机电系统计算机控制技术

1、第二章第二章 机电系统的数学模型机电系统的数学模型 2.12.1 常用的传感器和执行器常用的传感器和执行器 传感器传感器：将被测物理量（如力、位移、温度等）：将被测物理量（如力、位移、温度等） 转换为与之相对应的、容易检测、传输或处理的转换为与之相对应的、容易检测、传输或处理的 信号的装置，称之为传感器，也叫变换器、换能信号的装置，称之为传感器，也叫变换器、换能 器或探测器。器或探测器。 检测信号检测信号 信号变换信号变换 执行器执行器：将各种形式的能量转变为机械动作，从：将各种形式的能量转变为机械动作，从 而去控制对象，也称为执行元件。而去控制对象，也称为执行元件。 机机 械 械 驱动器驱动

2、器接口接口计算机计算机接口接口 传感器传感器信号处理信号处理 执行器执行器 + + - - 表表2.12.1机电系统中常用传感器机电系统中常用传感器 类型类型名称名称被测量被测量变换变换 量量 应用应用 举例举例 机机 械械 式式 测力环测力环力力位移位移测力仪测力仪 弹簧弹簧力力位移位移弹簧称弹簧称 双金双金 属片属片 温度温度位移位移温度计温度计 微型微型 开关开关 物体物体 位置位置 位移位移 类类 型型名名 称称被被 测测 量量变换量变换量应用举例应用举例 电电 磁磁 及及 电电 子子 式式 电位器电位器 位移位移 电阻电阻直线电位器直线电位器 电阻应变片电阻应变片力、位移、应变力、位

3、移、应变电阻电阻应变仪应变仪 电感电感力、位移力、位移自感自感电感测微仪电感测微仪 差动电感变压器差动电感变压器力、位移力、位移互感互感电感比较仪电感比较仪 电涡流电涡流位移、测厚位移、测厚自感自感涡流式测振仪涡流式测振仪 电容电容力、位移力、位移电容电容电容测微仪电容测微仪 压电元件压电元件力、加速度力、加速度电荷电荷测力仪、加速度仪测力仪、加速度仪 压磁元件压磁元件力、扭矩力、扭矩磁导率磁导率测力仪测力仪 热电偶热电偶温度温度电势电势热电温度计热电温度计 霍尔元件霍尔元件位移位移电势电势位移传感器位移传感器 热敏电阻热敏电阻温度温度电阻电阻半导体温度计半导体温度计 光敏电阻光敏电阻开、关量

4、开、关量电阻电阻 气敏电阻气敏电阻可燃气体可燃气体温度温度气敏检测仪气敏检测仪 光敏晶体管光敏晶体管位移、转速位移、转速电流电流光电转速仪光电转速仪 表表2.1 2.1 机电系统中常用传感器机电系统中常用传感器 类类 型型 名名 称称 被被 测测 量量变换量变换量应用举例应用举例 流流 体体 式式 气动气动 物体尺寸、物体尺寸、 距离距离 压力压力气动测量气动测量 仪仪 液体液体压力压力压力平衡压力平衡活塞压力活塞压力 计计 液体液体流量流量液体静压液体静压 变化变化 节流式节流式 流量计流量计 液体液体流量流量流体阻力流体阻力 变化变化 转子式转子式 流量计流量计 表表2.12.1机电系统中

5、常用传感器机电系统中常用传感器 表表2.12.1机电系统中常用传感器机电系统中常用传感器 表表2.12.1机电系统中常用传感器机电系统中常用传感器 光电编码器光电编码器 码盘式角度数字检测元件码盘式角度数字检测元件 绝对光电编码器绝对光电编码器 增量式光电编码器增量式光电编码器：结构简单、价格低、而：结构简单、价格低、而 且精度易于保证，采用最多，可以测量轴的转且精度易于保证，采用最多，可以测量轴的转 速速 结结 构构 窄缝圆盘窄缝圆盘：刻有节距：刻有节距 相等的辐射状窄缝相等的辐射状窄缝 光电变换器光电变换器：两组检：两组检 测窄缝，其节距与圆测窄缝，其节距与圆 盘的节距相同。两组盘的节距相

6、同。两组 检测窄缝错开检测窄缝错开l l4 4节节 距，其目的是使距，其目的是使A A，B B 两个光电转换器的输两个光电转换器的输 出信号在相位上相差出信号在相位上相差 9090度，用以判断转动度，用以判断转动 方向。方向。 光源光源 透镜透镜 增量编码器增量编码器 光光 栅栅 尺尺 结构特点：结构特点： 由尺光栅和指示光栅由尺光栅和指示光栅 组成组成 光刻密度相同，通常光刻密度相同，通常 为为2525，5050，100100，250250 条条/ /毫米。毫米。 刻线相互倾斜一个很刻线相互倾斜一个很 小的角度，在指示光小的角度，在指示光 栅上构成莫尔条纹。栅上构成莫尔条纹。 莫尔条纹起放大

7、作用。莫尔条纹起放大作用。 莫尔条纹莫尔条纹 条纹宽度条纹宽度 栅距栅距 光栅条纹间夹角光栅条纹间夹角 光栅移动时产生的光栅移动时产生的 条纹明暗信号被光电条纹明暗信号被光电 元件接收，变成光栅元件接收，变成光栅 位移量的测量脉冲。位移量的测量脉冲。 P W W P 2.1.22.1.2 执行器执行器 电气式电气式：步进电机、直流伺服电机、交：步进电机、直流伺服电机、交 流伺服电机流伺服电机 液压式液压式：液压油缸、油马达及其控制阀：液压油缸、油马达及其控制阀 （电磁阀）（电磁阀） 气动式气动式：气动油缸，电磁阀、气动阀：气动油缸，电磁阀、气动阀 步进电机步进电机 步进电机又称为脉冲电机，是一

8、种将电脉冲信步进电机又称为脉冲电机，是一种将电脉冲信 号转换为相应的角位移或直线位移的机电执行号转换为相应的角位移或直线位移的机电执行 元件，即每输入一个控制脉冲，电动机输出轴元件，即每输入一个控制脉冲，电动机输出轴 就转过一步就转过一步( (走一步走一步) )。 步进电机输出轴的步进电机输出轴的角位移或线位移量与输入脉角位移或线位移量与输入脉 冲数成正比，其转速或线速度与输入脉冲频率冲数成正比，其转速或线速度与输入脉冲频率 成正比成正比。 步进电机的种类及优点步进电机的种类及优点 优点优点： 不需要反馈就能对位移或速度进行精不需要反馈就能对位移或速度进行精 确控制；确控制； 输出的转角或位移

9、精度高，无累积误输出的转角或位移精度高，无累积误 差；差； 控制系统结构简单，与数字设备兼容，控制系统结构简单，与数字设备兼容， 价格便宜。价格便宜。 种类种类： 反应式步进电机反应式步进电机 永磁式步进电机永磁式步进电机 混合式步进电机混合式步进电机 特种步进电机特种步进电机 伺服电动机伺服电动机 直流伺服电动机直流伺服电动机：良好的调速特性和较大：良好的调速特性和较大 的启动转矩，相对功率大及快速响应等优点，的启动转矩，相对功率大及快速响应等优点， 需要经常的维护和保养。需要经常的维护和保养。 交流伺服电动机交流伺服电动机：结构简单（无电刷和转：结构简单（无电刷和转 向器），价格便宜，维护

10、工作量小，重量轻，向器），价格便宜，维护工作量小，重量轻， 是一种理想的执行元件。在交流电机能满足生是一种理想的执行元件。在交流电机能满足生 产需要的场合，随着变频调速技术的进步，交产需要的场合，随着变频调速技术的进步，交 流电机的调速控制在大功率、高电压、高精度、流电机的调速控制在大功率、高电压、高精度、 快响应等领域中的应用取得更大进展，已逐步快响应等领域中的应用取得更大进展，已逐步 取代直流电机在生产上的应用。取代直流电机在生产上的应用。 直流伺服电机直流伺服电机 转速：转速：与电枢与电枢 电压成正比电压成正比 转向：转向：由电枢由电枢 电压极性决定电压极性决定 2.2 2.2 微分方程

11、式的建立微分方程式的建立 建立系统微分方程式的一般步骤建立系统微分方程式的一般步骤 典型元件典型元件 1.1.建立系统微分方程式的一般步骤建立系统微分方程式的一般步骤 分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系， 将系统将系统划分为若干个环节（或元件）划分为若干个环节（或元件），确定每一，确定每一 环节的输入信号和输出信号。环节的输入信号和输出信号。 根据支配系统动态特性的定律，从输入端开始，根据支配系统动态特性的定律，从输入端开始， 按照信号的传递顺序，按照信号的传递顺序，列出各个元件描述输出信列出各个元件描述输出信 号和输入信号相互关系的动态方程式号

12、和输入信号相互关系的动态方程式，一般为微，一般为微 分方程组；分方程组； 消去中间变量消去中间变量，最后得到只包含系统输入量和输，最后得到只包含系统输入量和输 出量的微分方程式，即系统的数学模型；出量的微分方程式，即系统的数学模型； 将方程式将方程式化为标准形式化为标准形式，即将与输入有关的各项，即将与输入有关的各项 放在等号右边，与输出有关的各项放在等号的左放在等号右边，与输出有关的各项放在等号的左 边，并且各导数项要按降幂排列，最后将系数归边，并且各导数项要按降幂排列，最后将系数归 化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。 2.2.典型元件典型元

13、件 典型元件典型元件 典型元件典型元件 网络方程网络方程元件连接原则元件连接原则 电气系统电气系统 基尔霍夫电压定理基尔霍夫电压定理 基尔霍夫电流定理基尔霍夫电流定理 机械系统机械系统 空间连续律空间连续律 达朗贝尔静力平衡原理达朗贝尔静力平衡原理 s i ki u 1 0 r i ki i 1 0 s i ki x 1 0 r i ki f 1 0 例例2. 1 2. 1 机械平移系统机械平移系统 设弹簧设弹簧- -质量质量- -阻尼组成的简单的机械平移系统阻尼组成的简单的机械平移系统 如图如图2. 12. 1所示，列出以所示，列出以F F为输入，以质量的位移为输入，以质量的位移y y为为

14、输出的运动方程式（不计重力）。输出的运动方程式（不计重力）。 解解： 根据牛顿第二定律可得根据牛顿第二定律可得 2 2 d y Fmam dt 则系统的方程为则系统的方程为: : 2 2fk d ydy mFFFFbky dtdt 上式经整理，可得系统上式经整理，可得系统 的微分方程为的微分方程为: : 2 2 d ydy mbkyF dtdt 例例2. 2 2. 2 机械转动系统机械转动系统 已知机械转动系统如图已知机械转动系统如图2.22.2所示，系统由惯性所示，系统由惯性 负载和粘性摩擦阻尼器组成。系统的输入以外力矩负载和粘性摩擦阻尼器组成。系统的输入以外力矩M M， 系统的输出为角速度

15、系统的输出为角速度。试列出系统运动方程式。试列出系统运动方程式。 解解: : 对这样的系统，牛顿第二定律可以表示为对这样的系统，牛顿第二定律可以表示为 d JM dt 式中式中J 为惯性负载的转动惯为惯性负载的转动惯 量，量，为角速度，为角速度，M 为外加到系为外加到系 统的转动力矩。统的转动力矩。 d JbM dt 代入元件方程，可得代入元件方程，可得 上式也可写成上式也可写成 若系统的输出为转角若系统的输出为转角，因，因 为为=d/ dt，代入方程得，代入方程得 d JbM dt 2 2 dd JbM dtdt 例例2.3 2.3 电气系统电气系统 设有一个以电阻设有一个以电阻R、电感、电

16、感L和电容和电容C组成的组成的R-L-C 电路如图电路如图2.3所示。试列写以所示。试列写以ui为输入，为输入，uo为输出为输出 的微分方程式。的微分方程式。 解解: : 根据基尔霍夫定律写根据基尔霍夫定律写 出电路方程出电路方程 消去中间变量消去中间变量 I 得得 输入输入-输出的运动输出的运动 方程式方程式 1 i di LidtRiu dtC 2 2 oo oi d udu LCRCuu dtdt 其中其中 1 o uidt C 亦即亦即 0 du iC dt 机电系统的相似性机电系统的相似性 例例2.12.1 2 2 d ydy mbkyF dtdt 例例2.32.3 2 2 oo o

17、i d udu LCRCuu dtdt 不同的系统，其数学模型均不同的系统，其数学模型均 为二阶微分方程，即相似的数为二阶微分方程，即相似的数 学模型。亦即是说各物理系统学模型。亦即是说各物理系统 的特性参数间也存在着一定的的特性参数间也存在着一定的 运动相似性。运动相似性。 机电系统的相似性机电系统的相似性 电网络电网络机械网络机械网络 电流电流i 电感电感L 电阻电阻R 阻尼阻尼 1/b 弹簧弹簧k 力力F 电网络电网络机械网络机械网络 电容电容C质量质量m 电压电压v 电感电感L 电阻电阻R阻尼阻尼b 弹簧弹簧 1/k 力力F 电容电容C 质量质量m 机电系统方程机电系统方程 机械驱动力

18、机械驱动力电磁场力电磁场力 MM = 例例2.42.4 天线方位角伺服系统如图天线方位角伺服系统如图2.4所示，试列出以所示，试列出以 电枢电压电枢电压ua为输入信号，跟踪卫星的天线的方位为输入信号，跟踪卫星的天线的方位 角角为输出信号的运动方程式。为输出信号的运动方程式。 图图2. 4 2. 4 天线方位角伺服系统天线方位角伺服系统 解解 ： 例例2.42.4 ua电动机的电枢电压（电动机的电枢电压（V） em电动机的反电势（电动机的反电势（V） Ia 电动机的电枢电流（电动机的电枢电流（A） Ra电枢绕组的电阻（电枢绕组的电阻（） La电枢绕组的电感（电枢绕组的电感（H） 电动机轴的转速（

19、电动机轴的转速（rad/s） 符号定义：符号定义： 例例2.42.4 ke反电动势系数反电动势系数V/rad/s） Ja 电动机转子的转动惯量电动机转子的转动惯量 （kgm2） b阻尼系数（阻尼系数（Nm/rad/s） Ma电动机的电磁转矩（电动机的电磁转矩（Nm） Md风力产生的阻力矩（风力产生的阻力矩（Nm） kc电机转矩系数（电机转矩系数（Nm/A） 例例2.42.4 1 1 电网络平衡方程电网络平衡方程 a aa ama di LR ieu dt me ek aad d JbMM dt ac a Mk i 2 2 机械平衡方程机械平衡方程 其中其中 3. 3. 系统方程系统方程 工程简

20、化：电动机电枢电感工程简化：电动机电枢电感La通常比较小，因此通常比较小，因此 可以忽略可以忽略La；在工程实践中，；在工程实践中， 和和 可作为可作为 干扰信号来处理干扰信号来处理 a aaama me aad ac a di LR ieu dt ek d JbMM dt Mk i 输入为电枢电压输入为电枢电压ua，输出为天线旋转角速度的，输出为天线旋转角速度的 二阶微分方程为：二阶微分方程为： 2 2 ()() aaaaaaaa eda cccc J LL bJ RR bLRdd kMu kdtkdtkk d MbMc 例例2.42.4 如果设如果设 ， ，则可得到一阶线性微分，则可得到一

21、阶线性微分 方程为：方程为： 0 c Mb 0 d M 若以电动机转角为输出，即若以电动机转角为输出，即 ，则上式可改写为：，则上式可改写为： aa ea c J R d ku kdt d dt 2 2 aa ea c J R dd ku kdtdt 如果电机轴上的转动惯量如果电机轴上的转动惯量Ja和电枢电阻和电枢电阻Ra忽略不忽略不 计，则方程变为：计，则方程变为： 此时电枢电压此时电枢电压ua与电机的转速成正比，这就是测速与电机的转速成正比，这就是测速 发电机的原理。发电机的原理。 ea d ku dt 例例2.42.4 令：令： c m aec K K R bK K aa m aec R

22、 J T R bK K 电动机放电动机放 大系数大系数 机电时机电时 间常数间常数 2 2mma dd TK u dtdt 则天线方位角伺服系统的运动微分方程式则天线方位角伺服系统的运动微分方程式: : mma d TK u dt 或或: : 例例2.42.4 2.3 2.3 用拉普拉斯变换求解用拉普拉斯变换求解 线性微分方程线性微分方程 拉普拉斯变换是对系统进行分析、建模和设拉普拉斯变换是对系统进行分析、建模和设 计的基本数学工具，它是求解线性微分方程的简计的基本数学工具，它是求解线性微分方程的简 捷工具，同时也是建立系统传递函数的数学基础。捷工具，同时也是建立系统传递函数的数学基础。 1

23、1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 如果一个以时间如果一个以时间t 为自变量的函数为自变量的函数f（t），它的，它的 定义域是定义域是t 0 ，那么，拉普拉斯变换为，那么，拉普拉斯变换为 dtetfsFtfL st 0 )()()( js 式中：式中：s 为复数，为复数， 是实数是实数 是角频率（是角频率（rad/s） L为运算符号，称为拉普拉斯变换算子为运算符号，称为拉普拉斯变换算子 F（s）为函数为函数f（t）的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换 2 2 常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换 常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换 3 3 拉氏变换基本定理拉氏变换基本定理 拉氏变换基本定理拉氏

24、变换基本定理 时域函数在频域中表示有两个优点：时域函数在频域中表示有两个优点： 简化了函数简化了函数：例如指数函数和正、余弦函例如指数函数和正、余弦函 数都是时域中的超越函数，在频域中成为有数都是时域中的超越函数，在频域中成为有 理函数表示；理函数表示； 简化了运算简化了运算：如时域函数的卷积在频域中如时域函数的卷积在频域中 成为频域函数的乘积。成为频域函数的乘积。 4 4求拉普拉斯反变换求拉普拉斯反变换 拉氏反变换的表达式为拉氏反变换的表达式为 j j st dtesF j tfsFL )( 2 1 )()( 1 用上式求拉氏反变换，计算复杂，一般很用上式求拉氏反变换，计算复杂，一般很 少采

25、用。通常采用的方法是利用少采用。通常采用的方法是利用部分分式部分分式 展开展开，然后查拉氏变换表，求出函数。，然后查拉氏变换表，求出函数。 部分分式展开法求部分分式展开法求拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 微分方程式的拉普拉斯变换是微分方程式的拉普拉斯变换是s 的有理分式，可以表示成的有理分式，可以表示成 01 2 2 1 1 01 1 1 )( )( )( asasasas bsbsbsb sA sB sF n n n n n m m m m 在复变函数理论中，分母多项式所对应的方程在复变函数理论中，分母多项式所对应的方程 n i in n n n sFsFsFsF ps C ps C ps C

26、 pspsps sB sF 1 21 2 2 1 1 21 )()()()( )()( )( )( 查查表表2.32.3，可以确定的各分解式的反变换为，可以确定的各分解式的反变换为 n i tp i n i i i eCsFLsFLtf 11 11 )()()( 0)(sA 称为极点。这样也可以表示为称为极点。这样也可以表示为所有的解所有的解 i p 5 5 用拉普拉斯变换求解线性微分方程用拉普拉斯变换求解线性微分方程 应用拉氏变换求解线性微分方程的一般应用拉氏变换求解线性微分方程的一般 步骤是：步骤是： （1 1） 对微分方程两边进行拉氏变换，变微分方对微分方程两边进行拉氏变换，变微分方 程

27、为代数方程。程为代数方程。 （2 2） 将给定的初始条件和输入信号代入方程，将给定的初始条件和输入信号代入方程， 求解代数方程，得到微分方程在求解代数方程，得到微分方程在S S域的解。域的解。 （3 3） 作拉氏反变换求得微分方程的时间解。作拉氏反变换求得微分方程的时间解。 例例2.112.11 2 2i d ydy mbkyF dtdt 已知条件为：已知条件为： 求解求解例例2.1 2.1 所述弹簧所述弹簧- -质量质量- -阻尼组成的简单的机阻尼组成的简单的机 械平移系统以械平移系统以F F 为输入，以质量的位移为输入，以质量的位移 y y 为输为输 出的运动方程式出的运动方程式 ./3

28、. 0 )( ;6 . 0)( ;8;/6;/5;/1 00 2 sm dt tdy mty kgFmskgbmkgkmskgm tt i 初始速度初始位移 为阶跃函数，幅值为 例例2.112.11 首先，对方程两边进行拉氏变换，得首先，对方程两边进行拉氏变换，得 整理后得：整理后得： 2 ( )(0)(0)( )(0)( )( )ms Y smsymybsY sbykY sF s i Fky dt dy b dt yd m 2 2 2 ( )(0)(0)(0) ( ) F ssmymyby Y s msbsk 解：解： 例例2.112.11 将初始条件代入方程，可得：将初始条件代入方程，可得

29、： 用用部分分式部分分式展开展开 22 2 0.63.980.63.98 ( ) (65)(1)(5) ssss Y s s sss ss 8477 ( ) 540(1)40(5) Y s sss 15 8477 ( ) ( ),0 54040 tt y tL Y seet 对上式进行反变换，则对上式进行反变换，则 上式即为该机械平移系统运动方程式的解，即上式即为该机械平移系统运动方程式的解，即 系统的系统的输出动态响应输出动态响应。 传递函数是经典控制理论中一个很重要的数学模型。传递函数是经典控制理论中一个很重要的数学模型。 它是在用拉氏变换方法求解微分方程过程中引出的它是在用拉氏变换方法求

30、解微分方程过程中引出的 一种外部描述数学模型。一种外部描述数学模型。 它表达了系统输入量与输出量之间的传递关系。它表达了系统输入量与输出量之间的传递关系。 它只与系统本身的结构和特征参数有关，而与输入它只与系统本身的结构和特征参数有关，而与输入 量无关。量无关。 利用传递函数不必求解微分方程，就可以研究初始利用传递函数不必求解微分方程，就可以研究初始 条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。 利用传递函数可给系统的性能分析带来方便利用传递函数可给系统的性能分析带来方便; ; 也可把对系统性能的要求转换为对传递函数的要求，也可把对系统性能的要求转换为对

31、传递函数的要求， 从而给系统的设计提供简捷的方法。从而给系统的设计提供简捷的方法。 2.4 2.4 传递函数和方框图传递函数和方框图 1 1 传递函数的定义传递函数的定义 对于一个线性定常系统，在对于一个线性定常系统，在零初始条件零初始条件下，系统下，系统 输出信号的拉普拉斯变换输出信号的拉普拉斯变换Y Y（s s）与输入信号的拉）与输入信号的拉 普拉斯变换普拉斯变换R R（s s）之比，称为该系统的传递函数。）之比，称为该系统的传递函数。 )( )( )( sR sY sG 例例2.62.6 解解 : : 已知该系统的微分方程式为已知该系统的微分方程式为 设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得

32、设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得 Fky dt dy b dt yd m 2 2 )()()()( 2 sFskYsbsYsYms kbsmssF sY sG 2 1 )( )( )( 由定义可得该机械平移系统的传递函数为由定义可得该机械平移系统的传递函数为 求如求如图图2. 12. 1所示机械平移系统的传递函数。所示机械平移系统的传递函数。 例例2.82.8 解解: : 已知该系统的微分方程式为已知该系统的微分方程式为 2 2 aa ea c J R dd ku kdtdt 设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得 设设 2 ( )( )( ) aa ea

33、 c J R ssk ssUs k 由定义可得该伺服系统的传递函数为由定义可得该伺服系统的传递函数为 1 , aa ece J R ab k kk ( ) ( ) ( )(1) a sb G s Uss as 求如求如图图2. 42. 4所示天线方位角伺服系统的传递函数。所示天线方位角伺服系统的传递函数。 求取传递函数的一般方法求取传递函数的一般方法 描述线性定常系统（或元件）的微分方程为描述线性定常系统（或元件）的微分方程为 1 11 1 1 011 1 ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) nn nn nn mm mm mm d y tdy tdy t aaa y t d

34、tdtdt d r tdr tdr t bbbb r t dtdtdt 11 11011 ) ( )()( )( nmm nnmm n a sasaY sb sb sbsbR ss 令系统的初始条件为零，对上式两边取拉氏变换得令系统的初始条件为零，对上式两边取拉氏变换得 1 011 1 11 ( ) ( ) ( ) mm mm nn nn b sb sbsbY s G s R ssa sasa 则系统的则系统的传递函数传递函数为为: : 1 011 1 11 ( ) ( ) ( ) mm mm nn nn b sb sbsbY s G s R ssa sasa 特征特征 多项式多项式 系统系统

35、 的阶的阶 次次 ( )0R s 系统的特征方程系统的特征方程 ( )0R s 的根的根 系统的特征根或极点系统的特征根或极点 mn 通常通常 求取传递函数的一般方法求取传递函数的一般方法 MATLAB中数学模型的表达方法中数学模型的表达方法 传递函数模型传递函数模型 在在MATLAB里，可直接用分子里，可直接用分子/分母多项式分母多项式 系数构成的两个向量系数构成的两个向量num与与den来表示系统，即来表示系统，即 ),(dennumtfsys , 1 ;, 110nm aadenbbbnum 其中其中 例例2.62.6 m=1;b=0.5;k=1; num=1;den=m，b，k; G=

36、tf(num，den) 2 ( )1 ( ) ( ) Y s G s F smsbsk 零极点增益模型零极点增益模型 用系统的零点、极点及增益向量用系统的零点、极点及增益向量 z z 、p p 、k k 来表示系统的数学模型。调用格式为：来表示系统的数学模型。调用格式为： 1 1 () ( ) ( ) ( ) () m i i n i i ksz Y s G s R s sp ),(kpzzpksys 例例2.82.8 a=1;b=1; z=;p=0，-1/a;k=b/a; G=zpk(z，p，k) ( ) ( ) ( )(1) a sb G s Uss as 数学模型的相互转换数学模型的相互

37、转换 m=1;b=0.5;k=1; num=1;den=m，b，k; G=tf(num，den) Gzpk=zpk(G) 2 2 动态结构图动态结构图 方框图方框图线图方式的数学模型，是系统的线图方式的数学模型，是系统的 每个元件或子系统的功能和信号流向的图形每个元件或子系统的功能和信号流向的图形 表示，可以用来描述控制系统的系统结构关表示，可以用来描述控制系统的系统结构关 系。系。 表示方法表示方法： 表表2.4 2.4 方框图表示方法方框图表示方法 方框图简化需要遵循一定的方框图简化需要遵循一定的 基本原则，即基本原则，即简化前后的数简化前后的数 学关系不变学关系不变，保证前向通道，保证前

38、向通道 传递函数的乘积不变，回路传递函数的乘积不变，回路 传递函数的乘积不变。传递函数的乘积不变。 表表2.5 2.5 方框图的简化方框图的简化 表表2.5 2.5 方框图的简化方框图的简化 用用MATLAB进行方框图模型的化简进行方框图模型的化简 例例 2.92.9 解解 编程如下：编程如下： num1=0.1，1;den1=0.4;sys1=tf(num1，den1); num2=15;den2=0.054，1;sys2=tf(num2，den2); num3=1.5;den3=0.12，1;sys3=tf(num3，den3); sys123=sys1*sys2*sys3 运行结果运行结

39、果 所以系统等效传递函数所以系统等效传递函数 为为 123 0.11151.5 ( ),( ),( ) 0.40.05410.121 s GsGsGs sss Transferfunction: 2.25s+22.5 - 0.002592s3+0.0696s2 +0.4s 123 32 2.2522.5 ( )( )( )( ) 0.0025920.06960.4 s G sG sGsGs sss 已知某系统前向通道三个模块的传递函数分别为。已知某系统前向通道三个模块的传递函数分别为。 试求串联连接的等效传递函数试求串联连接的等效传递函数 例例2.102.10 解解 编程如下编程如下 num1

40、=3;den1=1num1=3;den1=1，1;sys1=tf(num11;sys1=tf(num1，den1);den1); num2=6num2=6，10;den2=110;den2=1，2 2，1;sys2=tf(num21;sys2=tf(num2， den2);den2); sys=sys1+sys2;num=sys.num1sys=sys1+sys2;num=sys.num1 den=sys.den1den=sys.den1 12 2 3610 ( ),( ) 121 s G sGs sss 运行结果运行结果 所以系统的等效传递函数所以系统的等效传递函数 为为 num= 0922

41、13 den= 1331 2 12 32 92213 ( )( )( ) 331 ss G sG sGs sss 已知两子系统传递函数分别为已知两子系统传递函数分别为： 试求两系统并联连接的等效传递函数的试求两系统并联连接的等效传递函数的numnum与与denden向量。向量。 3.3.方框图的传递函数方框图的传递函数 典型的闭环控制系统如图典型的闭环控制系统如图2.62.6所示。所示。 ( )( )( )B sF sY s ( )( )( ) q GsD sG s 前向通道传递函数前向通道传递函数 （1 1）系统的开环传递函数）系统的开环传递函数 在扰动信号在扰动信号N(s)=0N(s)=0

42、时，系统的时，系统的为：为： ( ) ( )( )( )( )( )( ) ( ) Oq B s HsGsF sD sG sF s E s 即如图所示：即如图所示： （2 2）系统的闭环传递函数）系统的闭环传递函数 当当N(s)=0 N(s)=0 时，系统的闭环传递函数为：时，系统的闭环传递函数为： ( ) ( ) ( ) Y s H s R s ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) q Y sGsE s E sR sB sR sF sY s ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1( )( )1( ) ( )( ) q q q Y

43、sGsR sF sY s Gs Y sD s G s H s R sGs F sD s G s F s 由由 得得 单位负反馈系统单位负反馈系统 ( )1F s ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) D s G s H s D s G s 所以所以 （3 3）系统的误差）系统的误差( (偏差偏差) )传递函数传递函数 以误差（偏差）信号以误差（偏差）信号E(s) E(s) 为输出量，以为输出量，以 控制量控制量R(s) R(s) 或者扰动量或者扰动量 N(s) N(s) 为输入量的为输入量的 闭环传递函数称为闭环传递函数称为误差（偏差）传递函数误差（偏差）传递函数。 它是闭环系统的另一个重

44、要的关系式，它是闭环系统的另一个重要的关系式， 在进行系统的误差分析是很有用。在进行系统的误差分析是很有用。 当当N(s)=0 N(s)=0 时，误差（偏差）信号时，误差（偏差）信号 E(s) E(s) 对对 于控制信号于控制信号 R(s) R(s) 的闭环传递函数。的闭环传递函数。 令令R(s)=0 R(s)=0 时，误差（偏差）信号时，误差（偏差）信号E(s) E(s) 对于对于 扰动信号扰动信号N(s) N(s) 的闭环传递函数。的闭环传递函数。 a.a.误差信号误差信号 E(s)E(s) 对于控制信号对于控制信号 R(s)R(s) 的闭环传递函数的闭环传递函数 ( )( )( ) (

45、)( )( )( )( )( ) q Y sGsE s E sR sB sR sF sY s 由由 得得 ( )( )( )( ) ( ) ( )11 ( ) ( )1( ) ( )1( ) ( ) ( ) q e q E sR sE s G s F s E s H s R sG s F sD s G s F s b.b.误差信号误差信号 E(s) E(s) 对于扰动信号对于扰动信号 N(s) N(s) 的闭环传递函数的闭环传递函数 得得 ( )( )( )( 1)( )( ) ( ) ( )1( ) ( )( )( 1)1( ) ( )( ) EN E sG s F sG s F s Hs

46、N sD s G s F sD s G s F s c. c. 控制信号控制信号R(s) R(s) 和扰动信号和扰动信号 N(s) N(s) 共同作用时共同作用时 由叠加原理，得由叠加原理，得 ( )( )( )( )( ) 1( )( ) ( )( ) 1( ) ( )( )1( ) ( )( ) 1 ( )( )( )( ) 1( ) ( )( ) eEN E sHsR sHsN s G s F s R sN s D s G s F sD s G s F s R sG s F s N s D s G s F s 得得 （4 4）系统的扰动传递函数）系统的扰动传递函数HN(s) 在在R(s)

47、=0 R(s)=0 时时，系统方框图等效变换，系统方框图等效变换 ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( ) NN N N YsN sYs F s D s G s YsG s Hs N sD s G s F s （5 5） R(s) 和和N(s)共同作用下系统的共同作用下系统的 输出输出Y(s) R(s) 和和N(s) 同时作用时，由线性叠加原理同时作用时，由线性叠加原理 知系统的总输出知系统的总输出Y(s)为：为： ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 1( )( )( )1( )( )( ) (

48、) ( )( )( ) 1( )( )( ) RNN Y sYsYsH sR sHsN s D s G sG s R sN s D s G s F sD s G s F s G s D s R sN s D s G s F s 2.5 2.5 状态空间分析法状态空间分析法 随着科学技术的发展，特别是空间技术的发展，对控制随着科学技术的发展，特别是空间技术的发展，对控制 系统提出了更高的要求：系统提出了更高的要求： 控制方式更加复杂；控制方式更加复杂； 控制精度更高；控制精度更高； 可能具有多输入量多输出量；可能具有多输入量多输出量； 可能是时变系统可能是时变系统 现代控制理论：现代控制理论：

49、以线性代数和微分方程为主要数学工具；以线性代数和微分方程为主要数学工具； 采用状态空间模型描述方法，完全表达系统的全部状采用状态空间模型描述方法，完全表达系统的全部状 态与性能。态与性能。 状态空间模型是现代控制理论的基础。状态空间模型是现代控制理论的基础。 状态变量法通常使用一阶矩阵向量微分方程来描述。使状态变量法通常使用一阶矩阵向量微分方程来描述。使 描述系统的数学表达式简捷明了、方便高效，且易于计描述系统的数学表达式简捷明了、方便高效，且易于计 算机求解，同时也为多变量系统与时变系统的分析与研算机求解，同时也为多变量系统与时变系统的分析与研 究提供有力的工具。究提供有力的工具。 1.1.

50、状态空间分析法的基本概念状态空间分析法的基本概念 a)状态状态 b) 状态变量状态变量 c)状态向量状态向量 d) 状态空间状态空间 e)状态方程状态方程 f)输出方程输出方程 g) 状态空间表达式状态空间表达式 a).a).状态状态 状态是系统中一些信息的集合，状态是系统中一些信息的集合，是描述系统是描述系统 的最小一组变量的最小一组变量。或者说，是确定系统状态。或者说，是确定系统状态 的个数最少的一组变量，只要知道了在的个数最少的一组变量，只要知道了在t=t0 时的一组变量和时的一组变量和t t0 时的输入量，就能够完时的输入量，就能够完 全确定系统在任何时间全确定系统在任何时间t t0

51、时的行为。时的行为。 b).b).状态变量状态变量 系统的状态变量是系统的状态变量是确定系统状态的最小确定系统状态的最小 一组变量一组变量。如果以最少的。如果以最少的n n个变量就能够完全个变量就能够完全 描述系统的行为（即当描述系统的行为（即当t t t t0 0 时输入量和在 时输入量和在 t = tt = t0 0 时的初始状态给定后，系统的状态将 时的初始状态给定后，系统的状态将 完全可以被确定），那么这样的完全可以被确定），那么这样的n n个变量就是个变量就是 系统的一组状态变量。系统的一组状态变量。 状态变量未必是物理上可测量的或可观察状态变量未必是物理上可测量的或可观察 的量。某

52、些不代表物理量的变量既不能测的量。某些不代表物理量的变量既不能测 量，又不能观察，但是却可以被选作状态量，又不能观察，但是却可以被选作状态 变量。变量。 这种在选择状态变量方面的自由性，是状这种在选择状态变量方面的自由性，是状 态空间法的一个优点。态空间法的一个优点。 但实际上还是常常选择容易观测的量作为但实际上还是常常选择容易观测的量作为 状态变量，以便对系统进行分析、设计和状态变量，以便对系统进行分析、设计和 检验。检验。 c).c).状态向量状态向量 如果完全描述一个给定系统的动态行为需要如果完全描述一个给定系统的动态行为需要n n个状个状 态变量，那么可将这些状态变量看作是向量态变量，

53、那么可将这些状态变量看作是向量x x（t t） 的各个分量，该向量就称为的各个分量，该向量就称为状态向量状态向量。 d).d).状态空间状态空间 以各状态变量作为坐标轴所组成的以各状态变量作为坐标轴所组成的 n n 维空间称为维空间称为 状态空间。状态空间。 任何状态都可以用状态空间中的一点来表示。任何状态都可以用状态空间中的一点来表示。 e).e).状态方程状态方程 描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微 分方程组称为状态方程。分方程组称为状态方程。 状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态的状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态的 变化，即系

54、统的内部描述。变化，即系统的内部描述。 f).f).输出方程输出方程 描述系统输出变量与输入变量及状态变量之间函描述系统输出变量与输入变量及状态变量之间函 数关系的代数方程，称为输出方程。数关系的代数方程，称为输出方程。 输出方程表征了系统内部状态的变化和输入所引输出方程表征了系统内部状态的变化和输入所引 起系统输出的变化，它是一个变换过程，即系统起系统输出的变化，它是一个变换过程，即系统 的外部描述。的外部描述。 g).g).状态空间表达式状态空间表达式 系统的系统的状态方程和输出方程状态方程和输出方程合称为系统的状态空合称为系统的状态空 间表达式，又叫做动态方程。间表达式，又叫做动态方程。

55、 状态空间表达式反映了控制系统的全部信息，是状态空间表达式反映了控制系统的全部信息，是 对系统的完全描述。对系统的完全描述。 2 2 线性系统的状态空间表达式线性系统的状态空间表达式 设系统的设系统的r 个输入变量为个输入变量为u1(t) ，u2(t) ， ur(t) ；m个输出变量个输出变量y1(t) ，y2(t) ，ym(t) ；系；系 统有统有n 个状态变量个状态变量x1(t) ，x2(t) ，xn(t)。 状态方程状态方程 111112211111221 221122222112222 11221122 nnrr nnrr nnnnnnnnnrr xa xa xa xb ub ub u

56、 xa xa xa xb ub ub u xa xa xa xb ub ub u 输出方程输出方程 111112211111221 221122222112222 11221122 nnrr nnrr mmmmnnmmmrr yc xc xc xd ud ud u yc xc xc xd ud ud u ycxcxcxdudud u 状态空间表达式状态空间表达式 写成矩阵形式为写成矩阵形式为 1112111121 2122221222 1212 xux nr nr nnnnnnnr aaabbb aaabbb aaabbb 1112111121 2122221222 1212 yxu nr n

57、r mmmnmmmr cccddd cccddd cccddd 状态方程输出方程输出方程 或或 DuCxy BuAx x 状态空间表达式各参量的物理含义状态空间表达式各参量的物理含义 DuCxy BuAx x n 1 维维 状态向量状态向量 r 1 维维 控制向量控制向量 m 1 维维 输出向量输出向量 n n 维维系统矩阵系统矩阵 表示系统内部各状表示系统内部各状 态变量之间的关系态变量之间的关系 n r 维维输入矩阵输入矩阵 表示输入对每个表示输入对每个 状态变量的作用状态变量的作用 情况情况 m n 维维输出矩阵输出矩阵 表示输出与状态表示输出与状态 变量的组成关系变量的组成关系 m r

58、 维维前馈矩阵前馈矩阵 表示输入对输出表示输入对输出 的直接传输关系的直接传输关系 状态空间表达式各参量的物理含义状态空间表达式各参量的物理含义 Cxy BuAx x 若是若是线性定常系统线性定常系统，则，则A，B，C，D均为常数矩均为常数矩 阵；阵； 若是若是时变系统时变系统，则，则A，B，C，D的元素有些或全的元素有些或全 部是时间的函数。部是时间的函数。 若不考虑直接传输，则一般表达式为若不考虑直接传输，则一般表达式为 3 3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 选择状态变量选择状态变量。 条件：条件： - - 相互独立，即不能由其它变量导出某一变量；相互独立，即不能由其它变量导出

59、某一变量； - - 充分，即完全决定了系统的状态。充分，即完全决定了系统的状态。 状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数。状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数。 选择状态变量一般有三条途径：选择状态变量一般有三条途径： - - 选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量；选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量； - - 选择系统的输出变量及其各阶导数作为状态变量；选择系统的输出变量及其各阶导数作为状态变量； - - 选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。 列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程列出描述系统动态

60、特性或运动规律的微分方程。 消去中间变量消去中间变量，得出状态变量的一阶导数与各状态变，得出状态变量的一阶导数与各状态变 量、输入变量的关系式即输出变量与各状态变量、输量、输入变量的关系式即输出变量与各状态变量、输 入变量的关系式。入变量的关系式。 将方程将方程整理整理成状态方程、输出方程的标准形式。成状态方程、输出方程的标准形式。 例例2.112.11 解解: : 该系统有两个储能元件（质量和弹簧），选该系统有两个储能元件（质量和弹簧），选 取两个状态变量取两个状态变量 12 ( ),( )xy txy t 由例由例2. 12. 1分析可知分析可知 将上式整理成将上式整理成 2 2 ifki