高等数学(同济大学)课件下第12_8常系数齐次[章节优讲]

1、常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第十二章 1优质教学 二阶常系数齐次线性微分方程: ),(0为常数qpyqypy xr ey 和它的导数只差常数因子, 代入得 0)( 2 xr e qprr 0 2 qrpr 称为微分方程的特征方程特征方程, 1. 当04 2 qp时, 有两个相异实根, 21 r ,r 方程有两个线性无关的特解:, 1 1 xr ey , 2 2 xr ey 因此方程的通解为 xrxr eCeCy 21 21 ( r 为待定常数 ), xr er函数为常数时因为,

2、所以令的解为 则微分 其根称为特征根特征根. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2优质教学 2. 当04 2 qp 时, 特征方程有两个相等实根 21 rr 则微分方程有一个特解 )( 12 xuyy 设另一特解( u (x) 待定) 代入方程得: 1 xr e )( 1u rup0uq )2( 2 11 ururu 1 r注意是特征方程的重根 0 u 取 u = x , 则得, 1 2 xr exy 因此原方程的通解为 xr exCCy 1 )( 21 , 2 p . 1 1 xr ey )( 1 xue xr 0)()2( 1 2 11 uqrprupru 机动 目录 上页 下页 返回

3、结束 3优质教学 3. 当04 2 qp 时, 特征方程有一对共轭复根 irir 21 , 这时原方程有两个复数解: xi ey )( 1 )sin(cosxixe x xi ey )( 2 )sin(cosxixe x 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: )( 21 2 1 1 yyy )( 21 2 1 2 yyy i xe x cos xe x sin 因此原方程的通解为 )sincos( 21 xCxCey x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4优质教学 小结小结: ),(0为常数qpyqypy ,0 2 qrpr 特征方程: xrxr eCeCy 21 21 21,

4、:rr特征根 21 rr 实根 2 21 p rr xr exCCy 1 )( 21 ir , 21 )sincos( 21 xCxCey x 特 征 根通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5优质教学 若特征方程含 k 重复根,ir 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 xrk k exCxCC)( 1 21 xxCxCCe k k x cos)( 1 21 sin)( 1 21 xxDxDD k k 则其通解中必含 对应项 )(0 1 ) 1( 1 )( 均为常数 knn nn ayayayay 特征方程: 0 1 1 1

5、 nn nn ararar ),(均为任意常数以上 ii DC 推广推广: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6优质教学 例例1. 032 yyy求方程 的通解. 解解: 特征方程, 032 2 rr特征根:,3,1 21 rr 因此原方程的通解为 xx eCeCy 3 21 例例2. 求解初值问题 0 d d 2 d d 2 2 s t s t s ,4 0 t s2 0 d d t t s 解解: 特征方程012 2 rr有重根,1 21 rr 因此原方程的通解为 t etCCs )( 21 利用初始条件得, 4 1 C 于是所求初值问题的解为 t ets )24( 2 2 C 机动 目

6、录 上页 下页 返回 结束 7优质教学 例例3. x x o 解解: 由第七节例1 (P293) 知, 位移满足 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外力作用下做自由运动, 初始 求物体的运动规律 , 0 v速度为 . )(txx 立坐标系如图, , 0 xx 设 t = 0 时物体的位置为 取其平衡位置为原点建 00 d d v t x t , 00 xx t 2 2 d d t x 0 2 xk t x n d d 2 因此定解问题为自由振动方程 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8优质教学 方程: 2 2 d d t x 0 2 xk 特征方程: , 0 22 kr k

7、ir 2,1 特征根: tkCtkCxsincos 21 利用初始条件得:, 01 xC 故所求特解: tk k v tkxxsincos 0 0 A )sin(tkA 0 x k v0 方程通解: 1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ) k v C 0 2 0 0 2 2 0 2 0 tan, v xk k v xA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 9优质教学 解的特征解的特征: )sin(tkAx 0 x A A x t o 简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: k T 2 : m c k 固有频率 T 0 d d 00 v t x t , 0 00 xx

8、t 下图中假设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (仅由系统特性确定) 10优质教学 方程: 特征方程:02 22 krnr 22 2,1 knnr特征根: 小阻尼: n k 临界阻尼: n = k 2 2 d d t x 0 2 xk t x n d d 2 )sincos( 21 tCtCex tn )( 22 nk trtr eCeCx 21 21 tn etCCx )( 21 解的特征解的特征 解的特征解的特征 解的特征解的特征 机动 目录 上页 下页 返回 结束 11优质教学 ( n k ) 大阻尼解的特征大阻尼解的特征: 1) 无振荡现象; trtr eCeCx 21 21 22

9、 2,1 knnr其中 22 knn0 .0)(lim tx t t x o 0 x 此图参数: 1, 5 . 1kn 5 . 1 0 x 073. 5 0 v 2) 对任何初始条件 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 13优质教学 ( n = k ) 临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征 : 任意常数由初始条件定, tn etCCx )( 21 )() 1tx最多只与 t 轴交于一点; 取何值都有无论 21,C C )(lim)3tx t 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. .0)(lim 21 tn t etCC 2) 无振荡现象 ; 机动 目录

10、 上页 下页 返回 结束 14优质教学 例例4.052 )4( yyy求方程 的通解. 解解: 特征方程, 052 234 rrr特征根: irrr21, 0 4,321 因此原方程通解为 xCCy 21 )2sin2cos( 43 xCxCe x 例例5. .0 )4()5( yy解方程 解解: 特征方程:, 0 45 rr特征根 : 1, 0 54321 rrrrr 原方程通解: 1 CyxC2 2 3x C 3 4x C x eC5 (不难看出, 原方程有特解), 1 32x exxx 推广 目录 上页 下页 返回 结束 15优质教学 02)( 22222 rr 例例6. . )0(0

11、d d 4 4 4 w x w 解方程 解解: 特征方程: 44 r 即 0)2)(2( 2222 rrrr 其根为),1( 2 2,1 ir )1( 2 4,3 ir 方程通解 : x ew 2 ) 2 sin 2 cos( 21 xCxC x e 2 ) 2 sin 2 cos( 43 xCxC 机动 目录 上页 下页 返回 结束 16优质教学 例例7.02 )4( yyy解方程 解解: 特征方程:012 24 rr 0)1( 22 r即 特征根为, 2,1 irir 4,3 则方程通解 : xxCCycos)( 31 xxCCsin)( 42 机动 目录 上页 下页 返回 结束 17优质

12、教学 内容小结内容小结 ),(0为常数qpyqypy 特征根: 21 , rr (1) 当时, 通解为 xrxr eCeCy 21 21 21 rr (2) 当时, 通解为 xr exCCy 1 )( 21 21 rr (3) 当时, 通解为 )sincos( 21 xCxCey x ir 2, 1 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 18优质教学 思考与练习思考与练习 求方程0 yay的通解 . 答案答案:0a通解为 xCCy 21 :0a 通解为 xaCxaCysincos 21 :0a 通解为 xaxa eCeCy 21 作业作业 P310 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3 第九节 目录 上页 下页 返回 结束 19优质教学 备用题备用题,2cos,2, 321 xyexyey xx 求一个以 xy2s