法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。 1 2 3 4 1 E(4,3) X Y O 2 3 解：解： (1)(1)直线插补运算直线插补运算 总步数总步数n=3+4=7n=3+4=7 (2)画插补轨迹： Y X 2 E(4,3)

17、 O 1 3 4 1 2 3 直线插补的象限处理与坐标变换直线插补的象限处理与坐标变换 （1 1）象限处理）象限处理 对于第二象限的直线，对于第二象限的直线，X X的进给方向与第一象限不同，在偏差计算中只要的进给方向与第一象限不同，在偏差计算中只要 将将X Xe e、Y Ye e取绝对值，代入第一象限的插补公式即可插补运算。第三、第四象限也取绝对值，代入第一象限的插补公式即可插补运算。第三、第四象限也 是一样。是一样。 不同象限的直线插补共用一套公式，所不同的是进给方向不同。不同象限的直线插补共用一套公式，所不同的是进给方向不同。 y x L1 F0 L2 L3 F0 F0F0 L4 F0 F

18、0 F0 F0F0，则动点位于圆弧外侧。，则动点位于圆弧外侧。 若若F=0F=0，则动点在圆弧上。，则动点在圆弧上。 若若F0,F0,则动点在圆弧内侧。则动点在圆弧内侧。 设第一象限动点设第一象限动点 的的F F值为值为 , ,则有则有 , ii x y i F 2222 iiiss Fxyxy 2222 iiss Fxyxy 若动点沿若动点沿-X-X方向走一步后，则：方向走一步后，则： 11 2222 111 1, iiii iiiss xxyy Fxyxy 若动点沿若动点沿+y+y方向走一步后，则：方向走一步后，则： 1 21 iii FFy 2222 (1) 21 iiss ii xyx

19、y Fx (2) (2) 进进 给给 第一象限逆圆偏差判别函数第一象限逆圆偏差判别函数F F与进给方向的关系如下：与进给方向的关系如下： F0F0，沿，沿-x-x方向走一步：方向走一步： FF-2X+1FF-2X+1 F F0 0 沿沿+Y+Y方向走一步：方向走一步： FF+2Y+1FF+2Y+1 (3) 终点判别终点判别 与直线插补相同与直线插补相同, 将沿将沿X、Y轴走的总轴走的总 步数存入一个计数器，步数存入一个计数器， = Xe-Xs + Ye-Ys 每走一步每走一步减减1，当，当0时发出时发出 停止信号。停止信号。 (4)(4) 第第 一一 象象 限限 圆圆 弧弧 插插 补补 软软

20、件件 流流 程程 图图 N N Y Y N N Y Y F0F0 +y向进给向进给 - x向进给向进给 FF+2y+1 F+2y+1 yy+1 开始开始 FF- 2x+1 xx-1 1 -1=0？ 结束结束 xxs , Y Ys , F=0,= Xe-Xs + Ye-Ys 第一象限圆弧插补结论第一象限圆弧插补结论 (1) (1) 开始时开始时, ,刀具位于圆弧起点上刀具位于圆弧起点上, ,偏差为偏差为F F0, 0, (2) (2) 每一新加工点的偏差都可由每一新加工点的偏差都可由前一点偏差和前一点偏差和2 2倍动点坐标相加倍动点坐标相加( (正向正向 进给进给) )或相减或相减( (负向进给

21、负向进给), ), 再加再加1 1得到。得到。 (3)(3)终点判别终点判别: : 计数器中存入计数器中存入X X和和Y Y两坐标进给步数总和两坐标进给步数总和, ,进给时进给时, ,计数计数 器做减器做减1 1运算运算, ,当计数器减到零时当计数器减到零时, ,即即0 0时时, ,到达终点到达终点, ,停止插补。停止插补。 例例4-24-2 现欲加工第一象限逆圆弧现欲加工第一象限逆圆弧AB,如图所示如图所示,起点起点A（5，0）,终点终点 B（0，5）,试用逐点比较法进行插补。试用逐点比较法进行插补。 X Y B(0,5) A(5,0) 解:(1)圆弧插补运算过程: 圆弧插补过程: (2)画

22、插补轨迹： 圆弧插补的象限处理 圆弧所在象限不同圆弧所在象限不同, 逆顺不同逆顺不同,则插补公式和进给方向均不同则插补公式和进给方向均不同. 无论哪个象限无论哪个象限,都用坐标的代数值运算。都用坐标的代数值运算。 四个象限圆弧插补进给方向四个象限圆弧插补进给方向 圆弧插补的象限处理圆弧插补的象限处理 Y Y NR2 NR1 SR2 SR1 0 X 0 X NR3 NR4 SR3 SR4 a) 逆圆弧逆圆弧 b) 顺圆弧顺圆弧 圆弧自动过象限圆弧自动过象限 圆弧过象限，指圆弧的起点和终点不在同一象限内。应先进行圆弧过象限，指圆弧的起点和终点不在同一象限内。应先进行 过象限判断过象限判断. 当当X

23、0或或Y0时过象限时过象限。需将圆弧分成两段圆弧进行处理，。需将圆弧分成两段圆弧进行处理， 调用相应的插补程序。调用相应的插补程序。 过象限圆弧线型变化规律过象限圆弧线型变化规律：逆时针圆弧过象限后的转换顺序是：逆时针圆弧过象限后的转换顺序是 NR1，NR2，NR3，NR4，每过一次象限，象限顺序号加，每过一次象限，象限顺序号加1；顺时针；顺时针 圆弧过象限的转换顺序是圆弧过象限的转换顺序是SR1，SN2，SR3，SR4，每过一次象限，每过一次象限， 象限顺序号减象限顺序号减1。 二、二、 数字积分法数字积分法 设有一函数设有一函数Yf(t)，求此函数在，求此函数在totn区间的积分区间的积分

24、,就是求出此函数曲线就是求出此函数曲线 与横坐标与横坐标t在区间（在区间（to，tn）所围成的面积。）所围成的面积。 0 n t t Sf t dt Y Yi Yi+1) t Y=f(t) t0 t ti+1 tn 如果将横坐标区间段划分为间隔为如果将横坐标区间段划分为间隔为t的很多小区间，当的很多小区间，当t 取足够小取足够小 时，此面积可近似地视为曲线下许多小矩形面积之和。有时，此面积可近似地视为曲线下许多小矩形面积之和。有 Y Yi Yi+1) t Y=f(t) t0 t ti+1 tn 0 1 n n t ii t i Sy dtyt 1 n i i Sy 在数学运算时，取在数学运算时

25、，取t t为基本单为基本单 位位“1”1”，则上式可简化为：，则上式可简化为： Y Yi Yi+1) t Y=f(t) t0 t ti+1 tn 1. DDA1. DDA直线插补直线插补 设有一直线设有一直线OEOE, ,起点在原点起点在原点, ,终点为终点为(x(xe e, y, ye e).V).Vx x，V Vy y分别表示动点在分别表示动点在x x、 y y轴方向的速度，在轴方向的速度，在x x、y y轴方向的微小位移增量为：轴方向的微小位移增量为： x y xVt yVt 对于直线函数来说，满足下式： xe ye Vkx Vky L y V v L x V v e y ex L V

26、k 坐标的位移增量为 tkyy tkxx e e 各坐标轴的位移增量为： 0 1 0 1 n t ee i n t ee i xkx dtkxt yky dtkyt 动点从原点走向终点的过程动点从原点走向终点的过程, ,可以看作是各坐标每经过一个单位时间可以看作是各坐标每经过一个单位时间 间隔间隔tt, ,分别以增量分别以增量kxe , kye同时累加的过程。同时累加的过程。 平面直线插补原理图如下：平面直线插补原理图如下： X被积函数寄存器被积函数寄存器kxe X积分累加器积分累加器 y积分累加器积分累加器 y被积函数寄存器被积函数寄存器kye + + X轴溢出脉冲轴溢出脉冲 y轴溢出脉冲轴

27、溢出脉冲 t x y 假设经过假设经过n n次累加后（取次累加后（取tt=1), x=1), x和和y y 分别或同时到达终点，有分别或同时到达终点，有 1 1 n eee i n eee i xkxtkx nx ykytky ny 1kn 因此有因此有 结论结论: : ( (1)1)n n是累加次数，必须取整数，是累加次数，必须取整数，k k取小数。取小数。 (2) k(2) k值的确定值的确定: :要保证沿坐标轴每次进给脉冲不超过一个，保证插补要保证沿坐标轴每次进给脉冲不超过一个，保证插补 精度，应使下式成立精度，应使下式成立 1 1 e e xkx yky 1kn 如果存放Xe，Ye寄存

28、器的位数是N，对应最大允许数字量为2N-1 , 故有: 所以所以 (21)1 (21)1 N e N e xkxk ykyk 为使上式成立，可取为使上式成立，可取 N k 2 1 N k n2 1 12 1 N k 代入得 21 1 2 21 1 2 1 2 N e N N e N N xkx yky n k 对于一个二进制数，使对于一个二进制数，使x xe e(y(ye e) )乘以乘以1/21/2N N (k), (k),相当于相当于x xe e(y(ye e) )数字不数字不 变变, , 只要把小数点左移只要把小数点左移N N位即可。位即可。 一个一个N N位寄存器存放位寄存器存放x x

29、e e ( (或或kxkxe e) )和和y ye e ( (或 或kykye e) )的数字是一样的的数字是一样的, , 只是只是 小数点位置不同。小数点位置不同。 直线的被积函数寄存器只需存放直线的被积函数寄存器只需存放xexe , ye , ye即可即可. . 直线加工需直线加工需2 2N N次累加运算次累加运算. . 终点判别：用一个与被积函数寄存器位数相同的终点计数器实现，终点判别：用一个与被积函数寄存器位数相同的终点计数器实现， 初值为零，每累加一次，计数器加初值为零，每累加一次，计数器加1 1，当累加，当累加 次后，产生溢出，完次后，产生溢出，完 成插补成插补. . DDA直线插

30、补小节：直线插补小节： N 2 例例4-34-3：设有一直线：设有一直线OAOA，起点在坐标系原点，终点的坐标为（，起点在坐标系原点，终点的坐标为（4 4，6 6），）， 试用试用DDADDA法直线插补此直线。法直线插补此直线。 Y A(4,6) X X积分器积分器 JRx+JVx X溢出溢出 X Y积分器积分器 JRy+JVy Y溢出溢出 y 终点判别终点判别 Y A(4,6) X X积分器X溢出Y积分器Y溢出终点判别 00000 0+4=400+6=601 4+4=8+016+6=8+412 0+4=404+6=8+213 4+4=8+012+6=8+014 0+4=400+6=605 4

31、+4=8+016+6=8+416 0+4=404+6=8+217 4+4=8+012+6=8+018 解： Jx=4、Jy=6 选择寄存器位数N=3，则累 加次数 。 3 28n Rxx JJ Ryy JJ xy J 2. 2. 数字积分法圆弧插补数字积分法圆弧插补 第一象限圆弧第一象限圆弧AE ,半径为半径为R,起点为起点为A（xs，ys）,终点为终点为E（xe，ye） .N(xi，yi)为圆弧上任意动点为圆弧上任意动点.动点动点 移动的速度为移动的速度为v,v,则在两个坐标方则在两个坐标方 向的分速度为向的分速度为v vx x,v,vy y. .圆弧的方程圆弧的方程 为：为： cos si

32、n i i xR yR 动点N的分速度为 sin cos ii xi ii yi dxyv vvvy dtRR dyxv vvvx dtRR 当当V恒定时，设恒定时，设 k = v / R 在在t时间内，时间内，x、y位移增量为位移增量为 tkxtx R v tvy tkyty R v tvx iiyi iixi )( 与直线插补相同，取累加器容量为与直线插补相同，取累加器容量为2 2N N ，则，则k=1/2k=1/2N N ，各坐标的位移 ，各坐标的位移 量为量为 0 1 0 1 1 2 1 2 n t i N i n t i N i xkydtyt ykxdtxt 圆弧插补原理框图为 R

33、X J Vx Jy Vy Jx RY J t X X向溢向溢 出脉冲出脉冲 Y Y向溢向溢 出脉冲出脉冲 插补运算开始插补运算开始: : J JRx Rx, J , JRy Ry累加器清零 累加器清零; ; X X寄存器寄存器J JVx Vx存放 存放动点动点Y Y坐标坐标; ; Y Y寄存器寄存器J JVy Vy存放 存放动点动点X X坐标坐标; ; 插补运算中：插补运算中： X X方向由溢出时，要在寄存器方向由溢出时，要在寄存器J JVy Vy中减 中减1;1; Y Y方向由溢出时，要在寄存器方向由溢出时，要在寄存器J JVx Vx中加 中加1 1。 DDADDA圆弧插补与直线插补的主要区

34、别为：圆弧插补与直线插补的主要区别为： （1 1）圆弧插补中被积函数寄存器寄存的坐标值与直线恰好相反。）圆弧插补中被积函数寄存器寄存的坐标值与直线恰好相反。 （2 2）圆弧插补中被积函数是）圆弧插补中被积函数是动点动点坐标坐标, ,是是变量变量，直线插补的被积函，直线插补的被积函 数是数是终点终点坐标，是坐标，是常数常数。 （3 3）圆弧插补终点判别需要采用两个终点计数器。对于直线插补，）圆弧插补终点判别需要采用两个终点计数器。对于直线插补， 如果寄存器位数为如果寄存器位数为N N，无论直线长短都需迭代，无论直线长短都需迭代2 2N N次到达终点次到达终点. .圆弧插圆弧插 补则不一定，这是因

35、为被积函数是变量补则不一定，这是因为被积函数是变量。 例例4-44-4：设有第一象限逆圆弧设有第一象限逆圆弧ABAB，起点为，起点为A A（5 5，0 0）, ,终点为终点为B B（0 0，5 5）, , 设寄存器位数为设寄存器位数为3.3.试用试用DDADDA法插补此圆弧法插补此圆弧. . 解: JVx中存0；JVy中存5； 寄存器容量为23=8。 累加 次数 000055005 100055505 2000558214 311055704 4120558413 5240558+112 637055602 Vx J Rx Jx Ex J Vy J Ry J y Ey J 累加 次数 6370

36、55602 738+21458+311 846044701 948+21348+310 105703停止 1158+412 1258+111 Vx J Rx J x Ex J Vy J Ry J y Ey J 由运算过程可看出由运算过程可看出: JVy中存的中存的 XS数值大数值大JVx存的数存的数0,在在Y方向先方向先 溢出溢出3个脉冲；个脉冲； 随着随着Y方向溢出脉冲方向溢出脉冲, JVx存的存的Y数值不断增大数值不断增大, XY两方向同时溢出两方向同时溢出2 个脉冲个脉冲, Y向累加器停止累向累加器停止累 加。加。 JVx存的数达到最大值存的数达到最大值,X方向很快溢出方向很快溢出3个脉

37、冲。个脉冲。 3. 3. 数字积分法插补的象限处理数字积分法插补的象限处理 圆弧插补时被积函数是圆弧插补时被积函数是动点坐标的绝对值动点坐标的绝对值，在插补过程中要进行，在插补过程中要进行 修正。修正。 坐标值的修改要看动点运动是使该坐标坐标值的修改要看动点运动是使该坐标绝对值增加还是减少绝对值增加还是减少，来，来 确定是确定是加加1 1还是减还是减1 1。 NR1 NR2 NR3 NR4 SR1 SR2 SR3 SR4 +1-1+1-1-1+1-1+1 -1+1-1+1+1-1+1-1 -+- +-+-+- V x J y V y J x x y 四个象限直线进给方向和圆弧插补的坐标修改及进

38、给方向如下表所示。四个象限直线进给方向和圆弧插补的坐标修改及进给方向如下表所示。 Y Y NR2 NR1 SR2 SR1 0 X 0 X NR3 NR4 SR3 SR4 a) 逆圆弧逆圆弧 b) 顺圆弧顺圆弧 四个象限圆弧插补进给方向四个象限圆弧插补进给方向 5.3 5.3 数字采样插补原理数字采样插补原理 随着直流伺服技术和交流伺服技术的发展，现代数控机床都采用半闭随着直流伺服技术和交流伺服技术的发展，现代数控机床都采用半闭 环或闭环系统。在这些系统中，通常都采用数据采样法。这种方法得出的环或闭环系统。在这些系统中，通常都采用数据采样法。这种方法得出的 不是进给脉冲，而是用二进制表示的进给量

39、。是根据计算机运算速度，确不是进给脉冲，而是用二进制表示的进给量。是根据计算机运算速度，确 定一个时间间隔，称为插补周期（小于定一个时间间隔，称为插补周期（小于20ms20ms），在一个插补周期内完成一），在一个插补周期内完成一 次插补运算，为各坐标方向提供一组数据，使机床在各坐标方向上同时完次插补运算，为各坐标方向提供一组数据，使机床在各坐标方向上同时完 成一次微小的运动。成一次微小的运动。 在一个插补时间内，也要对机床各坐标方向上的实际运动增量值进行在一个插补时间内，也要对机床各坐标方向上的实际运动增量值进行 采样，提供给计算机进行比较。采样，提供给计算机进行比较。 数字增量插补法在现代数

40、字增量插补法在现代CNCCNC系统中得到广泛的应用，在采用这类插补系统中得到广泛的应用，在采用这类插补 算法的算法的CNCCNC系统中，插补周期是一个重要参数。下面先就插补周期进行讨系统中，插补周期是一个重要参数。下面先就插补周期进行讨 论，然后再以时间分割法为例，说明直线和圆弧插补原理。论，然后再以时间分割法为例，说明直线和圆弧插补原理。 一、插补周期的选择一、插补周期的选择 1、插补周期与精度、速度的关系、插补周期与精度、速度的关系 在直线插补时，这类插补算法是用小直线段逼近直线在直线插补时，这类插补算法是用小直线段逼近直线,它不会产生逼近误它不会产生逼近误 差。在曲线插补中，当用内接弦线

41、逼近曲线时，其逼近误差为差。在曲线插补中，当用内接弦线逼近曲线时，其逼近误差为 、插补周期、插补周期 为为T、进给速度为、进给速度为F以及与该曲线在该处的曲率半径以及与该曲线在该处的曲率半径 的关系为：的关系为： 2 2 /2L 因为： 所以： LFT 2 2 /2FT 24 2 /2/2 11 2!4! 8 FTFT FT 在实际在实际CNC系统中，系统中，T是固定的，而是固定的，而F、 是用户给定的，因而是用户给定的，因而 就可能就可能 超差，这是不允许的。在实际的系统中，通过对超差，这是不允许的。在实际的系统中，通过对F进行限制来保证进行限制来保证 在允许在允许 范围内。范围内。 2、插

42、补周期与插补运算时间的关系、插补周期与插补运算时间的关系 一旦系统各种线形的插补算法设计完毕，那么该系统插补运算的最一旦系统各种线形的插补算法设计完毕，那么该系统插补运算的最 长时间就确定了。显然，插补周期必须大于该时间。插补周期一般应为长时间就确定了。显然，插补周期必须大于该时间。插补周期一般应为 最长插补运算时间的两倍以上，这是因为系统除进行插补运算外，最长插补运算时间的两倍以上，这是因为系统除进行插补运算外，CPU 还要执行诸如位置控制、显示等其他任务。还要执行诸如位置控制、显示等其他任务。 3、插补周期与位置控制周期的关系、插补周期与位置控制周期的关系 由于插补运算的输出是位置控制的输

43、入，因此，插补周期要么与位由于插补运算的输出是位置控制的输入，因此，插补周期要么与位 置控制周期相等，要么是位置控制周期的整数倍，只有这样才能使整个置控制周期相等，要么是位置控制周期的整数倍，只有这样才能使整个 系统协调工作。系统协调工作。 例如：例如：FANUC 7M系统的插补周期是系统的插补周期是8ms，而位置控制周期是，而位置控制周期是4ms； 华中华中1型数控系统的插补周期是型数控系统的插补周期是8ms，而位置控制周期是，而位置控制周期是2ms。 2二、直线插补算法二、直线插补算法 在设计直线插补程序时，通常将插补计算坐标系的原点选在被插补直在设计直线插补程序时，通常将插补计算坐标系的

44、原点选在被插补直 线的起点，如图所示，设有一直线线的起点，如图所示，设有一直线O OPe， O(0,0)O(0,0)为起点，为起点，Pe (Xe,Ye)为终点，为终点， 要求以速度要求以速度F(mm/min)F(mm/min)，沿，沿O OPe 进给。进给。 Pe (Xe,Ye) L Pi+1 (Xi+1,Yi+1) Pi (Xi,Yi) Yi Xi X Y O 设插补周期为T(ms)，则在T内的合成进给量L为： 式中： 1 YYY tgXY XXX LX i1ii 1i1i ii1i i cos / 60LFTm 22 cos ee e ee YX tg X XY Pe (Xe,Ye) L

45、Pi+1 (Xi+1,Yi+1) Pi (Xi,Yi) Yi Xi X Y O 上述算法是先计算上述算法是先计算Xi后计算后计算Yi，同样还可以先计，同样还可以先计 算算Yi后计算后计算Xi，即：，即： 上述算法是先计算上述算法是先计算X Xi i后计算后计算Y Yi i，同样还可以先计算，同样还可以先计算Y Yi i后计算后计算X Xi i， 即：即： 1 11 1 cos i iii ii iii YL YYY 2 XY tg XXX 22 cos ee e ee XY tg Y XY Pe (Xe,Ye) L Pi+1 (Xi+1,Yi+1) Pi (Xi,Yi) Yi Xi X Y O

46、 上述两个式子究竟哪个较优？上述两个式子究竟哪个较优？ 由算式（由算式（1）、（）、（2）分别可得：）分别可得： iiii iiii YXXtgY XYY tgX 对上两式分别求微分并取绝对值得：对上两式分别求微分并取绝对值得： / / iieei iieei dYtgdXYXdX dXtgdYXY dY 对式（对式（3）有：）有： 该算法对误差有收敛作用。该算法对误差有收敛作用。 对式（对式（4）有：）有： 该算法对误差有放大作用。该算法对误差有放大作用。 e Y e 当 X （3） （4） ii ii dYdX dYdX 由此可知由此可知： 通过上面得分析可以得出插补公式的选用原则为：通过

47、上面得分析可以得出插补公式的选用原则为： 这个结论的实质就是在插补计算时总是先计算大的坐标增量，后这个结论的实质就是在插补计算时总是先计算大的坐标增量，后 计算小的坐标增量。计算小的坐标增量。 2YX 1YX ee ee 选用公式时 选用公式时 n公式的归一化处理 若考虑不同的象限，插补公式将有若考虑不同的象限，插补公式将有8 8组，为程序设计的方便，引入引组，为程序设计的方便，引入引 导坐标的概念，即将进给增量值较大的坐标定义为引导坐标导坐标的概念，即将进给增量值较大的坐标定义为引导坐标G G，进给增量，进给增量 值较小的定义为非引导坐标值较小的定义为非引导坐标N N。这样便可将八组插补公式

48、归结为一组：。这样便可将八组插补公式归结为一组： 22 cos ee e ee NG tg G GN 在程序设计时，可将上公式设计成子程序，并在其输入输出部分进在程序设计时，可将上公式设计成子程序，并在其输入输出部分进 行引导坐标与实际坐标的相互转换。这样可大大简化程序的设计。行引导坐标与实际坐标的相互转换。这样可大大简化程序的设计。 1 11 1 cos i iii ii iii GL GGG NG tg NNN 3三、圆弧插补算法三、圆弧插补算法 采用时间分割插补法进采用时间分割插补法进 行圆弧插补的基本方法是用行圆弧插补的基本方法是用 内接弦线逼近圆弧。设计圆内接弦线逼近圆弧。设计圆 弧插补程序时，通常将插补弧插补程序时，通常将插补 计算坐标系的原点选在被插计算坐标系的原点选在被插 补圆弧的圆心上，如图所示，补圆弧的圆心上，如图所示， 以第一象限顺圆（以第一象限顺