拉普拉斯变换数学方法PPT学习教案

1、会计学1 拉普拉斯变换数学方法拉普拉斯变换数学方法 2021-8-12 第1页/共46页 2021-8-13 拉氏变换拉氏变换 第2页/共46页 2021-8-14 ,js , 1j ,js 22 rs arctan )sin(cosjrs j res sincosje j 第3页/共46页 2021-8-15 )()()(sjvsusG s 第4页/共46页 2021-8-16 js ),( ),( vv uu jvusG)( 例： js 2),( 1),( 22 vv uu 2) 1( 1)( 22 2 j ssG 第5页/共46页 2021-8-17 )()( )()( )( 1 1 n

2、 m psps zszsK sG 当sz1,zm时，G(s)=0，则称z1,zm 为G(s)的零点； 当sp1,pm时，G(s)=，则称p1,pm 为G(s)的极点。 第6页/共46页 2021-8-18 0 )()()(dtetfsFtfL st 有时间函数f(t)，t0，则f(t)的拉氏变换记作： Lf(t)或 F(s)，并定义为： (21) f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件： （1）在任一有限区间上， f(t)分段连续，只有有限个间断点； （2）当t时， f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足 ： at Metf)( 该条件使得积分绝对值收敛。 第7页/共46页 2021-

3、8-19 j j stds esF j sFLtf )( 2 1 )()( 1 )( 1 sFL 已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t) 的过程称作拉氏反 变换，记作： 定义为如下积分： 其中：为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。 (22) 第8页/共46页 2021-8-110 0, 1 0, 0 )( 1 t t t 1 单位阶跃函数 定义为： 单位阶跃函数的拉氏变换为： ss e dtettL st st 1 0 )( 1)( 1 0 第9页/共46页 2021-8-111 0, 0 0, )( t t t )0()()( 1)( 0 0 fdttft dtt 2 单位脉冲函

4、数 定义为： 单位脉冲函数的重要性质： 单位脉冲函数的拉氏变换为： 1 0 )()( 0 t edtettL stst 第10页/共46页 2021-8-112 0, 0, 0 )( tt t tf 3 单位斜坡函数 定义为： 单位斜坡函数的拉氏变换为： 22 0 00 1 0 1 )( 0 s e s dt s e dt s e s e tdttetL st st stst st 第11页/共46页 2021-8-113 at etf)( 4 指数函数 定义为： 指数函数的拉氏变换为： asas e dtedteeeL tas tasstatat 1 0 )( 0 )( 0 第12页/共46

5、页 2021-8-114 )( 2 1 sin tjtj ee j t 5 正弦函数 用欧拉公式表示为： 其拉氏变换为： 22 0 sinsin s dtettL st )( 2 1 cos tjtj eet 6 余弦函数 用欧拉公式表示为： 其拉氏变换为： 22 0 coscos s s dtettL st 第13页/共46页 2021-8-115 7 幂函数（作业） 其拉氏变换为： 1 0 ! n stnn s n dtettL 例： 33 2 2! 2 ss tL 常用时间函数的拉氏变换表，可通过直接查表求时间函数的 拉氏变换。 第14页/共46页 2021-8-116 1. 线性性质线

6、性变换 )()( )()()()( 2211 22112211 sFKsFK tfLKtfLKtfKtfKL (2-3) 第15页/共46页 2021-8-117 atatf, 0)( 2. 实数域的位移定理延时定理 (2-4) 其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延 迟a秒的延时函数，且： )()(sFeatfL as 第16页/共46页 2021-8-118 )( 1 1 )( 1 1 )()()( 11 Tt T t T Ttftftf )1 ( 111 )( sTsT e Ts e TsTs tfL 图示方波函数表达为： 利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理

7、： 第17页/共46页 2021-8-119 )( 4 ) 2 ( 4 ) 2 ( 44 )() 2 () 2 ()()( 2222 1111 Tt T T t T T t T t T Ttf T tf T tftftf )21 ( 4 4444 )()( 2 22 22 2 22 2 2222 sT T s sT T s T s ee sT e sT e sT e sTsT tfLsF 图示三角波函数表达为： 利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理： 第18页/共46页 2021-8-120 - 0 1 ( )( ) 1 T st sT L f tf t e dt e

8、 2.4 拉氏变换的性质 3. 周期函数的拉氏变换 设f(t)是以T为周期的周期函数，即： ()( )f tnTf t 则f(t)的拉氏变换为： 第19页/共46页 2021-8-121 ( )( ),( ( )()26 at f tF sa L ef tF sa 若的拉氏变换为则 对任一常数实数或复数），都有 （ ） 4. 复数域位移定理(也称衰减定理) 2222 1 sincos ()() ! () atat at n n sa L etL et sasa n L et sa 复数域位移定理的应用： 第20页/共46页 2021-8-122 , 1 ()( )(2-7) a s L f a

9、tF aa 对于任意常数 有 2.4 拉氏变换的性质 5. 相似定理（也称尺度定理） 第21页/共46页 2021-8-123 ( )( )( ) ( )( )(0 )2 8 (0 )( ) f tF sft L ftsF sf ff t 若时间函数的拉氏变换为，且其一阶导数存在，那么 （ ） 其中是时间正向趋近于零时的值。 2.4 拉氏变换的性质 6. 微分定理 0 ( )( ) ( ) ( ) t f tF s F s Lf t dt s 假设的拉氏变换，则 7. 积分定理 第22页/共46页 2021-8-124 Back 8 终值定理终值定理 原函数原函数f(t)f(t)的稳态性质的稳

10、态性质 sF(s)sF(s)在在s=0s=0邻域内的性质邻域内的性质 第23页/共46页 2021-8-125 Back 9 初值定理初值定理 第24页/共46页 2021-8-126 ( )( ),( ) ( )( )(2-17) L f tF stf t d L tf tF s ds 若则函数的拉氏变换为 2.4 拉氏变换的性质 10. tf(t)的拉氏变换 ( )( ),( )/ ( ) ( )(2-18) s L f tF sf tt f t LF s ds t 若则函数的拉氏变换为 11. f(t)/t的拉氏变换 第25页/共46页 2021-8-127 0 () ( )( ) (

11、) t Lf tgdF s G s 2.4 拉氏变换的性质 12. 卷积定理 0 () ( )( )( ) t f tgdf tg t 函数f(t)和g(t)的卷积定义为： 拉氏变换的卷积定理：若 函数f(t)和g(t)满足拉氏变换存在的 条件，则f(t)和g(t)的卷积的拉氏变换一定存在，且： 其中，函数f(t)和g(t)满足：当t0时， f(t)=g(t)=0 第26页/共46页 2021-8-128 1. 1. 定义：从象函数定义：从象函数F(s)F(s)求原函数求原函数f(t)f(t)的运算称的运算称 为拉氏反变换。记为为拉氏反变换。记为 。 由由F(s)F(s)可按下式求出可按下式求

12、出 式中式中C C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)F(s)所有极点的实所有极点的实 部。部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)F(s)必须必须 是一种能直接查到的原函数的形式。是一种能直接查到的原函数的形式。 )( 1 sFL )0()( 2 1 )()( 1 tdsesF j sFLtf jC jC st 2.5 拉氏反变换的数学方法 第27页/共46页 2021-8-129 第28页/共46页 2021-8-130 若若F(s)F(s)不能在表中直接找到原函数，则需

13、不能在表中直接找到原函数，则需 要将要将F(s)F(s)展开成若干部分分式之和，而这展开成若干部分分式之和，而这 些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。 例例1 1： 例例2 2：求：求 的逆变换。的逆变换。 解：解： ab ee tf bsasabbsas sF btat )( ) 11 ( 1 )( 1 )( 则 t etsFLtf sssss sF 1)()( 1 111 ) 1( 1 )( 1 22 ) 1( 1 )( 2 ss sF 第29页/共46页 2021-8-131 12 12 1212 ,: ( -)( -).( -) ( )(2-22)

14、( -)( -).( -) /;,.,.,( ) m n mmnm nm K s zs zs z F s s ps ps p Kbap ppz zzF s 如果则 式中：和分别式的极点和零点， 均为实数或共轭复数。 1 10 1 10 .( ) ( )(2-21) ( ). :(1,2,., ),(1,2,.,) mm mm nn nn ij b sbsbB s F s A sa sasa a in bjmnm 其中为实数，且。 第30页/共46页 2021-8-132 12 12 1 , ( -)( -).( -) ( ) ( -)( -).( -) 1( ) 2( ) m n nm K s

15、 zs zs z F s s ps ps p F s F srp 本节学习即表达成如下形式的象函数的拉氏反变换方法： 根据象函数的极点形式，分两种情况进行讨论： 、无重极点的情况； 、有 个重极点 ，其余极点各不相同的情况； 第31页/共46页 2021-8-133 12 12 12 ()( ) ( -) ( ) ( ) ( ).(2-24) ( )- ,., (1,2,., )(2-25) ( (1) ( ) ( )0 ) ) () ( i i iisp i i n n n is KKKB s F s A ss ps ps p K KK in dA s pA s F s B pB s Ks

16、p A s A p d A p s 无重极点的情况下，F(s)必定可展开成部分分式之和，即： 其中，为待定系数。 式中， 为的 无重极点 根， i p 。 -1 1 () ( ) ( )(2-27) () i n p ti i i B p f tL F se A p 第32页/共46页 2021-8-134 2 32 123 2 123 2 12 145551 2-6( ) 2122212 1( )0,-1-2-3 2 ( )() ( ) ( )62422()4()2()4 3 () ( )145551()10()-3( i i ss F s sss A sppp A sA p dA s A

17、sssA pA pA p ds B p B sssB pB pB 例 求的拉氏反变换。 令求解极点： ，； 求，计算： ， 计算； ， 3 123 -1-1-1-1-3 )12 () 4 () 2.51.53 5 2.51.53 ( ) ( )2.51.53 123 i i i ttt p B p K A p KKK f tL F sLLLeee sss 计算各分式待定系数：； ； 拉氏反变换： () () i i i B p K A p 第33页/共46页 2021-8-135 3124 11 21 ( )20(1)(3) 27( ). ( )(1)(1- )(2)(4) ( ), 11-2

18、4 ( )20()(2) (1)43 ( )( 2 )(1)(3) ( )20( )(2) (1- ) ( )(2 ) sj sj B sss F s A ssj sj ss KKKK F s sjsjss B sjj Ksjj A sjjj B sjj Ksj A sj 例 求拉氏反变换 解： 则 32 44 1-(1)(-1 43 (1)(3) ( )20 ( 1) 1 (2)5 ( )( 1)( 1)2 ( )20( 3)( 1) (1)3 ( )( 3)( 3) ( 2) 434-3-5-3 ( ) 11-24 ( ) ( )(43 )(4-3 ) s s j t j jj B s K

19、s A sjj B s Ksj A sjj jj F s sjsjss f tLF sj ej e 因此， )24 -()24 -24 53 4()3 ()53 (8cos6sin )53 j ttt tjtjtjtjttt ttt ee eeej eeee ettee ( ) ( -) ( ) i iisp B s Ks p A s 第34页/共46页 2021-8-136 11 1112112 1 11211 1 ( ) ( )( ) ( ) ( )() ().() ( ) ( ). ()() 1 ) ( ) ) (2( 1 i r nrn nrrr rr rrn r F srp B sB

20、 s F s A saspspsp F s KKKKKK F s spspspspspsp K r F s 假如有 个重极点 ，其余极点均不相同，即： 那么可展开成如下部分分式之和： 其中： 有重极点的情况 1 1 1 1 ( )() (2-29) ! () ( )()(1,2,., )(2-30) () j r r sp r j jjsp j d F s sp ds B p KF s spjrrn A p 1 12 1-1-21112 1 12 ( ) ( ). (1)!(2)! . nrr p trr r p tptpt rrn KK f tLF sttKe rr KeKeK e 第35页

21、/共46页 2021-8-137 3 13511124 332 3 1122 3 1222 22 2 3 13 2 1 2.8( ) (2) (3) 1 ( ) (2)3(2) (0)(3)(2)(2) 11 ( )(2) (3)2 -(23)1 ( )(2) 4(3) 1 ( )(2) 2! ss ss s F s s ss KKKKK F s ssssssss KF s s s s ds KF s s dsss d KF s s ds 例： 求拉氏反变换。 解： 2 22 2 400 3 533 3 113 2!(3)8 11 ( ) 24(2) (3) 11 ( ) (3) 3(2) s

22、 ss ss d s sds KF ss ss KF ss s s 第36页/共46页 2021-8-138 32 1 2 2 2 2 3 2 2 3 -11311 ( ) 8(2)243(3)2(2)4(2) ( ) ( ) 11311 - 1311 () 4 2 24824 2 3 324 tttt tt F s sssss f tLF s t t tee eteee 所以， 第37页/共46页 2021-8-139 利用MATLAB中的函数residue将原函数展开成 部分分式，然后查拉氏变换的表格得到原函数。函数 格式： r,p,k=residue(b,a);%返回多项式b/a之比的部

23、分分 式展开项中的残差、极点和直接项。 b,a=residue(r,p,k)；%将部分分式展开项还原成 多项式 第38页/共46页 2021-8-140 第39页/共46页 2021-8-141 2 2 9 2.9( ) 1 MATLAB: 44 ( )1 11 ( )( )44 tt s F s s F s SS f ttee 例求函数的原函数 解：根据计算得到 所以， 432 432 222 2321 2.10( ) 4762 MATLAB - 0.50.521121 ( )11 1-111(1)(1)1(1) ( )( )sin2 ttt ssss F s ssss jj F s sjs

24、jsssss f ttetete 例求原函数， 解：根据运行结果: 第40页/共46页 2021-8-142 第41页/共46页 2021-8-143 11 -10-10 11 ( )( ) 00 00 (2-33) (0 )(0 ) 1 ( ) ( )( )( )( )( ) 2 ( )( )( ) ( ) ( )( ) nnmm nnmm nnmm ii n d ydyd xdx aaa ybbb x dtdtdtdt xy A s Y sA sB s X sB s A sB sB s Y sX A sA s 对于一般的 阶线性常系数非齐次微分方程， 考虑其初始条件和 根据微分定理进行拉氏变换，得： 解出象函数： -1-1-100 ( ) 3 ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ci s A sBsB s y tL Y sLLX sy ty t A sA s 拉氏反变换求得常微分方程的解： 第42页/共46页 2021-8-144 2 222 2.11( )( ) ( )( )( ) (0