高数多元函数微分学-多元函数的极值[教师教材]

1、1 的图形的图形观察二元函数观察二元函数 22 yx e xy z 播放播放 一、极值一、极值 第六节第六节 多元函数的极值多元函数的极值 2 设函数设函数),(yxfz 在点在点),( 00 yx的某邻域内的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),( 00 yx的点的点),(yx： 若满足不等式若满足不等式),(),( 00 yxfyxf ，则称函数，则称函数 在在),( 00 yx有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 ),(),( 00 yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),( 00 yx有极有极 小值；小值； 1

2、1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义 极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. . 使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. . 3 定理定理 1 1（必要条件）（必要条件） 设函数设函数),(yxfz 在点在点),( 00 yx具有偏导数，且具有偏导数，且 在点在点),( 00 yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零：然为零： 0),( 00 yxf x ， 0),( 00 yxf y . . 2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件 不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),( 00 yx处有极大值处有极大值,

3、 则则对对于于),( 00 yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),( 00 yx 都都有有 ),(yxf),( 00 yxf, 证证 4 故故当当 0 yy ， 0 xx 时时，有有 ),( 0 yxf),( 00 yxf, 说明一元函数说明一元函数),( 0 yxf在在 0 xx 处有极大值处有极大值, 必必有有 0),( 00 yxf x ; 类类似似地地可可证证 0),( 00 yxf y . 推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),( 000 zyxP 具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),( 000 zyxP有极值的必要条有极值的必要条 件为件为

4、0),( 000 zyxf x ， 0),( 000 zyxf y ， 0),( 000 zyxf z . 5 例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点. 驻点驻点极值点极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理定理 2 2（充分条件）（充分条件） 设函数设函数),(yxfz 在点在点),( 00 yx的某邻域内连续，的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏

5、导数， 注意：注意： 6 又又 0),( 00 yxf x , , 0),( 00 yxf y ， 令令 Ayxf xx ),( 00 ， Byxf xy ),( 00 ， Cyxf yy ),( 00 ， 则则),(yxf在点在点),( 00 yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下： （1 1）0 2 BAC时具有极值，时具有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值； （2 2）0 2 BAC时没有极值；时没有极值； （3 3）0 2 BAC时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值， 还需另作讨论还需另作讨论 7 例例

6、1 1 求求由由方方程程yxzyx22 222 0104 z确确定定的的函函数数),(yxfz 的的极极值值 将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 04222 04222 yy xx zzzy zzzx 由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( P, 将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数, 解解 8 , 2 1 |, 0|, 2 1 | z zCzB z zA PyyPxyPxx 故故 )2(0 )2( 1 2 2 z z ACB,函函数数在在P有有极极值值. 将将)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 2 21 z

7、z, 当当2 1 z时时，0 4 1 A, 所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值； 当当6 2 z时时，0 4 1 A, 所以所以6)1, 1( fz为极大值为极大值. 9 求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤： 第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxf x 0),( yxf y 求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点. 第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),( 00 yx， 求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出 2 BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值. 10 求最值的一般方法求最值的一般

8、方法： 将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值. 二、多元函数的最值二、多元函数的最值 11 例例 2 2 求求二二元元函函数数)4(),( 2 yxyxyxfz 在在直直线线6 yx，x轴轴和和y轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域D 上上的的最最大大值值与与最最小小值值.

9、 解解 先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点， x y o 6 yx D D 如图如图, 12 解方程组解方程组 0)4(),( 0)4(2),( 22 2 yxyxxyxf yxyxxyyxf y x 得区域得区域D内唯一驻点内唯一驻点)1 , 2(, 且且 4)1 , 2( f, 再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 13 在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6 于于是是)2)(6(),( 2 xxyxf, 由由 02)6(4 2 xxxf x , 得得4, 0 21 xx, 2|6 4 x xy ,64)2 , 4(

10、 f 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值, 64)2 , 4( f为最小值为最小值. x y o 6 yx D 14 例例 3 3 求求 1 22 yx yx z的最大值和最小值的最大值和最小值. , 0 )1( )(2)1( 222 22 yx yxxyx zx , 0 )1( )(2)1( 222 22 yx yxyyx z y 得驻点得驻点) 2 1 , 2 1 (和和) 2 1 , 2 1 ( , 解 解 由 由 15 即边界上的值为零即边界上的值为零. , 2 1 ) 2 1 , 2 1 ( z, 2 1 ) 2 1 , 2 1 ( z 所以最大值为所以最大值为

11、 2 1 ，最小值为，最小值为 2 1 . 因为因为0 1 lim 22 yx yx y x 无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内 外，并无其他条件外，并无其他条件. 16 实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他 购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁 盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果元以达到最佳效果 x

12、y yxyxUlnln),( 问题的实质：求问题的实质：求 在条在条 件件 下的极值点下的极值点 yxyxUlnln),( 200108 yx 三、条件极值拉格朗日乘数法 17 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数),(yxfz 在条件在条件0),( yx 下的下的 可能极值点，可能极值点， 先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxF ， 其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 . 0),( , 0),(),( , 0),(),( yx yxyxf yxyxf yy xx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标. 条件极值条件

13、极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值 18 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数要找函数),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxF ),(),( 21 tzyxtzyx 其中其中 21, 均为常数，可由均为常数，可由 偏导数为零及条件解出偏导数为零及条件解出 tzyx,，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标. 19 例例 4 4 将正数将正数 12 分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和 使得使得 zyx

14、u 23 为最大为最大. 解解 令令 )12(),( 23 zyxzyxzyxF , 12 0 02 03 23 3 22 zyx yxF yzxF zyxF z y x 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(， .6912246 23 max u 则则 故最大值为故最大值为 20 例例 8 8 在在第第一一卦卦限限内内作作椭椭球球面面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的的 切切平平面面，使使切切平平面面与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体 体体积积最最小小，求求切切点点坐坐标标. 解解设设),( 000 zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点, 令令

15、1),( 2 2 2 2 2 2 c z b y a x zyxF, 则则 2 0 2 | a x F Px ， 2 0 2 | b y F Py ， 2 0 2 | c z F Pz 过过),( 000 zyxP的切平面方程为的切平面方程为 21 )( 02 0 xx a x )( 02 0 yy b y 0)( 02 0 zz c z , 化简为化简为 1 2 0 2 0 2 0 c zz b yy a xx , 该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 0 2 x a x ， 0 2 y b y ， 0 2 z c z , 所所围围四四面面体体的的体体积积 000 222

16、 66 1 zyx cba xyzV , 22 在条件在条件1 2 2 0 2 2 0 2 2 0 c z b y a x 下求下求 V 的最小值的最小值, 令令 ,lnlnln 000 zyxu ),( 000 zyxG 000 lnlnlnzyx)1( 2 2 0 2 2 0 2 2 0 c z b y a x , 由由, 01 0, 0, 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 000 c y b y a x GGG zyx 23 当当切切点点坐坐标标为为 ( 3 a ， 3 b ， 3 c )时时, 四面体的体积最小四面体的体积最小abcV 2 3 min . 01 0 21 0 21

17、 0 21 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 c z b y a x c z z b y y a x x 可得可得 即即 3 0 a x 3 0 b y ， 3 0 c z 24 四、思考题思考题 若若),( 0 yxf及及),( 0 yxf在在),( 00 yx点均取得点均取得 极值， 则极值， 则),(yxf在点在点),( 00 yx是否也取得极值？是否也取得极值？ 思考题解答思考题解答 不是不是.例例如如 22 ),(yxyxf , 当当0 x时时， 2 ), 0(yyf 在在)0 , 0(取取极极大大值值; 当当0 y时，时， 2 )0 ,(xxf

18、 在在)0 , 0(取极小值取极小值; 但但 22 ),(yxyxf 在在)0 , 0(不取极值不取极值. 25 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 函数函数)4)(6(),( 22 yyxxyxf 在在_点取点取 得极得极_值为值为_._. 2 2、 函数函数xyz 在附加条件在附加条件1 yx下的极下的极_值值 为为_._. 3 3、 方程方程02642 222 zyxzyx所确定的所确定的 函数函数),(yxfz 的极大值是的极大值是_,_,极小值极小值 是是_._. 二二、 在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 点点 , , 使使 它它 到到0, 0 yx及及 0162 yx三三直直线线的的距距离离平平方方之之和和为为最最小小. . 三三、 求求内内接接于于半半径径为为a的的球球且且有有最最大大体体积积的的长长方方体体. . 练练 习习 题题 26 四、四、 在第一卦限内作球面在第一卦限内作球面1 222 zyx的切平面的切平面, ,使使 得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小, ,求求 切点的坐标切点的坐标. . 27 一一、1 1、( (3 3, ,2 2) ), ,大大, ,3 36 6； 2 2、大大, , 4 1 ； 3 3、7 7, ,- -1 1. . 二二、) 5 16 , 5 8